初中数学竞赛标准教程及练习36：三点共线.doc

初 中数学竞赛精品标准教程及练习（36）
三点共线
一、内容提要
1. 要证明A，B，C三点在同一直线上，常用方法有：
①连结AB，BC证明∠ABC是平角
　　　　②连结AB，AC证明AB，AC重合
　　　　③连结AB，BC，AC证明　AB＋BC＝AC
　　　　④连结并延长AB证明延长线经过点C　
2. 证明三点共线常用的定理有：
① 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行
② 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
③ 三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半
④ 梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半
⑤ 两圆相切，切点在连心线上
⑥ 轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上
二、例题
例1.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，点P是形内的任一点，PM⊥AB，
PN⊥CD
求证：M，N，P三点在同一直线上
证明：过点P作EF∥AB，
∵AB∥CD，∴EF∥CD
∠1＋∠2＝180，∠3＋∠4＝180　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵PM⊥AB，PN⊥CD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠1＝90，∠3＝90　　　∴∠1＋∠3＝180　　　　　　　　　　　　　
∴　M，N，P三点在同一直线上
例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上　
已知：平行四边形ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点，O是AC和BD的交点
求证：M，O，N三点在同一直线上
证明一：连结MO，NO
∵MO，NO分别是△DAB和△CAB的中位线
∴MO∥AB，NO∥AB
根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行
∴　M，O，N三点在同一直线上
证明二：连结MO并延长交BC于N，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵MO是△DAB的中位线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴MO∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在△CAB中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵AO＝OC，ON，∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　
∴BN，＝N，C，即N，是BC的中点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵N也是BC的中点，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴点N，和点N重合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴　M，O，N三点在同一直线上　　
例3.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90，M，N分别是AB和CD的中点，BC，AD的延长线相交于P
求证：M，N，P三点在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
证明：∵∠A＋∠B＝90，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∠APB＝Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
连结PM，PN　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
根据直角三角形斜边中线性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
PM＝MA＝MB，PN＝DN＝DC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠MPB＝∠B，∠NPC＝∠B　　　　　　　　　　　
∴PM和PN重合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　∴M，N，P三点在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例4.在平面直角坐标系中，点A关于横轴的对称点为B，关于纵轴的对称点是C，求证B和C是关于原点O的对称点　　 Y　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解：连结OA，OB，OC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵A，B关于X轴对称，　　　　　　　　C　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴OA＝OB，∠AOX＝∠BOX　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
同理OC＝OA，∠AOY＝∠COY　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠COY＋∠BOX＝90　　　　　　　　　　　O　　　　　　　　X　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴B，O，C　三点在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵OB＝OC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴　B和C是关于原点O的对称点　　　　　　　　　　　B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例5.已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过点B的直线EF分别交⊙O1和⊙O2于E，F。
求证：AE，AF和⊙O1和⊙O2的直径成比例

证明：作⊙O1和⊙O2的直径AM，AN，连结AB，BM，BN
∵AM，AN分别是⊙O1和⊙O2的直径　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠ABM＝Rt∠，∠ABN＝Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴M，B，N在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠M＝∠E，∠N＝∠F　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴△AMN∽△AEF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

三、练习36　
1. 已知：梯形ABCD中，AB∥CD，M，N，P分别是AD，BC，AC的中点　　求证：M，N，P三点在同一直线上
2. 已知：△ABC中，BE，CF是中线，延长BE到G，使EG＝BE，延长CF到H，使FH＝CF，
求证：G，A，H三点共线　　　　　　　　　　　　　　　　
3. 已知：正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，DE⊥AN于E，
求证：点M在DE的延长线上（同33第5）
4. 求证：梯形两腰中点和两条对角线的中点，四点在同一直线上
5. 已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A和∠D的平分线相交于O，
求证：点O在梯形的中位线上
6. 已知：△ABC中，∠ABM，∠ACN分别是∠B，∠C的邻补角，从点A作∠B，∠C，∠ABM，∠CAN四个角平分线的垂线段AD，AE，AF，AG，垂足是D，E，F，G
求证：D，E，F，G四点在同一直线上
7. 已知：点P在等边△ABC外，PA=PB+PC，以PA为一边作等边△APQ使点Q和点C在PA的同一侧
求证：PQ必过点C
8. 已知：△ABC中，AB=AC，直线AP∥BC，点D和点C是关于直线AP的对称点
求证：点D和点B是关于点A的对称点

练习36参考答案：
1. 连结MP，NP证明都与AB平行
2. 连结AG，AH证明都与BC平行
3. 连结DM证明DM⊥AN　　5.　证明MP平行于底边
6. 根据中位线性质，垂足连线平行于底边
7. 连结CQ，证明∠AQC＝60
8. 证明∠DAP＋∠PAC＋∠CAB＝180