初中数学竞赛标准教程及练习33：同一法.doc

初 中数学竞赛精品标准教程及练习（33）
同一法
一、内容提要
1.　“同一法”是一种间接的证明方法。它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等效的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的逆命题。
2.　同一法则的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，那么它和它的逆命题同时有效。这称为同一法则。
　互逆两个命题一般是不等价的。例如
原命题：福建是中国的一个省　（真命题）
逆命题：中国的一个省是福建　（假命题）
　但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。例如
原命题：中国的首都是北京　（真命题）
逆命题：北京是中国的首都　（真命题）
因为世界上只有一个中国，而且中国只有一个首都，所以互逆的两个命题是等效的。又如
原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高。（真命题）
逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线。（真命题）
　因为在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯一的，所以互逆的两个命题是等效的。
3.　釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题符合同一法则，则可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是：
① 作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立）
② 证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设）
二、例题　
例1. 求证三角形的三条中线相交于一点
已知：△ABC中，AD，BE，CF都是中线
求证：AD，BE，CF相交于同一点
分析：在证明AD和BE相交于点G之后，本应再证明CF经过点G，这要证明三点共线，直接证明不易，我们釆用同一法：连结并延长CG交AB于F，，证明CF，就是第三条中线（即证明AF，＝F，B）
证明：∵∠DAB＋∠EBA＜180　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴AD和BE相交，设交点为G　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
连结并延长CG交AB于F，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
连结DE交CF，于M　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵DE∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴＝＝， 即＝
＝＝， 即＝
∴＝， ∴AF，＝BF，，AF，是BC边上的中线，
∵BC边上的中线只有一条， ∴AF，和AD是同一条中线
∴AD，BE，CF相交于一点G。
例2.已知：△ABC中，D在BC上，AB2－AC2＝BD2－DC2
求证：AD是△ABC的高
分析：从题设AB2－AC2＝BD2－DC2证明结论不易，因为BC边上的高是唯一的，所以拟用同一法，先作出AE⊥BC，证明在题设的条件下AE就是AD。
证明：作AE⊥BC交BC于E　　　　　　　　　　　　 A　　　　　　　　　　　　　
根据勾股定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
AB2－AC2＝（AE2＋BE2）－（AE2＋EC2） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　＝BE2－EC2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵AB2－AC2＝BD2－DC2　　　　　　　　B　　　　　　E　D　　C　　　　　　　　　　　　　　　　
∴BD2－DC2 ＝BE2－EC2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（BD＋DC）（BD－DC）＝（BE＋EC）（BE－EC）　
∴BD－DC＝BE－EC　 ①
BD＋DC＝BE＋EC　　②
①＋②：2BD＝2BE
即点D和点E重合，即AD　是△ABC的高　
例3如图已知：四边形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝15　　　　　　　　　　　　
　　　　∠CBD＝45，∠CDB＝30　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
求证：△ABC是等边三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
证明：在BC或延长线上取点E，使BE＝AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
连结AE，DE，则△ABE是等边三角形
AE＝AB＝AD，∠EAD＝150－60＝90，∴∠ADE＝45
∵∠ADC＝45，且DE，DC在DA的同一侧，
∴DE和DC重合，它们与BC边的交点E，C也重合
∴△ABC是等边三角形

例4.求证：＝1
分析：直接证法，一般是把左边写成再化简为1，但没有成功。拟用同一法，可认为要证明的
原命题是：有两个数，，它们积是－1，则它们的和是1
那么逆命题是：若u+v=1,且uv=－1，则u=,v=　
证明：设　u+v=1,且uv=－1，根据韦达定理的逆定理（初三教材）
得u,v是方程x2－x－1＝0　的两个根　
　　　　x=,即u,v分别等于，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
而u3=（）3＝2＋，　v3=（）3＝2－
　∴u=,v=
即＝1
例5.已知：ACD是圆的割线，点B在圆上，且AB2＝AC×AD
　求证：AB是圆的切线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　证明：过点B作圆的切线，交DC于A1，　　　　　　　　　　　　　　
则∠CBA1＝∠D　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
由已知AB2＝AC×AD，则＝，∠A＝∠A　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴△ACB∽△ABD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠CBA＝∠D，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∠CBA1＝∠CBA
∴BA和BA1重合，它们与DC的交点是同一个点
即AB是圆的切线。
例6.以△ABC的三个顶点为圆心，作三个圆两两外切，切点分别是D，E，F，那么过D，E，F的圆是△ABC的内切圆。
　分析：用同一法证明，作出△ABC的内切圆，再证明三个切点和
D，E，F重合

证明：作△ABC的内切圆和AB，BC，CA分别切于D，，E，，F，
根据　切线长定理，得
AD，＝AF，＝，BE，＝BD，＝，CF，＝CE，＝
设⊙A,⊙B，⊙C半径长分别为x,y,z
,解得，x=,y=,z=
∴AD，＝AD，BE，＝BE，CF，＝CF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
即D，与D，　E，与E ， F，与F重合。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴△ABC的内切圆和各边切于D，E，F　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
即过D，E，F的圆是△ABC的内切圆。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

三、练习33　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 用同一法证明：
① 三角形的中位线平行于第三边
② 梯形中位线平行于两底
2. 已知E是正方形ABCD内的一点，∠EAB＝∠EBA＝15　
求证△ECD是等边三角形
3. 已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36，在AC上取点D，使AD＝BC
求证BD是∠ABC的平分线
4. 如果梯形的一条腰等于两底和，那么夹这条腰的两个角的平分线的交点，必是另一腰中点
5. △ABC中，∠ C＝Rt∠，AC＝BC，点D在AC上，且CD＝AB－BC
求证BD平分∠ABC
6. 正方形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，DE⊥AM于E，求证点N在DE的延长线上
7. 已知：四边形ABCD中，E，F和GH分别三等分AB和CD，
M和N分别是BC，AD中点，　　　N　　　　D　　　　　　　
求证：　　　　　　　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
① MN平分EH和FG　 　　　E　　　　　　　　H　　　　　　　　　　　　　　　　
② MN被EH，FG三等分　　　　F　　　　　　　　　G　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　B　　　　　M　　　　C　　　　　　　　　　　　　　

8.已知：矩形ABCD中，AB＝2BC，点E在CD上，且∠CBE＝15　
求证：AE＝AB
9.已知：AD是四边形ABCD外接圆O的直径，∠ABC＝120∠ACB＝45　
　　　　点P在CB的延长线上，且PB＝2BC
　求证：PA是⊙O的切线　
10.已知：H是△ABC的垂心（三条高的交点），过H，B，C三点作⊙O，延长△ABC的中线AM交⊙O于D
　求证：AM＝MD　

　　　　A　　　OO　　　D　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　C　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　P　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

练习33参考答案：
1. 过一边中点作底边的平行线，证它经过另一边中点
2. 以CD为一边向形内作等边△E1CD，证∠E1AB＝∠E1BA＝15
3. 作∠ABC的平分线，证它与BD重合
4. 取另一腰的中点，……
5. 同3，作∠ABC的平分线，证它与BD重合
6. 延长DE交BC于N，，证明N，是BC的中点
7. ①取EH的中点P，FG的中点Q，则PFMG和QHNE都是平行四边形，PM过FG中点，QN过EH中点，……M，Q，P，N是同一直线
8. 作等腰三角形ABE1交CD于E1，证明E1和E是同一点。
9. 过点A作⊙O的切线交CB于P1，证明这P1B＝2BC
　设AD＝2R，可得AC＝R，AB＝R，……
　∵△P1AB∽△这P1CA，∴＝＝……
10. 延长AM到D，，使MD，＝AM，证明点D，在圆上。即B，H，C，D，四点共圆。