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初中平面几何中逆向思维的探究许娜(山东省德州市第五中学 2 5 3 0 0 0)【摘要】虽然平面几何一直在初、高中数学知识中占有很重要的位置,也深刻地改变了学生思考的方式,但是在实际课堂上和指导学生解题的方式中,教师大多都是使用较为传统的顺向思路的方式指导学生,而极少使用和学习逆向思维,如数学里面反证法的讲解就在逐渐地淡化.但往往在复杂的数学求解问题时,如果人们从逆向思考开始,就能够发现一种别样的方法.这不但可以更精妙地处理数字上的许多现象,对于学生的逻辑思维的提升开发也将产生非常大的影响.【关键词】平面几何;勾股定理;逆向思维1 平面几何相关公式中的逆向思维能力例1 如图1、图2所示为直角三角形,求b、c的长度.图1 图2此题目的为勾股定理的运用,主要考查学生通过合理的逆向思维,对数学公式进行变形,使学生解题变得更加简单.解(1)b=1 2;(2)c=1 0.分析(1)因为由勾股定理可知a2+b2=c2,所以b=c2-a2,所以b=1 2.(2)由勾股定理可知a2+b2=c2,所以c=a2-b2,所以c=1 0.2 平面几何相关定理中的逆向思维能力例2 请给出原命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题,并证明.解 原命题的逆命题是“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形”.图3证明如下 如图3.因为D是A C边的中点,且B D=12A C,所以AD=C D=B D,因为AD=B D,所以A B D=A,因为C D=B D,所以C B D=C,又因为A B D+C B D+A+C=1 8 0,所以2(A B D+C B D)=1 8 0,所以A B D+C B D=9 0,所以A B C=9 0,所以A B C是直角三角形.通过勾股定理和逆定理的学习,我们可以了解原命题和逆命题之间的转化,其根本就是运用了逆向思维的原理.而初中数学中的反证法其实质也恰恰就是对逆向思维的合理运用,它可以很巧妙地证明数学中很多我们很难证明的命题.3 平面几何相关实际问题中的逆向思维能力例3 图4是公路上一涵洞入口的平面直角坐标示意图,点A和D、点B和E分别关于y轴对称,6 数理天地 初中版基础精讲2 0 2 3年1 0月上涵洞的弧顶部分B C E可看作抛物线,最高点C离路面AD的距离为8 m,点B离路面AD的距离为6 m,涵洞宽AD为1 6 m.图4(1)求涵洞顶部B C E对应的函数表达式;(2)现有一辆宽为4 m货车在装载货物后,货物顶部离路面高为7 m,请说明此货车能否安全通过这个涵洞?解(1)由已知O A=O D=8 m,O C=8 m,A B=6 m.故C(0,8),B(-8,6).设抛物线对应的函数表达式为y=a x2+8,将B点坐标代入,得6=a(-8)2+8,解得a=-13 2,所以y=-13 2x2+8(-8x8).(2)假设这辆货车能在从涵洞正中行驶,则其最右边到y轴的距离为2 m,如图4.设抛物线上横坐标为2的点为F,过点F作F F1丄AD于点F1,当x=2时,y=-13 2 22+8=6 38,即D(2,6 38),所以F F1=6 38m,因为6 387,所以该货车能安全通过这个涵洞.由于此题涵洞不仅限制宽度,还限制高度,所以对于货车是否能通过涵洞,我们可以打破常规思路,按以下方法思考.思路一 根据此货车的高度,求出在此高度下涵洞的宽度,即把高度带入y中,若求出x的值在数轴上的宽度大于货车的宽度,那么货车就可以安全通过,反之就不能通过.思路二 根据货车的宽度,求出在此宽度下涵洞的高度,如果求出的高度大于货车的高度,就可以安全通过.因此解决本题时,我们不仅带着问题回到题目中,还巧用了题目中的两个量.所以我们在解答题目时,要多做一些逆向的考虑,打破原有的常规思路,不是从已知去找寻未知,而是要带着未知找寻已知.这样学生的思路就不会变得单一,思维也会更加灵活.4 结语逆向逻辑思维是数学教育思维中最关键的思维能力一种,而平面几何中反逆逻辑思维的训练也必不可少,而逆向逻辑思维对于平面几何的教学也具有非常关键的意义,二者是相互促进的.学生的初中阶段是智力水平发展的重要阶段,因此在平时的数学教学活动中,我们应该重视对学生逻辑思维能力的培养,注重学生的长远发展,而不是注重应试教育.随着社会的不断进步和发展,逆向思维的作用也将逐渐得到重视,运用也将越来越广泛.参考文献:1李亚梅.逆向思维在初中数学解题中的应用J.数理天地(初中版),2 0 2 3(0 1):1 8-1 9.2 朱倩芸.初中数学教学中学生逆向思维能力的培养策略J.天津教育,2 0 2 2(3 3):4 9-5 1.3 王凯.逆向思维分析法在初中平面几何辅助线中的运用J.现代中学生(初中版),2 0 2 2(0 8):3 5-3 6.4龚爱峰.初中数学解题教学中逆向思维的应用J.读写算,2 0 2 1(2 8):1 5 5-1 5 6.72 0 2 3年1 0月上基础精讲 数理天地 初中版