专题19全等三角形.doc

专题19 全等三角形
☞解读考点
知　识　点
名师点晴
全等三角形
全等图形
理解全等图形的定义，会识别全等图形
全等三角形的判定
理解并掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，并会判定两个三角形全等
直角三角形的判定
会利用HL判定两个三角形全等
角平分线
角平分线的性质
理解并掌握角平分线的性质
角平分线的判定
利用角平分线的判定解决有关的实际问题

☞2年中考
【2015年题组】
1．（2015六盘水）如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）

A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
【答案】D．
【解析】
试题分析：A．可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B．可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C．利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；
D．SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
故选D．
考点：全等三角形的判定．
2．（2015贵阳）如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（　　）

A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE
【答案】B．

考点：全等三角形的判定与性质．
3．（2015义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS

【答案】D．
【解析】
试题分析：在△ADC和△ABC中，∵AD=AB，DC=BC，AC=AC，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．故选D．
考点：全等三角形的应用．
4．（2015泰州）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D．

考点：1．全等三角形的判定；2．线段垂直平分线的性质；3．等腰三角形的性质；4．综合题．
5．（2015宜昌）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D．
【解析】
试题分析：在△ABD与△CBD中，∵AD=CD，AB=BC，DB=DB，∴△ABD≌△CBD（SSS），故③正确；
∴∠ADB=∠CDB，在△AOD与△COD中，∵AD=CD，∠ADB=∠CDB，OD=OD，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，∴AC⊥DB，故①②正确；故选D．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．新定义；3．阅读型．
6．（2015宜昌）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C．

考点：全等三角形的判定．
7．（2015荆门）如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，
其中结论正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质；3．综合题；4．压轴题．
8．（2015柳州）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH
其中，正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，∴①错误；
∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中，∵AG=CE，∠GAE=∠CEF，AE=EF，∴△GAE≌△CEF，∴②正确；
∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；
∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；
即正确的有2个．故选B．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．
9．（2015柳州）如图，△ABC≌△DEF，则EF= ．

【答案】5．
【解析】
试题分析：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，则EF=5．故答案为：5．
考点：全等三角形的性质．
10．（2015盐城）如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是 ．

【答案】DC=BC或∠DAC=∠BAC．

考点：1．全等三角形的判定；2．开放型．
11．（2015贵港）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，BE，则∠AEB的度数为 ．

【答案】30°．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰三角形的性质；3．正方形的性质；4．综合题．
12．（2015常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是 ．

【答案】（400，800）．
【解析】
试题分析：连接AC，由题意可得：AB=300m，BC=400m，在△AOD和△ACB中，∵AD=AB，∠ODA=∠ABC，DO=BC，∴△AOD≌△ACB（SAS），∴∠CAB=∠OAD，∵B、O在一条直线上，∴C，A，D也在一条直线上，
∴AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，∴C点坐标为：（400，800）．故答案为：（400，800）．

考点：1．勾股定理的应用；2．坐标确定位置；3．全等三角形的应用．
13．（2015福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是 ．

【答案】．

考点：1．旋转的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．角平分线的性质；4．等边三角形的判定与性质；5．等腰直角三角形；6．综合题．
14．（2015鄂尔多斯）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= cm．

【答案】4．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形；3．综合题．
15．（2015长春）如图，在平面直角坐标系中，点P在函数（）的图象上．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，取线段OB的中点C，连结PC并延长交x轴于点D．则△APD的面积为 ．

【答案】6．
【解析】
试题分析：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，∴=|k|=6，在△PBC与△DOC中，∵∠PBC=∠DOC=90°，BC=BC，∠PCB=∠DCO，∴△PBC≌△DOC，∴S△APD=S矩形APBO=6．故答案为：6．
考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．全等三角形的判定与性质．
16．（2015江西省）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中有 对全等三角形．

【答案】3．

考点：1．全等三角形的判定；2．角平分线的性质；3．综合题．
17．（2015贺州）如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B、C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=．有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或；④0＜BE≤，其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）．

【答案】②③．

若△BDE为直角三角形，则有两种情况：（1）若∠BED=90°，∵∠BDE=∠CAD，∠B=∠C，∴△BDE∽△CAD，∴∠CDA=∠BED=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=BC=12；
（2）若∠BDE=90°，如图2，设BD=x，则DC=24－x，∵∠CAD=∠BDE=90°，∠B=∠C=∠α，∴cos∠C=cosB=，∴，解得：，∴若△BDE为直角三角形，则BD为12或，故③正确；

设BE=x，CD=y，∵△BDE∽△CAD，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴0＜BE≤，∴故④错误；
故答案为：②③．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质．
18．（2015南宁）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠DEB=90°，求证：四边形DEBF是矩形．

【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．

考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．矩形的判定．
19．（2015崇左）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：BE=CD．

【答案】证明见试题解析．
【解析】
试题分析：根据两边及其夹角对应相等可以判断△ADE≌△AEB，再由全等三角形对应边相等可说明结论．
证明：在△ADE和△AEB中，∵AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，∴△ADE≌△AEB，∴BE=CD．
考点：全等三角形的判定与性质．
20．（2015来宾）如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上的两点，且AE=CF，连接DE、BF，
（1）写出图中所有的全等三角形；
（2）求证：DE∥BF．

【答案】（1）△ABC≌△CDA，△ABF≌△△CDE，△ADE≌△CBF；（2）证明见试题解析．

考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．
21．（2015百色）如图，AB∥DE，AB=DE，BF=EC．
（1）求证：AC∥DF；
（2）若CF=1个单位长度，能由△ABC经过图形变换得到△DEF吗？若能，请你用轴对称、平移或旋转等描述你的图形变换过程；若不能，说明理由．

【答案】（1）证明见试题解析；（2）能，△ABC先向右平移1个单位长度，再绕点C旋转180°即可得到△DEF．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．几何变换的类型；3．网格型．
22．（2015常州）如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．
（1）求证：AE=AF；
（2）求∠EAF的度数．

【答案】（1）证明见试题解析；（2）60°．
【解析】
试题分析：（1）根据平行四边形的性质得到∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，根据等边三角形的性质得到BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，即可证出∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，由SAS证明△ABE≌△FDA，得出对应边相等即可；
（2）根据全等三角形的性质得到∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度数．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，∵△BCE和△CDF都是正三角形，∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，在△ABE和△FDA中，∵AB=DF，∠ABE=JIAO FDA，BE=AD，∴△ABE≌△FDA（SAS），∴AE=AF；
（2）∵△ABE≌△FDA，∴∠AEB=∠FAD，∵∠ABE=60°+60°=120°，∴∠AEB+∠BAE=60°，∴∠FAD+∠BAE=60°，∴∠EAF=120°﹣60°=60°．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质；3．平行四边形的性质．
23．（2015乐山）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．
（1）求证：△DCE≌△BFE；
（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．

【答案】（1）证明见试题解析；（2）．

试题解析：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，根据折叠的性质∠ADB=∠BDF，∠F=∠A=∠C=90°，∴∠DBC=∠BDF，∴BE=DE，在△DCE和△BFE中，∵∠BEF=∠DEC，∠F=∠C，BE=DE，∴△DCE≌△BFE；
（2）在Rt△BCD中，∵CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，∴BC=，在Rt△BCD中，∵CD=2，∠EDC=30°，∴DE=2EC，∴，∴CE=，∴BE=BC﹣EC=．

考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．全等三角形的判定与性质；3．综合题．
24．（2015潜江）已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．
（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．
①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是 ；
②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．

【答案】（1）①MN=BM+DN；②成立；（2）直角三角形．

（2）如图3，将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，连结NE．由旋转的性质得到DE=BM，AE=AM，∠EAM=90°，∠NDE=90°． 先证明△AMN≌△AEN．得到MN=EN．由DN，DE，NE为直角三角形的三边，得到以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．

②如图2，若BM≠DN，①中的数量关系仍成立．理由如下：
延长NC到点P，使DP=BM，连结AP．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABM=∠ADC=90°．在△ABM与△ADP中，∵AB=AD，∠ABM=∠ADP，BM=DP，∴△ABM≌△ADP（SAS），∴AM=AP，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠4=90°，∴∠3+∠4=90°，∵∠MAN=135°，∴∠PAN=360°﹣∠MAN﹣（∠3+∠4）=360°﹣135°﹣90°=135°．在△ANM与△ANP中，∵AM=AP，∠MAN=∠PAN，AN=AN，∴△ANM≌△ANP（SAS），∴MN=PN，∵PN=DP+DN=BM+DN，∴MN=BM+DN；
（2）以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．理由如下：
如图3，将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，连结NE．由旋转的性质得：DE=BM，AE=AM，∠EAM=90°，∠NDE=90°． ∵∠MAN135°，∴∠EAN360°∠MAN∠EAM =135°，∴∠EAN =∠MAN．在△AMN与△AEN中，∵AM=AE，∠MAN=∠EAN，AN=AN，∴△AMN≌△AEN．∴MN=EN．∵DN，DE，NE为直角三角形的三边，∴以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．

考点：1．几何变换综合题；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理的逆定理；4．和差倍分；5．探究型；6．综合题；7．压轴题．

【2014年题组】
1．（2014年贵州黔西南）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）

A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°
【答案】C．

考点：全等三角形的判定．
2．（2014年湖南益阳）如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是（ ）

A．AE=CF B．BE=FD C．BF=DE D．∠1=∠2
【答案】A．
【解析】
试题分析：根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别作出判断：
A、当AE=CF时，构成的条件是SSA，无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；
B、当BE=FD时，构成的条件是SAS，可得△ABE≌△CDF，故此选项不符合题意；
C、当BF=ED时，由等量减等量差相等得BE=FD，构成的条件是SAS，可得△ABE≌△CDF，故此选项不符合题意；
D、当∠1=∠2时，构成的条件是ASA，可得△ABE≌△CDF，故此选项不符合题意．
故选A．
考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．
3．（2014年江苏连云港）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为、，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C．

考点：1．全等三角形的判定和性质；2．等底等高三角形的性质．
4．（2014年福建福州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使．.若AB=10，则EF的长是_______ ．

【答案】5．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，AB=10，∴AD=5，AE=EC，，∠AED=90°．
∵，∴DE=FC．
在Rt△ADE和Rt△EFC中，∵AE=EC，DE=FC，∴Rt△ADE≌Rt△EFC（SAS）．∴EF=AD=5．
考点：1．三角形中位线定理；2．全等三角形的判定和性质．
5．（2014年湖南长沙）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF= __________ ．

【答案】6．

考点：1．平行的性质；2．全等三角形的判定和性质．
6．（2014年湖南常德）如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为______．

【答案】60°．
【解析】
试题分析：∵△ABC三个内角的平分线交于点O，∴∠ACO=∠BCO．
在△COD和△COB中，∵CD=CB，∠OCD=∠OCB，CO=CO，∴△COD≌△COB（SAS）．∴∠D=∠CBO．
∵∠BAC=80°，∴∠BAD=100°，∠BAO=40°．∴∠DAO=140°．
∵AD=AO，∴∠D=20°．∴∠CBO=20°．
∴∠ABC=40°．∴∠BCA=60°．
考点：1．角的平分线定义；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰三角形的性质．
7、（2014年福建福州7分）如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．

【答案】证明见试题解析．

考点：全等三角形的判定和性质．
8．（2014年湖北宜昌）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC至E，使CE=AC，求证：DA=DE．

【答案】（1）30°；（2）证明见试题解析．
【解析】
试题分析：（1）利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质和角平分的性质进行解答．
（2）由ASA证明△ACD≌△ECD来推知DA=DE．
试题解析：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．
又∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠CAB=30°，即∠CAD=30°．
（2）证明：∵∠ACD+∠ECD=180°，且∠ACD=90°，∴∠ECD=90°．∴∠ACD=∠ECD．
在△ACD与△ECD中，∵AC=EC，∠ACD=∠ECD，CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS）．
∴DA=DE．
考点：1．直角三角形两锐角的关系；2．全等三角形的判定与性质．

☞考点归纳
归纳 1：全等三角形的性质
基础知识归纳：全等三角形的对应边相等，对应角相等
基本方法归纳：利用全等三角形的性质解决有关线段相等和角的计算的有关问题
注意问题归纳：利用全等三角形的性质时，关键是找准对应点，利用对应点得到相应的对应边以及对应角．
【例1】如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为　 　．

【答案】60°．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰三角形的性质．
归纳 2：全等三角形的判定方法
基础知识归纳：三角形全等的判定定理：
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）．
基本方法归纳：证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．
注意问题归纳：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
【例2】如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（ ）

A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F
【答案】C．

考点：全等三角形的判定与性质．
归纳 3：角平分线
基础知识归纳： 角平分线上的点到角的两边的距离相等，到角两边距离相等的点在角平分线上．
基本方法归纳：角平分线的性质是证明线段相等的重要工具，角平分线的性质经常用来解决点到直线的距离以及三角形的面积问题．
注意问题归纳：注意区分角平分线的性质与判定，角平分线的性质和判定都是由三角形全等得到的．
【例3】如图所示， AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF．

【答案】证明见试题解析．

考点：1．全等三角形的判定和性质；2．角平分线的性质．
☞1年模拟

1．（2015届北京市平谷区中考二模）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ）

A．（SAS） B．（SSS） C．（AAS） D．（ASA）
【答案】B．
【解析】
试题分析：由题意可知，利用尺规作图法，可知OC=O′C′，OD=O′D′，CD=C′D′，根据全等三角形的判定定理（SSS）可得△OCD≌△O′C′D′，得出．故选B．
考点：1．全等三角形的判定；2．尺规作图．
2．（2015届安徽省安庆市中考二模）如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（ ）

A．PD=DQ B．DE=AC C．AE=CQ D．PQ⊥AB
【答案】D．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质；3．平行线的性质．
3．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．下列结论：
（1）图中有三对相似而不全等的三角形；
（2）m•n=2；
（3）BD2+CE2=DE2；
（4）△ABD≌△ACE；
（5）DF=AE．
其中正确的有（ ）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
【答案】A．
（5）当AF与AB重合时，AE=AF，AB=AF，得到DF≠AF，于是由AE与DF不一定相等；
试题解析：（1）△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA，
故（1）错误；
（2）∵△ABE∽△DCA，∴，由题意可知CA=BA=， ∴，∴m=，∴mn=2；（1＜n＜2）； 故（2）正确；
（3）证明：将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，则CE=HB，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．连接HD，在△EAD和△HAD中， ∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD， ∴△EAD≌△HAD，∴DH=DE．又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°， ∴BD2+CE2=DH2， 即BD2+CE2=DE2； 故（3）正确；
（4）若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，∴∠BAD≠∠CAE，∴△ABD与△ACE不一定全等，∴（4）错误；
（5）当AF与AB重合时，AE=AF，AB=AF，∴DF≠AF，∴AE与DF不一定相等； ∴（5）错误．故选A．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形．
4．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是（ ）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【答案】A．

考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．
5．（2015届河北省中考模拟二）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）

A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定
【答案】A．

考点：1．角平分线的性质；2．全等三角形的判定与性质．
6．（2015届北京市平谷区中考二模）如图，点A，B，D，E在同一直线上，AB=ED，AC∥EF，∠C=∠F．

求证：AC=EF．
【答案】证明见解析．
【解析】
试题分析：根据全等三角形的片对于性质，再由原子条件即可证明△ABC≌△EDF（AAS），推出AC=EF即可．
试题解析：证明：∵AC∥EF，∴∠A=∠E．
在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△EDF．
∴AC=EF．
考点：全等三角形的判定与性质．
7．（2015届北京市门头沟区中考二模）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，F为AC的中点，连接DF并延长至E，使得EF=DF，连接AE和EC．

（1）求证：四边形ADCE为平行四边形；
（2）如果DF=，∠FCD=30°，∠AED=45°，求DC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．

（2）解：如图，过点F作FG⊥DC与G．
∵四边形ADCE为平行四边形，∴AE∥CD．
∴∠FDG=∠AED=45°，在Rt△FDG中，∠FGD=90°，∠FDG=45°，DF=，∵cos∠FDG=，∴DG=GF===2．
在Rt△FCG中，∠FGC=90°，∠FCG=30°，GF=2，∵tan∠FCG=，∴，
∴DC=DG+GC=．

考点：1．解直角三角形；2．平行四边形的判定与性质；3．全等三角形的判定与性质．
8．（2015届北京市门头沟区中考二模）如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D是△ABC内部一点，∠ADC=135°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE．
（1）①依题意补全图形；②请判断∠ADC和∠CDE之间的数量关系，并直接写出答案；
（2）在（1）的条件下，连接BE，过点C作CM⊥DE，请判断线段CM，AE和BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，在正方形ABCD中，AB=，如果PD=1，∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．

【答案】（1）①作图见解析；②∠ADC+∠CDE=180°；（2）AE=BE+2CM，理由解析；（3）．

（2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下：
∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∴∠CDE=∠CED=45°．
又∵∠ADC=135°，∴∠ADC+∠CDE=180°，∴A、D、E三点在同一条直线上，∴AE=AD+DE．
又∵∠ACB=90°，∴∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD=∠BCE．
又∵AC=BC，CD=CE，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE．
∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE，∴DE=2CM，∴AE=BE+2CM．
（3）点A到BP的距离为．

考点：1．作图—旋转变换；2．探究型；3．和差倍分；4．全等三角形的判定与性质．
9．（2015届安徽省安庆市中考二模）如图，点D是等边△ABC中BC边上一点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，交AC，AB于E，F，连接BE，CF，分别交DF，DE于点N，M，连接MN．试判断△DMN的形状，并说明理由．

【答案】△DMN为等边三角形，理由见解析．

考点：1．等边三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质．
10．（2015届山东省日照市中考一模）如图，已知，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN，连接AM，BN．

（1）求证：AM=BN；
（2）当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．

（2）∵MA∥CN，∴∠ACN=∠CAM，∵∠ACN+∠ACM=90°，∴∠CAM+∠ACM=90°，∴∠AMC=90°，∴cosα=．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．旋转的性质；3．锐角三角函数的定义．
11．（2015届山东省日照市中考模拟）已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；
当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

【答案】证明见解析．

∴△ABE≌△CBF（SAS）；
∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE=∠CBF=30°，
∴AE=BE，CF=BF；
∵∠MBN=60°，BE=BF，
∴△BEF为等边三角形；
∴AE+CF=BE+BF=BE=EF；

则△BAE≌△BCK，
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，
∴∠FBC+∠ABE=60°，
∴∠FBC+∠KBC=60°，
∴∠KBF=∠FBE=60°，
在△KBF和△EBF中，
∴△KBF≌△EBF，
∴KF=EF，
∴KC+CF=EF，
即AE+CF=EF．
图3不成立，
AE、CF、EF的关系是AE-CF=EF．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．和差倍分；3．存在型；4．探究型；5．综合题．
12．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．

（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析，（2）四边形ABCD是矩形，理由见解析．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质；3．矩形的判定；4．探究型．
13．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）

（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．
【答案】（1）BD=DP成立．证明见解析；（2）BD=DP．证明见解析．

∵∠1+∠ADB=90°，∠ADB+∠2=90°，∴∠1=∠2．
在△BDF与△PDA中，，∴△BDF≌△PDA（ASA），∴BD=DP．
（2）BD=DP．证明如下：
如答图3，过点D作DF⊥MN，交AB的延长线于点F，则△ADF为等腰直角三角形，∴DA=DF．

在△BDF与△PDA中，，∴△BDF≌△PDA（ASA），∴BD=DP．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形；3．平行四边形的性质；4．探究型．
14．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，在△ABC与△ABD中，BC与AD相交于点O，∠1=∠2，CO=DO．求证：∠C=∠D．

【答案】证明见解析．