专题20空间向量与立体几何（解答题）（11月）（理）（解析版）.docx

空间向量与立体几何
1．如图，三棱柱中，底面，是的中点，，．

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【试题来源】北京市昌平区2020届高三（6月份）数学适应性试题
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）连结，交于，则是的中点，
连结，是的中点，，
平面，平面，平面．
（2）三棱柱中，底面，是的中点，，．，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，
，0，，，0，，，1，，
设平面的法向量，，，则，
取，得，，，设直线与平面所成角为，
则．直线与平面所成角的正弦值为．

2．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，E为上的动点．

（1）确定E的位置，使平面；
（2）设，，且在第（1）问的结论下，求二面角的余弦值．
【试题来源】云南省文山州2021届高三年级10月教学质量检测（理）
【答案】（1）E为的中点；（2）．
【分析】（1）E为的中点，连接，使交于点O，可证，利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解．
【解析】（1）E为的中点，
连接，使交于点O，取的中点为E，连接，
因为O，E分别为，的中点，所以．
又平面，平面，所以平面．

（2）分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
，，，，，所以，，
所以平面的法向量为．设平面的法向量为，
由，令，则，，所以，
所以二面角的平面角的余弦值为．
3．如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【试题来源】天津市滨海七校2020届高三下学期毕业班联考
【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，或．
【解析】（1）由题意，因为，，，所以，
又所以，所以，因为侧面，所以．
又因为，，平面，所以直线平面．
（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
设平面的一个法向量为，，
因为，所以，令，则，所以
设平面的一个法向量为，，，
因为，所以，令，则，所以，
，，，所以．
设二面角为，则．
所以设二面角的余弦值为．
（3）假设存在点，设，因为，，
所以，所以所以
设平面的一个法向量为，
所以，得．
即，所以或，所以或．

4．如图四棱锥，底面是等腰梯形，，平分且，平面，平面与平面所成角为60°．
（1）求证：．
（2）求二面角的余弦值．

【试题来源】山东省实验中学2020-2021学年高三第一次诊断考试（10月）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：因为平面，所以．
又因为，，所以平面，
平面，所以．
（2）证明：等腰梯形中，设．
因为且平分，，
，则，，
所以，．，则中．
以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
，，，，，
平面法向量，设平面法向量为，
，有，即，令，
所以，，所以，
平面法向量，
，，平面法向量，
，即，令，所以．
，所以二面角的余弦值为．

5．如图，在正方体中，分别是的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）棱上是否存在点，使得平面？请证明你的结论．
【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】（1）；（2）存在点，满足，使得平面；证明见解析
【解析】以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：

设正方体棱长为，则，，，，，，，
（1）设异面直线与所成角为，，，
，即异面直线与所成角的余弦值为；
（2）假设在棱上存在点，，使得平面
则，，，
设平面的法向量，，
令，则，，，
，解得 ，
棱上存在点，满足，使得平面．
【名师点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角、存在性问题的求解，重点考查了空间向量法求解立体几何中的角度和位置关系问题；处理存在性问题的关键是假设成立，利用直线与平面平行等价于直线与平面的法向量垂直来构造方程，求得未知量．

6．如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，的中点O在为三角形的外接圆的圆心，点N在边上，且．

（1）求与平面所成的角；
（2）求二面角的正弦值．
【试题来源】广东省深圳市外国语学校2021届高三上学期第一次月考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）证明 连接，
在中，由的中点O在为三角形的外接圆的圆心，，可知三角形为等腰直角三角形，所以，O为的中点，则，且．在中，，O为的中点，则，且．在中，满足，所以，
又，，平面，
故平面，所以与平面所成的角为．

（2） 因为，，两两垂直，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
则，，，，
，，
由，所以，则，
设平面的法向量为，
则
令，得，
因为平面，所以为平面的法向量，
所以．
所以二面角的正弦值为．
7．如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面是菱形，且，设平面与平面的交线为．

（1）证明：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期第二次月考（10月）
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：因为底面是菱形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以．
（2）取的中点，连结，，，
因为四边形是菱形，，所以是等边三角形，所以，
同理，得，
因为平面平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
所以，，两两垂直，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，
由，取，得，
是平面的一个法向量，所以，
所以，所以平面与平面所成锐二面角的大小为．

8．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别是的中点．

（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值．
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：以为 原点，以所在的直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系，，

，
，所以，所以．
（2），设平面的法向量为，
则，，，令，则．
设与平面所成角为，
，
所以与平面所成角的正弦值为．
9．如图，四棱锥中，面面，，，，，．

（1）证明：；
（2）求与面所成角的正弦值．
【试题来源】浙江省浙南名校联盟2020-2021学年高三上学期第一次联考
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）如图所示，设与交点为0，
因为，，，
所以四边形为等腰梯形，所以易得，又因为，
所以，，同理可得，所以，，
因为，所以
又因为面面，且面面，面
所以面，又因为面，所以．

（2）建立如图所示空间直角坐标系，以0为原点，以为轴，为轴，过点作面的垂线为轴．则，，，，，因为面，面，所以，
又因为，，所以．
所以，．，
设平面的一个法向量．则，
即所以，
不妨设，则，设与面所成角为，
．
10．在三棱锥中，平面平面，和均是等腰直角三角形，，，、分别为、的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）在等腰直角三角形中，，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．因为平面，所以；
（2）在平面内过点作垂直于，由（1）知，平面，因为平面，所以．
如图，以为原点，为，，轴建立空间直角坐标系．

则，，，，．
，，．
设平面的法向量为，则，即．
令则，，所以．
直线与平面所成角大小为，．
所以直线与平面所成角的正弦值为．

11．如图四边形PABC中，，，，现把沿折起，使与平面成60°，设此时在平面上的投影为点(与在的同侧)，

（1）求证：平面；
（2）求二面角大小的正切值．
【试题来源】辽宁省联合校2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）连，因为平面，得．
又因为，得平面，．
因为是与平面的角，．因为，得．
在中，，故有，
从而有，得平面．
（2）以､､为､､轴，建立坐标系，可得，，，．可求得平面的法向量是，

， ，设平面的法向量，
则，当时，，
平面的法向量 ，所以二面角大小的余弦值是， ，即．
12．如图，在平行六面体中，，，

（1）求的长；
（2）求证：直线平面．
【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）设，，，则．
因为，，，
所以，
所以
，所以
（2）由（1）知：，，
所以，
，
即，，又，所以平面．
13．如图（1）所示，在中，，，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图（2）所示．

（1）求证：平面；
（2）若是的中点，求与平面所成角的大小；
（3）线段（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）不存在，答案见解析．
【解析】（1），，是平面内的两条相交直线，
平面，又平面，，
又，是平面内的两条相交直线，平面．
（2）如图建系，

则，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为
则 所以 所以
所以取，得，又因为，
所以，与平面所成角
所以，，
所以与平面所成角的大小．
（3）设点的坐标为，，
设平面的法向量为，
则，，，
令，则．要使平面与平面垂直，需
，解得，不满足条件．
所以不存在这样的点．
14．如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且．

（1）求证： 平面；
（2）求直线到平面的距离．
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：以为原点，以，，所在的直线分别为，，轴，
如图建立空间直角坐标系，，

，设平面的法向量为，
则，，，令，则，
，所以，
因为平面，所以平面．
（2）因为平面，所以直线上任一点到平面的距离都相等，，
设直线到平面的距离为，则，
所以直线到平面的距离为．
15．已知空间三点．
（1）若点在直线上，且，求点的坐标；
（2）求以为邻边的平行四边形的面积．
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由点在直线上，可设，利用可求出，进而得出点的坐标；
（2）由求出，进而求出，即可利用面积公式求解．
【解析】（1），点在直线上，设，
，
，
，
，，．
（2），

，
，，
，所以以为邻边得平行四边形的面积为．
16．如图所示，在多面体中，四边形为正方形，平面平面∥．

（1）若，证明：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求的长．
【试题来源】江苏省南京师大附中2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）在中：，，，
故，故．
平面平面，，故平面，
平面，故，，
故平面，平面，故平面平面．
（2）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，设，
，，，，
设平面的法向量为，则，
取得到；设平面的法向量为，
则，取得到；
故，解得或（舍去）．
故．

17．如图，四边形与均为菱形，，，且．

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
【试题来源】山东省潍坊市五县市2020-2021学年高三上学期阶段性监测
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）设与相交于点，连接，
因为四边形为菱形，所以，为的中点，
因为，所以，又，所以平面，
平面，所以；

（2）连接，因为四边形为菱形，且，
所以为等边三角形，为中点，所以，
又，，所以平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，因为，，所以，，
、、、，
设平面的法向量为，，，
则，即，
令，则，，则，
设平面的法向量为，，
则，即，
令，则，，可得，
所以，
由图形知，二面角为钝角，它的余弦值为．
18．如图，已知在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，，点在底面的投影恰好为与的交点，．

（1）证明：；
（2）若为的中点，求二面角的余弦值．
【试题来源】云南师大附中2020届高三（下）月考（理）（七）
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）如图，在平面图形中，过点作的垂线交于点，
易得，故，在中，由余弦定理知，
，
故．由相似可知，，
又，所以，故，所以．
又点在底面的投影为，所以平面，所以，
又，所以平面，所以．

（2）如图，以为原点，，，分别为，，轴
建立空间直角坐标系，由（1）知，
故，，，
，，，
故，，．
设平面的一个法向量为，则，
即，令，解得，故．
同理，可求得平面的一个法向量为，
设二面角为，则．

19．如图，在三棱锥中，底面是正三角形，，底面，点E，F分别为，的中点．

（1）求证：平面BEF平面PAC；
（2）在线段PB（不含端点）上是否存在点G，使得平面EFG与平面PBC所成锐二面角的正弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．
【试题来源】河南省名校联盟2020届高三（6月份）高考数学（（理））联考试题
【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析．
【解析】（1）因为，E为AC的中点，所以．
又因为平面ABC，平面ABC，所以．
因为，PA，平面PAC，所以平面PAC，
又因为平面BEF，所以平面平面PAC．
（2）如图，由（1）知，，，点E，F分别为AC，PC的中点，
所以，所以，又，所以EB，EC，EF两两垂直，
以E为原点，以方向为x，y，z轴建立坐标系，

则，．
设（），所以，
，
，．设平面EFG的法向量为，
则，所以，
令，则，．
，，设平面PBC的法向量，
则，令，则，，．
由已知，，
又，故线段PB上不存在点G，使得直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为．
【名师点睛】面面垂直的判定可由线面垂直得到，而线面垂直可通过线线垂直得到，注意面中两条直线是相交的．由面面垂直也可得到线面垂直，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线．空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把空间角的计算归结平面图形中的角的计算．
20．如图所示，正方形和矩形所在的平面互相垂直，动点在线段（包含端点，）上，，分别为，的中点，．

（1）若为的中点，求点到平面的距离；
（2）设平面与平面所以的锐角为，求的最大值并求出此时点的位置．
【试题来源】山东省新高考测评联盟2020-2021学年第一学期高二10月联考
【答案】（1）；（2）的最大值，此时点与点重合．
【解析】以点为坐标原点，以，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．
（1）由图可得，，，，
则，，．
设平面的一个法向量为，
由可得．
设点到平面的距离为，则．

（2）因为动点在线段（包含端点，）上，可设，
则，．设平面的一个法向量为，
由可得．
因为平面的一个法向量，
所以
所以当时，取得最大值，此时点与点重合．
21．如图所示，在正方体中，为对角线的中点，为的中点．

（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）若平面平面，求证：．
【试题来源】山东省新高考测评联盟2020-2021学年第一学期高二10月联考
【答案】（1）90°；（2）证明见解析．
【解析】（1）如图所示，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．

设正方体棱长为，则，，，，．
所以，，
则，所成角的余弦值为，
所以异面直线与所成角为90°．
（2）证明：在中，，分别为，的中点，所以，
因为平面，平面．所以平面．
因为平面，平面平面，所以．
22．已知三棱锥的展开图如图二，其中四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：

（1）证明：平面平面；
（2）若是的中点，求二面角的余弦值．
【试题来源】广西柳州市2020届高三第二次模拟考试（理）
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）设的中点为，连接，，

由题意，得，，．
因为在中，，为的中点，所以，
因为在中，，，，，所以
因为，，平面，所以平面，
平面，所以平面平面
（2）由（1）问可知平面，所以，，，于是以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
设平面的法向量为，则
由得：．令，得，，即．
设平面的法向量为，由得：

，令，得，，即
．由图可知，二面角的余弦值为．