二次函数最值问题的应用.doc

玉燕中学电子文档教案
课题名称：二次函数的最值问题的应用
设计者：温清木 修改者： 类别：【原创】
教材版本
人教版
年级册别
九年级上册
章节名称
二次函数的最值问题的应用
授课时间：
20 17 年 5 月 7 日 第 13 周 星期
授课教师
温清木
授课班级
九（11）班
教学目标
知识技能：能利用二次函数的性质，熟练并掌握二次函数最值问题
过程方法：会求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象，利用二次函数的性质，解决函数与圆、三角形、四边形的最值问题。
情感态度：通过建立二次函数的数学模型解决二次函数的最值问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。
重点
会运用二次函数的性质解决相关的最值问题
难点
利用二次函数的知识解决函数最值问题的策略进行反思
教具
多媒体课件
主要教学法
讨论、练习
教学过程
一、基础训练：（学生独立完成）
在二次函数 中：
1、与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ；
2、化为的 形式，结果为 ；顶点为 ；
3、当 x 时，y有最 值，是 ；
4、当 x 时，y随x增大而减少，
当 x 时，y随x增大而增大
设计意图：让学生从练习中回忆二次函数的有关内容，二次函数的图象是抛物线，其性质主要体现在
开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值、对称性等方面，熟练掌握这些性质是学好
本节课的前提和基础．
二、二次函数最值问题的应用
例．如图，已知抛物线经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3) 三点．点M是线段BC上的点(不与B，C重合)，过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，
(1)求抛物线的解析式；
(2)请用含m的代数式表示MN的长，当m为何值时，MN的值最大，最大值是多少？
(3) 连接NB，NC，是否存在点N，使△BNC的面积最大？若存在，求N的坐标；
若不存在，说明理由．
(4)连接NB，NC，AC是否存在点N，使四边形ABNC的面积最大？
若存在，求四边形ABNC的面积最大面积；若不存在，说明理由．

解题思路：
(1)指导学生通过三点式或交点式，求出抛物线：y＝－x2＋2x＋3
(2)要表示出MN，首先要先设N的坐标（m，－m2＋2m＋3）,从而知道出M的横坐标也是m，
再通过求出直线BC的解析式：y=－x＋3，表示出M 的坐标为（m,m-3），则可表示出MN
及求出最大值。
MN＝(－m2＋2m＋3)－(－m＋3) ＝－m2＋3m＝－(m－)2＋(0＜m＜3)
（3） 连接CN,BN，S△BNC＝S△CMN＋S△MNB＝MN·OB，∴当MN最大时，△BNC的面积最大，
所以当m＝时,此时N( , )，S△BNC最大 =×=，
（4） S△ABNC=S△ABC＋S△BNC S△ABC=AB·OC=6当△BNC的面积最大，S△ABNC最大 ，
S△ABNC最大=6+=
设计意图：二次函数最值问题是每年中考的热点问题，
也是每年考生得分较低的题型之一，所以要加强此类问题的训练力度，提高学生对这类问题的
分析能力与感知能力
题型分析：本题的设计通过求函数表达式来得到N和M的坐标，从而得到线段NM 的长，
再而进一步求出三角形和四边形的面积的最值问题，设计的目的是让学生体会线段的最值问题
和多边形最值问题的联系，并能学以致用！
小结：多边形面积的最值问题，最终就是求线段的最值问题
三、学以致用：
1、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣x2+x+4经过A、B两点．
（1）写出点A、点B的坐标；
（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，
求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，
并求出四边形PBCA的最大面积；

（设计思路：以上三小题均由学生自行交流，讨论，合作，选出代表上台讲解，一方面是进一步加强学生团结协作能力，另一方面，培养学生学会学与教的能力）

设计意图：通过以上练习进行加强巩固，让学生进一步体会多边形的最值问题，最终就是求线段的
最值问题。

四、能力拓展：
1．如图，在直角坐标系xOy中，一次函数（m为常数）的图像与x轴交于A（-3，0），与y轴交于点C；以直线为对称轴的抛物线（a，b，c为常数，且a＞0）经过A，C两点，与x轴正半轴交于点B．
（1）求一次函数及抛物线的函数表达式。
（2）在对称轴上是否存在一点P，使得PBC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标．
（3）点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合），过点D作DE‖PC交x轴于点E，连接PD、PE。设CD的长为m， PDE的面积为S。求S与m之间的函数关系式。并说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值：若不存在，请说明理由。

题型分析：本题属于二次函数与几何图形的一道动态综合题，也属于难题较大的题型，其中涉及到的知识有抛物线的图像性质的相关知识，对几何图形的最大面积的探索，这一类题均为学生的一大弱点，考查的是学生的综合实力与心理素质！

五： 板书设计
二次函数最值问题
线段表示：（平行于y轴）
（平行于x轴）
(1)抛物线：y＝－x2＋2x＋3
(2)MN＝(－m2＋2m＋3)－(－m＋3) ＝－m2＋3m＝－(m－)2＋(0＜m＜3)
（3）S△BNC＝S△CMN＋S△MNB＝MN·OB，∴当MN最大时，△BNC的面积最大，所以当m＝时,此时N( , )，S△BNC最大 =×=，
（4）S△ABNC=S△ABC＋S△BNC S△ABC=AB·OC=6当△BNC的面积最大，S△ABNC最大 ， S△ABNC最大=6+=
S△ABNC最大

六、 教后反思：
二次函数的最值问题是历届中考的重点也是难点，一般均以压轴题出现，是历来考生的弱点，对于这类题，考的不仅是学生的综合实力更是学生的心理素质，仅仅通过今天这节课的复习是远远不够的，这需要培养学生掌握扎实的基础知识，更需要长期的训练总结反思！

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