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本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,第三章 简单优化模型,-,静态优化模型,3.1,存贮模型,3.2,生猪,出售时机,3.3,森林救火,3.4,消费者选择,3.5,生产者决议,3.6,血管分支,3.7,冰山运输,第1页,现实世界中普遍存在着,优化问题,.,建立静态优化模型关键之一是依据建模目确实定恰当,目标函数,.,求解静态优化模型普通用,微分法,.,静态优化问题指,最优解是数,(,不是函数,).,简单优化模型,(,静态优化,),第2页,3.1,存贮模型,问 题,配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设,备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费,.,该厂,生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出,.,已知某产品日需求量,100,件，生产准备费,5000,元，贮存费,每日每件,1,元,.,试安排该产品生产计划，即多少天生产,一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小,.,要,求,不只是回答下列问题，而且要建立生产周期、产量与,需求量、准备费、贮存费之间关系,.,第3页,问题分析与思索,天天生产一次,每次,100,件,无贮存费,准备费,5000,元,.,日需求,100,件，准备费,5000,元，贮存费每日每件,1,元,.,10,天生产一次,每次,1000,件，贮存费,900+800+100 =4500,元，准备费,5000,元，总计,9500,元,.,50,天生产一次,每次,5000,件,贮存费,4900+4800+100=122500,元，准备费,5000,元，总计,127500,元,.,平均天天费用,950,元,平均天天费用,2550,元,10,天生产一次,平均天天费用最小吗,?,天天费用,5000,元,第4页,这是一个优化问题，关键在建立目标函数,.,显然不能用一个周期总费用作为目标函数,.,目标函数,天天总费用平均值,.,周期短，产量小,周期长，产量大,问题分析与思索,贮存费少，准备费多,准备费少，贮存费多,存在最正确周期和产量，使总费用（二者之和）最小,.,第5页,模 型 假 设,1.,产品天天需求量为常数,r,；,2.,每次生产准备费为,c,1,天天每件产品贮存费为,c,2,；,3.,T,天生产一次（周期）,每次生产,Q,件，当贮存量,为零时，,Q,件产品马上到来（生产时间不计）；,建 模 目,设,r,c,1,c,2,已知，求,T,Q,使天天总费用平均值最小,.,4.,为方便起见，时间和产量都作为连续量处理,.,第6页,模 型 建 立,0,t,q,贮存量表示为时间函数,q,(,t,),T,Q,r,t,=0,生产,Q,件，,q,(0)=,Q,q,(,t,),以,需求速率,r,递减，,q,(,T,)=0.,一周期,总费用,天天总费用平均,值（目标函数）,离散问题连续化,一周期贮存费为,A,=QT,/2,第7页,模型求解,求,T,使,模型解释,定性分析,敏感性分析,参数,c,1,c,2,r,微小改变对,T,Q,影响,T,对,c,1,(,相对,),敏感度,c,1,增加,1%,T,增加,0.5%,S,(,T,c,2,)=,1/2,S,(,T,r,)=,1/2,c,2,或,r,增加,1%,T,降低,0.5%,第8页,经济批量订货公式,（,EOQ,公式,）,用于订货供给情况,:,不允许缺货存贮模型,模型应用,T,=10(,天,),Q,=1000(,件,),C,=1000(,元,),回答原问题,c,1,=5000,c,2,=1,，,r,=100,天天需求量,r,，每次订货费,c,1,天天每件贮存费,c,2,T,天订货一次,(,周期,),每次订货,Q,件，当贮存量降到零时，,Q,件马上到货,.,思索,:,为何与前面计算,C,=950,元有差异,?,第9页,允许缺货存贮模型,A,B,O,q,Q,r,T,1,t,当贮存量降到零时仍有需求,r,出现缺货，造成损失,.,原模型假设：,贮存量降到零时,Q,件马上生产出来,(,或马上到货,).,现假设：,允许缺货,天天每件缺货损失费,c,3,缺货需补足,.,T,周期,T,t=T,1,贮存量降到零,一周期总费用,一周期贮存费,一周期缺货费,第10页,天天总费用,平均值,（目标函数）,一周期总费用,求,T,Q,使,为与不允许缺货存贮模型相比，,T,记作,T,Q,记作,Q,.,允许缺货存贮模型,第11页,不允许缺货,模型,记,允许缺货模型,不允许缺货,第12页,允许缺货模型,O,q,Q,r,T,1,t,T,注意：缺货需补足,Q,每七天期初存贮量,R,每七天期生产量,R,（或订货量）,Q,不允许缺货时产量,(,或订货量,),第13页,存 贮 模 型,存贮模型,(EOQ,公式,),是研究批量生产计划主要理论基础,也有实际应用,.,建模中未考虑生产费用,为何,?,在什么条件下能够不考虑,(,习题,1)?,建模中假设生产能力为无限大,(,生产时间不计,),假如生产能力有限,(,大于需求量常数,),应作怎样改动,(,习题,2)?,第14页,3.2,生猪出售时机,喂养场天天投入,4,元资金，用于饲料、人力、设备，,预计,可使,80kg,重生猪体重增加,2kg.,问题,市场价格当前为,8,元,/kg,，不过,预测,天天会降低,0.1,元，问生猪应何时出售,?,假如,预计,和,预测,有误差，对结果有何影响,?,分析,投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间降低，故存在最正确出售时机，使利润最大,.,第15页,求,t,使,Q,(,t,),最大,10,天后出售，可多得利润,20,元,.,建模及求解,生猪体重,w,=80+,rt,出售价格,p,=8,gt,销售收入,R=pw,资金投入,C,=4,t,利润,Q=R,C,预计,r,=2,，,若当前出售，利润为,808=640,（元）,t,天出售,=10,Q,(10),=,660 640,g,=0.1,=,pw,4,t,第16页,敏感性分析,研究,r,g,微小改变时对模型结果影响,.,预计,r,=2,，,g,=0.1,设,g,=0.1,不变,t,对,r,（相对）敏感度,生猪天天增加体重,r,变大,1%,，出售时间推迟,3%.,r,t,第17页,敏感性分析,预计,r,=2,，,g,=0.1,研究,r,g,微小改变时对模型结果影响,.,设,r,=2,不变,t,对,g,（相对）敏感度,生猪价格天天降低,g,增加,1%,，出售时间提前,3%.,g,t,第18页,健壮性分析,保留生猪直到天天收入增值等于天天费用时出售,.,由,S,(,t,r,)=3,提议过一周后,(,t,=7),重新预计,再作计算,.,研究,r,g,不是常数时对模型结果影响,.,w,=80+,rt,w,=,w,(,t,),p,=8,gt,p,=,p,(,t,),若,(10%),则 （,30%,）,天天收入增值,天天投入资金,利润,第19页,3.3,森林救火,森林失火后，要确定派出消防队员数量,.,队员多，森林损失小，救援费用大；,队员少，森林损失大，救援费用小,.,综合考虑损失费和救援费，确定队员数量,.,问题分析,问题,记队员人数,x,失火时刻,t,=0,开始救火时刻,t,1,灭火时刻,t,2,时刻,t,森林烧毁面积,B,(,t,).,损失费,f,1,(,x,),是,x,减函数,由烧毁面积,B,(,t,2,),决定,.,救援费,f,2,(,x,),是,x,增函数,由队员人数和救火时间决定,.,存在恰当,x,，使,f,1,(,x,),f,2,(,x,),之和最小,.,第20页,关键是对,B,(,t,),作出合理简化假设,.,问题分析,失火时刻,t,=0,开始救火时刻,t,1,灭火时刻,t,2,画出时刻,t,森林烧毁面积,B,(,t,),大致图形,.,t,1,t,2,O,t,B,B,(,t,2,),分析,B,(,t,),比较困难,转而讨论单位时间烧毁面积,d,B/,d,t,(,森林烧毁速度,).,第21页,模型假设,3,）,f,1,(,x,),与,B,(,t,2,),成正比，系数,c,1,(,烧毁单位面积损失费）,1,）,0,t,t,1,d,B/,d,t,与,t,成正比，系数,(,火势蔓延速度,).,2,）,t,1,t,t,2,降为,x,(,为队员平均灭火,速度,).,4,）每个,队员单位时间灭火费用,c,2,一次性费用,c,3,.,假设,1,）解释,r,B,火势以失火点为中心，均匀向四面呈圆形蔓延，半径,r,与,t,成正比,.,面积,B,与,t,2,成正比,d,B/,d,t,与,t,成正比,第22页,模型建立,b,O,t,1,t,t,2,假设,1,）,目标函数,总费用,假设,3,）,4,）,假设,2,）,第23页,模型建立,目标函数,总费用,模型求解,求,x,使,C,(,x,),最小,结果解释,/,是火势不继续蔓延最少队员数,其中,c,1,c,2,c,3,t,1,为已知参数,b,O,t,1,t,2,t,第24页,模型应用,c,1,c,2,c,3,已知,t,1,可预计,c,2,x,c,1,t,1,x,c,3,x,结果解释,c,1,烧毁单位面积损失费,c,2,每个,队员单位时间灭火费,c,3,每个,队员一次性费用,t,1,开始救火时刻,火,势蔓延速度,每个,队员平均灭火,速度,.,为何,?,可,设置一系列数值,由模型决定队员数量,x,第25页,3.4,消费者,选择,背景,消费者在市场里怎样分配手里一定数量钱，选择购置若干种需要商品,.,依据经济学一条最优化原理,“,消费者追求最大效用”,，用数学建模方法帮助消费者决定他选择,.,假定只有甲乙两种商品供消费者购置，,建立模型能够推广到任意各种商品情况,.,第26页,当消费者购得数量分别为,x,1,x,2,甲乙两种商品时，得到效用可用,函数,u,(,x,1,x,2,),度量,，,称为,效用函数,.,效用函数,利用等高线概念在,x,1,x,2,平面上画出,函数,u,等值线,u,(,x,1,x,2,)=,c,称为,等效用线,等效用线就是,“,实物交换模型,”,中,无差异曲线,，效用就是那里,满意度,.,O,x,2,u,(,x,1,x,2,)=,c,x,1,c,增加,一族单调减、下凸、,互不相交曲线,.,第27页,效用最大化模型,p,1,p,2,甲乙两种商品单价,y,消费者准备付出钱,x,1,x,2,购得甲乙两种商品数量,Q,A,B,y/p,2,y/p,1,x,1,x,2,几何分析,x,2,u,(,x,1,x,2,)=,c,x,1,O,c,增加,u,(,x,1,x,2,)=,c,单调减、下凸、互不相交,.,在条件,p,1,x,1,+,p,2,x,2,=,y,下使,效用函数,u,(,x,1,x,2,),最大,.,AB,必与一条等效用线相切于,Q,点,(,消费点,).,Q,(,x,1,x,2,),唯一,.,消费线,AB,第28页,模型求解,引入拉格朗日,乘子,结构函数,与几何分析得到,Q,一致,等效用线,u,(,x,1,x,2,)=,c,斜率,消费线,AB,斜率,第29页,结果解释,效用函数,结构,等效用线,u,(,x,1,x,2,)=,c,所确定函数,x,2,(,x,1,),单调减、下凸,.,解释条件中正负号实际意义,充分条件,当商品边际效用之比等于它们价格之比时效用函数最大,.,边际效用,商品数量 增加一个单位时效用增量,第30页,效用函数,u,(,x,1,x,2,),几个惯用形式,购置两种商品费用之比与二者价格之比平方根成正比,百分比系数是参数,与,之比平方根,.,u,(,x,1,x,2,),中参数,分别度量甲乙两种商品对消费者效用，或者消费者对甲乙两种商品偏爱,.,第31页,购置两种商品费用之比,只取决于,与价格无关,.,u,(,x,1,x,2,),中,分别,度量两种商品效用或者,偏爱,.,实际应用时,依据对最优解分析，决定采取哪种效用函数，并由经验数据确定其参数,.,效用函数,u,(,x,1,x,2,),几个惯用形式,第32页,效用最大化模型应用举例,例,1,征销售税还是征收入税,政府从消费者身上征税两种方法,:,销售税,依据消费者购置若干种商品时花钱征税,收入税,依据消费者收入征收所得税,利用图形从效用函数和效用最大化角度讨论,征税前设甲乙两种商品单价为,p,1,p,2,，消费者准备花钱为,y,等效用线为,u,(,x,1,x,2,)=,c,，消费点为,Q,(,x,1,x,2,),.,第33页,l,1,Q,1,B,1,x,1,*,l,2,Q,2,B,2,A,2,x,1,B,A,Q,u,(,x,1,x,2,)=,c,O,x,2,x,1,l,例,1,征销售税还是征收入税,对甲商品征,销售税,税率为,p,0,征税前消费点,Q,消费线,AB,1,B,1,在,B,左边,AB,1,与,l,1,相切于,Q,1,(,x,1,*,x,2,*,),若改为征,收入税,政府得到销售税额,p,0,x,1,*,征收税额与销售税额,p,0,x,1,*,相同,消费线,A,2,B,2,与,l,2,相切于,Q,2,可证,B,2,在,B,1,右边,.,l,2,在,l,1,上,？,l,2,在,l,1,下？,假如,l,2,在,l,1,上方，,Q,2,效用函数值将大于,Q,1,对消费者来说征收入税比征销售税好,.,第34页,例,2,价格补助给生产者还是消费者,政府为勉励商品生产或者降低消费者负担所采取两种价格补助方法：,把补助款直接给生产者,把补助款发给消费者而让商品涨价,勉励商品生产,对消费者无影响,让甲商品价格涨到,p,1,+,p,0,补助消费者多花钱,p,0,x,1,*,使仍到达消费点,Q,l,Q,A,B,u,(,x,1,x,2,)=,c,O,x,1,x,2,l,Q,A,B,x,1,x,2,补助,前消费点,Q,消费线 过,Q,与,l,相切于,Q,效用函数值大于,Q,x,1,x,2,*,对消费者更有利,对甲商品生产不利,第35页,3.5,生产者决议,背景,依据经济学又一条最优化原理,“,生产者追求最大利润”,，用数学建模方法,帮助生产者或供销商做出决议,.,生产者或供销商依据产品成本和产值决定投入，按照商品销售情况制订价格,.,在市场经济中,“消费者追求最大效用”,，生产者呢？,第36页,最大利润模型,x,产品产量,f,(,x,),边际产值,x,改变一个单位时产值改变量,c,(,x,),边际成本,x,改变一个单位时成本改变量,最大利润在边际产值等于边际成本时到达,.,假定产品能够全部销售出去变成收入,f,(,x,),产值,(,收入,),c,(,x,),成本,利润,到达最大利润,产,量,x,*,第37页,在产品能够全部销售出去条件下确定商品价格，使利润最大,.,产量,x,等于销量，数量无限制,.,收入与,x,成正比，系数,p,即价格,.,成本,与,x,成正比，系数,c,即,边际成本,.,销量,x,依于价格,p,x,(,p,),是减函数,.,简化假设,求,p,使,r,(,p,),最大,最优定价模型,利润,第38页,c/,2,成本二分之一,b,弹性系数,价格上升,1,单位时销量下降幅度（需求对价格敏感度）,a,绝对需求,(,p,很小时需求,),b,p,*,a,p,*,a,b,可,由,p,和,x,统计数据作拟合得到,利润到达最大定价,利润,最优定价模型,第39页,投资费用一定下产值最大模型,x,1,x,2,甲乙产品产量,c,1,c,2,甲乙产品单位成本,s,总投资费用,f,(,x,1,x,2,),产值函数,在条件 下求,x,1,x,2,使产值,f,(,x,1,x,2,),最大,.,Q,A,B,s,/,c,2,s,/,c,1,x,1,x,2,x,2,f,(,x,1,x,2,)=,v,x,1,O,v,增加,等产值线,f,(,x,1,x,2,)=,v,单调减、下凸、互不相交,.,几何分析,投资线,AB,必与一条等,产值,线相切于,Q,点,.,与效用最大化模型类似,下凸,稀缺产品产值更高,第40页,投资费用一定下产值最大模型,最优解,(,x,1,x,2,),满足,在条件 下求,x,1,x,2,使产值,f,(,x,1,x,2,),最大,.,用拉格朗日乘子法求条件极值,边际产值,当两种产品边际产值之比等于它们价格之比时，产值到达最大,.,第41页,产值最大与费用最小对偶关系,x,=(,x,1,x,2,),T,c,=(,c,1,c,2,),投资费用一定产值最大模型,g,(,s,c,),给定单位成本,c,下费用不超出,s,最大产值,.,产值一定投资费用最小模型,s,(,v,c,),给定单位成本,c,下产值不低于,v,最小费用,.,对偶极值问题,只要处理其中之一,另一个就迎刃而解,成本函数是简单线性函数,c,(,x,).,产值函数,f,(,x,),在实际生产过程中经常难以确定,.,第42页,从成本函数确定产值函数图解法,产值最大与费用最小对偶关系应用,Q,f,(,x,),v,l,A,B,O,x,1,x,2,给定,v,和,c,求得最小费用,s,(,v,c,)=,s,画出直线,AB,:,cx,=,s,x,=(,x,1,x,2,),T,c,=(,c,1,c,2,),f,(,x,),v,点在,AB,上方,且,AB,上有一点,Q,位于,l,:,f,(,x,)=,v,上,改变,c,重复上述过程,得到一系列不一样斜率直线,区域,f,(,x,),v,在直线上方,其边界是等产值线,l,:,f,(,x,)=,v,包络线,改变,v,重复上述过程,得到一系列等产值线,第43页,3.6,血 管 分 支,背景,机体提供能量维持血液在血管中流动,.,给血管壁以营养,.,克服血液流动阻力,.,消耗能量与取决于血管几何形状,.,在长久进化中动物血管几何形状已经到达能量最小标准,.,研究在能量最小标准下，血管分支处粗细血管半径百分比和分岔角度,.,问题,第44页,模型假设,一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面,.,血液流动近似于黏性流体在刚性管道中运动,.,血液给血管壁能量随管壁内表面积和体积增加而增加，管壁厚度,d,近似与血管半径,r,成正比,.,q,q,1,q,1,A,B,B,C,H,L,l,l,1,r,r,1,q,=2,q,1,r,/,r,1,?,考查血管,AC,与,CB,CB,第45页,黏性流体在刚性管道中运动,p,A,C,压力差，,黏性系数,克服阻力消耗能量,E,1,提供营养消耗能量,E,2,管壁内表面积,2,rl,管壁体积,(,d,2,+2,rd,),l,管壁厚度,d,与,r,成正比,模型假设,q,q,1,q,1,A,B,B,C,H,L,l,l,1,r,r,1,第46页,模型建立,q,q,1,q,1,A,B,B,C,H,L,l,l,1,r,r,1,克服阻力消耗能量,提供营养消耗能量,机体为血流提供能量,第47页,模型求解,q,q,1,q,1,A,B,B,C,H,L,l,l,1,r,r,1,第48页,模型解释,生物学家：结果与观察大致吻合,大动脉半径,r,max,毛细血管半径,r,min,大动脉到毛细血管有,n,次分岔,观察：狗血管,血管总条数,推论,n=,？,第49页,3.7,冰山运输,背景,波斯湾地域水资源贫乏，淡化海水成本为每立方米,0.1,英镑,.,教授提议从,9600km,远南极用拖船运输冰山，取代淡化海水,.,从经济角度研究冰山运输可行性,.,建模准备,1.,日租金和最大运量,船 型,小 中 大,日租金（英镑）,最大运量（,m,3,）,4.0,6.2,8.0,5,10,5,10,6,10,7,第50页,2.,燃料消耗（英镑,/km,）,3.,融化速率（,m/,天）,与南极距离,(km),船速,(km/h),0 1000 4000,1,3,5,0 0.1 0.3,0 0.15 0.45,0 0.2 0.6,冰山体积,(m,3,),船速,(km/h),10,5,10,6,10,7,1,3,5,8.4 10.5 12.6,10.8 13.5 16.2,13.2 16.5 19.8,建模准备,第51页,建模目标,选择船型和船速，使冰山抵达目标地后每立方米水费用最低，并与淡化海水费用比较,.,模型假设,航行过程中船速不变，总距离,9600km.,冰山呈球形，球面各点融化速率相同,.,抵达目标地后,每立方米冰可融化,0.85m,3,水,.,建模分析,目标地水体积,运输过程融化规律,总费用,目标地冰体积,初始冰山体积,燃料消耗,租金,船型,船速,船型,船型,船速,船型,第52页,第,t,天融化速率,模型建立,1.,冰山融化规律,船速,u,(km/h),与南极距离,d,(km),融化速率,r,(m/,天）,r,是,u,线性函数,d,4000,时,u,与,d,无关,航行,t,天,d,=24,ut,0 1000 4000,1,3,5,0 0.1 0.3,0 0.15 0.45,0 0.2 0.6,u,r,d,第53页,1.,冰山融化规律,冰山初始半径,R,0,，航行,t,天时半径,冰山初始体积,t,天时体积,总航行天数,选定,u,V,0,航行,t,天时冰山体积,抵达目标地时冰山体积,第54页,2.,燃料消耗,10,5,10,6,10,7,1,3,5,8.4 10.5 12.6,10.8 13.5 16.2,13.2 16.5 19.8,V,u,q,1,燃料消耗,q,1,(,英镑,/km),q,1,对,u,线性,对,lg,V,线性,选定,u,V,0,航行第,t,天燃料消耗,q,(,英镑,/,天,),燃料消耗总费用,第55页,V,0,5,10,5,10,6,10,7,f,(,V,0,)4.0 6.2 8.0,3.,运输每立方米水费用,冰山初始体积,V,0,日租金,f,(,V,0,),（英镑）,航行天数,总燃料消花费用,拖船租金费用,冰山运输总费用,第56页,冰山抵达目标地后得到水体积,3.,运输每立方米水费用,冰山运输总费用,运输每立方米水费用,抵达目标地时冰山体积,第57页,模型求解,选择船型和船速,使冰山抵达目标地后每立方米水费用最低,求,u,V,0,使,Y,(,u,V,0,),最小,u,=45(km/h),V,0,=10,7,(m,3,),，,Y,(,u,V,0,),最小,V,0,只能取离散值,经验公式很粗糙,3,3.5,4,4.5,5,10,7,0.0723,0.0683,0.0649,0.0663,0.0658,0.2251,0.,0.1834,0.1842,0.1790,10,6,78.9032,9.8220,6.2138,5.4647,4.5102,V,0,u,5,10,6,取几组（,V,0,，,u,）用,枚举法,计算,第58页,结果分析,因为未考虑影响航行种种不利原因，冰山抵达目标地后实际体积会显著小于,V,(,u,V,0,).,相关部门认为，只有当计算出,Y,(,u,V,0,),显著低于淡化海水成本时，才考虑其可行性,.,大型拖船,V,0,=10,7,(m,3,),船速,u,=45(km/h),冰山抵达目标地后每立方米水费用,Y,(,u,V,0,),约,0.065(,英镑,).,即使,0.065,英镑略低于淡化海水成本,0.1,英镑，不过模型假设和结构非常简化与粗糙,.,第59页,冰 山 运 输,模型来自实际问题可行性研究,.,搜集数据是建模主要准备工作,.,依据数据得到经验公式是建模基础,.,冰山形状球形假设简化了计算,这个假设合理性怎样,?,假如改变它呢,?,第60页,
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