高考数学的思维特征与研究方法--高三数学复习建议.pdf

数学的思维特征与研究方法-高三数学复习建议什么是高考？普通高等学校招生全国统一考试（简称高考）是合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试。高等学校根据考生成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取。适当的难度I较高的信度 一I高考I必要的区分度效度每一个参与高三复习的教师要思考:高三复习的依据是什么?高三复习的目的是什么?高三复习的价值在哪里?普通高等学校招生全国统一考试大纲（简称考试大纲）是高考命题的规范性文件和标准，是考试评价、复习备考的依据。iWj考命题 ml T 高考的性质和功能TW|考试大纲卜醺寻I一高考内容改革规定考试内容与性质高考考试内容改革注重顶层设计、统筹谋划，突出考试 内容的整体设计，科学构建了高考评价体系高考核心功能立德树人-为什么考-引导教学服务选才高考考试内容改革注重顶层设计、统筹谋划，突出考试 内容的整体设计，科学构建了高考评价体系核心价值必备知识 考什么I 关键能力学科素养高考考试内容改革注重顶层设计、统筹谋划，突出考试 内容的整体设计，科学构建了高考评价体系创新性基础性-1怎Z考I-应用性综合性以2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学为例1.全面考查基础知识，重点考查主干内容如理科全国工、n、m卷的第1-7题和第13,14,17题都是 直接考查基础知识和基本方法的试题.在此基础上，试卷还强调对主干知识的重点考查，体现 了对数学知识考查的全面性、基础性和综合性.如解答题中 重点考查了函数、导数、三角函数、概率统计、数列、立 体几何、直线与圆锥曲线等主干内容.以2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学为例2.注重题型设计创新，综合考查数学素养2017年的数学试卷在立足稳定的基础上注重创新题型 的设计，综合、灵活地考查考生的数学素养.试卷中问题情 景更加丰富，设问方式更加新颖，即有利于生活情景、素 材和语言考查考生逻辑思维能力的逻辑题，也有利用数学 原理说明所采用方法是否合理的说明题，还有利用数学知 识建立数学模型解决实际问题的建模题.以2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学为例3.坚持能力立意原则，突出通性通法考查2017年的数学试卷注重对数学通性通法的考查，试题以 一道题为载体，呈现给考生的是一类题，是解决这一类问题 的通用方法.如理科数学全国口卷第11题考查了求极值的方法，理科 数学全国I卷第18题及理科数学全国口、HI卷的第19题考查 了求直线与平面、平面与平面所成角的方法，特别是理科数 学全国HI卷第21题考查了划归于转化的思想方法，揭示了如 何利用辅助函数研究不等式证明的方法.以2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学为例4.贴近生产生活实践，体现数学应用价值2017年的数学试题紧密结合社会实际和考生的现实生活，体现了数学在解决实际问题中的重要作用和应用价值，体现了 高考改革中加强应用性的特点.知识复习的逻辑教学的逻辑高三数学 复习的逻辑思维复习的逻辑方法复习的逻辑知识是高三数学复习的载体数学的思想观点数学知识 高三复习-思维方法研究数学问题的方法 才是有价值的知识的复习.知识复习的价值在于知识是复习的载体知识承载的学科观点知识的内涵-研究知识-知识之间的联系知识与学科的联系 I-通过知识的复习要收获的是：学生理解知识的思维能力 研究知识的解决问题的能力.数学概念、定义一I定理、例题、公式一练习一数学问题知识思维复习的逻辑数学知识I理解I数学思维看成是“应试”工具记住、会用运用数学方法大量重复的训练“应试”的技能学生在高三数学的知识复习中暴露出 来的问题很多，表面看是知识本身的问题 造成的：数学概念不清楚定理、公式记不住不会运用知识解决数学问题从数学本质看一 学年的思维能力不足计算总出错误我们要有这样的教学信念思维是可以教的！改变教师提出 问题的方式各个单元知识 所承载的思维方法如何教学生 思考问题重视结论、公式 背后的思维方法改变学生思考 问题的方式、如何教函数的思维方法满足特定关 系的两个自变量,其对应的函数值 之间又具有什么 关系呢？和为零的两个自变量I 1X o-Xx-1 0 1-xy=f(x)满足特定关 系的两个自变量,其对应的函数值 之间又具有什么 关系呢？和为2的两个自变量I 十 0,不妨设a在第一象限，则口在第二象限，且cosa=W，sinA=：,cos/?=卓.可得 cos(a /?)=cos acos/3+sina sin/?学田沁=_那=79*一般地，对于函数/(%),如果存在一个非零常数丁，使得定义域内的每一个Z值,都满足/Gr+T)=/(%),那么函数/(力就叫做周期函数，非零常数丁叫做这个函数的周期./(x)=/(x+T)何父X+Ty ay=sin x x cR（2）周期性，由博导公式r eWZ；，的值。增施或Nt少2次的总故信时,正筮*敏的假重复出迎 中.斗角的终地缓原点转动同到母计时.正就线的般S：（长度和符号）不发生变化.以及正 修级逢绿军*无限延伸:b是过一性防的 0y=/3)符号语言一代数特征|图象特征p0T=-2x x-2若函数 y=/(x)满足/(x-i)=x+i),则/(X)的性质是什么？若函数 y=/(x)满足/(x T)=-/(x+l),则/(X)的性质是什么？/(x-l)=-/(x+l)=/(x+l)=-/(x+3)=/(xT)=/(x+3)n/(x+l)=-/(x+l+2)n T=4若函数满足/(x+l)+/(x l)=2/(x+1)+/(x+3)=2/(x 1)=/(x+3)3已知 y=/（x）,xeR9 满足/（X+5）=-/3，3且图象关于（-1，0）成中心对称，4进一步分析函数=X）的性质3 3/(x)+/(-x)=O/(%)+/(%+-)=03232已知函数y=/(2x+l)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图象与函数y=/U)的图象关于直线)，=x对称,则g(x)+g(-x)的值/(-2x+l)+/(2x+l)=0oy=/(x)关于(L0)对称o g(x)关于(0,1)对称g(x)+g(x)=2函数/（X）的定义域为R,若/（X+1）与/（X 1）都是奇函数，则（）A./(x)是偶函数 B.7(x)是奇函数C./(%)=/(%+2)D./(x+3)是奇函数分析：(1)因为/(x+1)与/(X 1)都是奇函数所以/(X+1)+/(-X+1)=0,/(x-1)+/(-X-1)=0 Q所以，/(x)的图象关于(1,0)和(-1,0)中心对称。即：/(%)+/(2 x)=0,/(x)+/(-2-x)=0代数特征 是确定的符号语言 是多样的.由此得/（2 X）=/（-2-X）这个等式表明y=/（X）的周期为4函数f（x）的定义城为火，若f（x+i）与/a-D都是奇函数，则（）A.(X)是偶函数 B.f(盼愚奇的数CJQv)=/(+2)D,f(x+3)超奇函数(2)进一步探索歹=/(x)及其他函数性质；所以/(x+1)+/(-%+1)=0,/(%-1)+/(-%-1)=0 利用 7=4 式可改写成/(%+5)+/(-%+5)=0 和/(x+3)+f(x+3)=0这两个等式表明y=/(x+5)与函数y=/(x+3)是奇函数。设函数 f(x)=Asin(d2r+0),A 0,69 0,若/(x)在区间2上具有单调性，且/=/6 2(2J 3 J问题1:如何理解函数，a)=4 sin(奴+0),月0。0,问题3：你如何理解条件 若/(x)在区间巴,上具有单调性 6 2已知定义在R上的奇函数满足/&-4)=-/(“),且在区间02上是增函数，则(A)/(-25)/(11)/(80)(O/(11)/(80)/(X-4)=/(x+4)=T=8,(B)/(80)/(11)/(-25)(D)/(-25)/(80)/(ll)所以有/(-25)=/(-I),/(80)=/(O)z/(11)=/(3)八 3-4)二=已知/（X）对于xeR，都有/（x+8）=-/（一2-x）,且当x3 时，/(x)=x2-7x+4,求y=/(x)dX W 3 时/(x)关于点(3.0)对称x3/(x)=-f(6-x)=-(x-6)2-7(6-x)+4=+5 x+2.已知定义在R上的偶函数/，其图像关于直线x=2对称.当 X6(-2,2)时，/(.r)=l+r,则当 x w(-6：-2)时，/(x)=/(X)=/(X)“X)=/(4-X)/(-X)=/(4-X)7=4x (6,-2)x+4 g(-2,2)x)=/(x+4)=1+(x+4)2如何理解两个函数之间的关系间出指数函数/1 1 1?=2，.（旬的图象.=列出z,y的对应值表:JC -3-210123 y=2x 1248 5)8421 y=y与歹=/(-&的图象有何特征?歹=/(+须与y=/(。一关系如何y=/(x)与y=/(一工)的图象有何特征？y=f(a+x)与=/(q 一工)关系如何y=/H)与v=/(i-的图象具有什么关系？/Il-(2-x)=/(x-l)x+(2-x)-=12y=/(%)与歹=/a+1)y=/(x)与片 f(x-i)X X _/函数函数4M的图象与函数J=si菰图象是什么关系？函数JU证目的图象与函数J=sinR电图象是什么关系?2-工改变教师提出 问题的方式各个单元知识 所承载的思维方法如何教学生 思考问题重视结论、公式 背后的思维方法改变学生思考 问题的方式若函数F=g（K）与/（）=/血（二x-三）的图像关于直线1=1对称,4 3求当x w O；时=g（x）的最大值.若函数y=g（x）与/（x）=75 sin（；k-=）的图像关于直线”1对称,求当x e0；时y=g（x）的最大值.因区间9：关于x=1的对称区间为g二故j=g（x）在0；上的最大值 3为V=/（X）在巨力上的最大值知f（K）=75sin（三 x-三）4 3 X _,-SX-S 2 A 4 2 6g（x）皿 fs喉=椭圆双曲线嬴晨直线与日锥曲线二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题评面直角坐标系中的基本公式-直线的方程-圆的方程一空间直角坐标系解析几何是如何思考问题的呢?几何特征动点运动-P（X,y）代数形式形成轨迹f(x,y)=0已知圆C:(x 3)2+3 4)2=1和两点Z(TW,O),(加0).若圆。上存在点八使得N/P8=90,则加的最大值为(A)7(B)6(C)5(D)4圆 C:(x 3丫+()一4)2=1：如何理解两点/(加,0),3(见0)(加0)-5OBTX V如何理解直町+了1 通过点 M(cos a,sin a)cos a sin a-+-ab若直线三+!=1通过点”(cose,sin a),则()a bA.片+Wl B.+C.2+Wl D.er b cf bcos a sin a.fcosa sma 2-+-=1(-+)a b。bcos2 a sin2 a 2 sin a cos a.-+-T+-二 1a b ab1-sin2 a 1-cos2 a 2 sin er cos a-?-1?-1 a-b-ab二111+P=1+2 crsm-a cos-a 2 sHicr cos a-1-；-er tr ab若直线三+!=1通过点”(cose,sin a),则()a bA.片+Wi B.片+C.2+W1 D.er b cf bcos a sin a 1 f-i V丁+丁=1 匕+大/”)=1sin(df+0)=,0,m w 55 m H 1,777 W 55 m过定点”(4,2)任作互相垂直的两条直线4和、.分别与工轴、轴交于4,求|尸。|的最小值B两点.P为AB的中点满足条件AB=2tAC=41BC的三角形的面积的最大值代人上式得.设BC=R,则AC=&x,根据面积公式得S,二g ABXBCsinB=-cos2 B,根据余弦定理得.D AB2+BC2-AC2 4+x2-2x2 4-X2 cosB-=-=-2ABxBC 4x 4xV5x+t)由三角形三边关系有、二2 0；解得20-2vx v2 应+2 故当x2=12,x=2/时S“bc取最大值旧=26满足条件AB=2SAC=41BC的三角形48。的面积的最大值设C(x,y),则(x+1)2+y2=2(x一 1)2+/,gp(x-3)2+/=8,p显然点至卜轴的距离最大值为2亚,所以三角形，超c的面积的最大值为，2)改变学生思考问题的方式已知数列他%=-2,an+x=Sn求通项公式外分析：用归纳法分析：&1=-2 a2=-2 a3=-4 a4=-8.6从第二项起是等比A=-2=-4=可以看出：代是等比数列从而，将6+i=S,改为改变学生思考问题的方式已知数列%ax=-2,an+x=Sn求通项公式。力sn+i-sn=sn=2Sc3:2S=-2 2t=-2n-25=1)s s=_2t(zz2)n 77-1 v/改变学生思考问题的方式T+2f3+2 A2 4+.+23t+3Tx 3 T2 3?3X 2启3一2321-（如1-23，+i_ 2用改变学生思考问题的方式方法复习的逻辑在高三近一年的复习中，学生为什么要做那 么多的数学题目？做题的价值在哪里呢？无论是教师还是学生都应该追问自己，解决 数学问题的方法有没有规律可循呢？进行方法 复习的逻辑是什么呢？就是把所要解决的娄 类，每一类问题对於数学问题-判断类型_在这种理念下指导中 电力的体现更多的是二 程度。攵学问题从房式上做分，着解决问题的方法。一类型1 方法1一类型2-方法2一类型3-方法3一类型.-方法.勺学生解决数学问题 在操作层面上的熟练-类型1-方法1一类型2-方法2数学问题判断类型一一类型3-方法3L类型.一方法.在这种理念下的教学策略是：教师通 过典型例题的分析，归纳问题的类型并 针对每一个类型明确具体的方法，最后 是应用训练。数学问题判断类型一-类型1-方法1-类型2-方法2一类型3-方法3L类型.-方法由于解决数学问题时学生思维的指向是识别 问题的类型，因而容易忽视对数学问题本身的理 解，对所研究对象的本质分析往往是不到位的、不全面的。学生一旦识别不出问题的类型，就断 定没有办法解决这个问题而放弃作答。上述类型化、套路化的解题能力 的教学由于没有碰触到数学问题的 本如 因而对学生数学思维水平的 提高是无力的，对学生解决问题能 力的培养也是非本质的。方法1 方法2 方法3 方法具体方法数学问题可以分为两个要素：一个是这个问题中涉及 到的研究对象，这个对象不一定是一个；还有一个要素 是针对研究对象所提出来的需要解决的具体问题.解决针对这个研究对象的具体问题的方法是怎 么得到的呢？在教师的教学教学实践中，教师经常会结合具 体的例题讲解解决问题的方法；通过对问题的类型 的划分对应着不同的方法进行教学；让学生通过一 定量的练习，积累解题的经验所得到的方法等等.教学中，教师不太关注方法是如何得到的，关 注比较多的是学生会不会熟练运用这样的方法去解 决问题.如此，在学生的数学思维中，关于方法的思 维活动就变得缺乏逻辑，解决问题的能力似乎就在 于你所掌握的解题套路是否足够多.基于这样理念的数学教学就演变成对 解题方法套用的教学，对所面对的数学问 题的类型识别并对应方法的教学.师生的解 决问题的数学思维活动越来越偏离数学学 科的本质，演变成对应试能力的训练也就 不足为奇了.教师要启发学生讲思路给学生思维空间一例题变问题在解题教学中如何解决问题 开展数学思维活动解题思维变为-T-研究问题思维依据所研究对象的性 质和关系“找”解决 问题的具体方法理解问题,I.r 单个研究对象的性质 不同研究对象的关系每天备课，在给学生找题目做的时候,我们要反问自己：解决数学问题的一般方法找到了吗？您讲题目的目的是什么呢？复习一年的阶段目标是什么？最终目标是什么？:、如何找到研究问题的方法?存在的问题:已知函数/(x)=F+4 丫 v v 0，若/(2-/)V(o)0.求实数。的取值范围“4x-x*,x0)X研究函数1=的性质X已知函数/（X）X：-8SX,对于月上的任意孙X有如下条件：X1X2 X：6|XiX”其中能使/（引/（三）恒成立的条件序号是2i Y1i2函数“叫鸣1则满足2的x的取值范围是A.-1,2 B.0,2 C,1,+oo)D.0,+oo)fM /(o)2014课标全国卷I（文史类）设函数/(=则使得/Q3 9 21 9）2成立的彳的取值范围是/(X)0),s/(x-2)0,求X以VA卜=Rxl/(x-2)/(2)己知函数/(x)=In(l+|x|)-1若 x)21)，求x的取值范围.1分析：研究函数/(x)=In(l+x)r的性质：偶函数，1+厂研究X20,此时/(x)=In(l+x),单调性分析：单调递增函数.1+厂1由/W fQx-1)得|x|2x 1,解得-X 1已知/(x)=a r+2t a+4,(0 t z 3),若为 0,开口向上抛物线,比较/（番）与/（x2）的大小问题就转化为归+1|与卜+1|的大小比较.因为已知占+工2=I-1-1-1-5 I由(X,+1)(X+1)。(X,X)(工2+/+2)(X?X)(3 ci),由(X,+1)(X+1)?=(%X)(x)+X+2)(%x j(3 一XiX2,0 6Z 0,因此/(X)/(x2).般 方 法r t t 方法1 方法2 方法3 方法.研究函数性质的一般方法的练习y=X-x e+ef(x)=eY(2x-x2)1 X fW=-一7 e 1+xfW=2x-b(x-1)2ex+ex研究函数v r的性质e-eX WO/(-x)=-f(x)是奇函数 一ex+ex e2x+1y=-=-e e2 v-1(e2xl)+2_11 2e2 v-1e2 Y-1研究函数）=2的性质.e零点：工=0,斯-%，/(I力 y=-s-Q Q极值点：x=1讨论：方程x二咻、的根的个权X m=汕 当0巾：时,方程声两畏当MSO或巾=）时，方程有一板.讨论方程4=x2-2x+w的根的个数 e-2x+w=(x-l):+m-l f的图象如图（1）：下面讨论献y咛与尸（1尸+时1的交点个数，如图（2）（4）ex研究函数/（X）=的性质，试比较对任意。,1），1-）、7+/）的大小方(X)单调递减，/?(x)/?(0)=0,krr人 T (x)=/-*)2,因为/（西）/（2/），所以/。2）/（2 W）,因为是（L+8）单调递减区间，故02 为X研究函数(工)=的性质并画示意ciX分析：，(%)=吸=D,函数的定义域为(Y,0)-(0,y)X画出函数/(x)=e(2x-1)的示意图.h(x)=(2 x-1)画出函数/(x)=eY(2x-x2)的示意图.画函数的示意图函数定义域函数解析式 y=/（无）对称性，函数的性质一单调性 周期性函数由零点/（X 尸 0函数在分布画出函数/(x)=ev-I n(x+1)的示意图.0 xI x研究函数小性质画出其示意图.4 零占 f(x)=1-X口内、2-ex(1-x)心)=77XC+22x-b(1)2性质,画出其示意图.研究函数/(x)=y=2x-b/二 2m)(2x-b)“一(x-1)4_ 2(x l)(x 1 2x+b)_ 2(x-l)(x+1-b)一(I)，(X-l)4户极值点：令/r(x)=0,得x=l,x-b-.f(x)符号与 g(x)=(x-l)(x+l-b)的符号一致.研究函数/（x）=T性质,画出其示意图.（X 1）-(1)力 2 时：一 1 2b/7 八 2 b 八又(Jb-1)=-He-1 b b-l2研究函数/&）=/2性质,画出其示意图.（X 1）.(3)6=2 时：-=1，又？=0 2 2 2依据函数性质找到解决函 数问题具体方法举例11.已知函数(x)=V2+。(1+H1)有唯一零点，则方.(2017年全国3卷)因为/(x)=/(2%)，故/(x)的图象关于直线x=l对称则/(x)的零点必在对称轴上，即/(1)=1一2+2。=0,解得。二,，答案选C.,已知函数/(x)的定义域为R,g(x)=/(X)-/(-x)卜(/+以一。).若存在函数/(X),使得函数g(x)有且只有两个不同的零点，则实数4的取值范围是分析：由 g(x)=0 可得/(X)/(X)=0 或 V+依。=0,因为函a f(x-X、的品曲头1R 的谷菊粉所以/由题意：所以，J=a+4a=0,得2=0或。=4当。=0时不合题意，舍去.故a 4.，/+g q有且只有一个零点且丕等于零.12.设函数/(x)=e(2x l)x+。，其中。1,若存在唯一的整数飞使得/(/)0,则。的取值范围是3 八 3 3、3 3、3 八L 2e)L 2e 4 j l_2e 4)2e)e，:(2-l)ax-ag(x)=/(2x 1),hx=ax-a.函数值的分布：g(x)=e%2x l)=0,x=x=0/=T.%；,g(x)。；1一,函数零点;21：W，g(x)06-15-10-8-1 g(x)=ex(2x+l)；极值点=-x -J,g(x)-pg W o,g(x)单调增.画出函数g(x)=e*x(2x-l)的示意图:4-g(x)=e(2x+1):极值点 x=一万1,X v-彳g(x)-?g(x)O?g(x)单调增.2研究=(=_3.研究8（%）=（21一1）与/（1）=不一（/z(-l)故有。的取值范围是I4-已知函数/（x）=zmx+x2-mx对于任意占/2 E -1/1，都有|/（芯）/（工2）|4e 1,求加的取值范围.分析：导函数/（）=加（e l）+2x|1m0 m 0 x 0 x v 0.r wo r（x）o/（x）Qx0 x0m 0 x Q f(x)0/(x)0-110已知函数/(x)=e+A设 g(x)=ex-x-e+l对于任意W,与求机的取值范围.导函数 g(x)=e“L具体问题等价于:/(l)-/(O)e-lew-m-e+l0Vw-(-m)-e+lO则a的取值范围是()A.(2-boo)B.(C.(1.Foo)1).(-8一 1)/(.r)3a.r2 6.r 已知函数/(x)=x3+dx+,g(x)=-Inx.4用 min77?,/?表示 m,n 中的最小值,设函数(x)=min/(x),g(x)(x 0),讨论/(x)零点的个数.分析：一：对单个函数的性质的研究:1.g(%)=Tnx可知研究的范围是%0,由图象可知在(1,+8)上，h(x)=min f(x),g(x)无零点.4由/(x)=+q(x 0)进一步地分析函数的变化状态:由/(x)=3无2+Q(x 0)进一步地分析函数的变化状态:时，/,(x)0,故函数/(%)=工3+%+；在(10)单调递增的.显然，此时/z(x)零点的个数为1.由f x)=3x2+a(x 0)进一步地分析函数的变化状态:。0),讨论力(%)零点的个数.函数力(x)零点的个数为2.止匕时/(5!)=0,即。=a3-2且/0即一？a 3 时，4 4函数奴工）零点的个数为3.且/（1）=0即Q 二时+J函数（上）零点的个数为2即a 2a2解析：依题点，巧工20时/(1)=4-a2 2x 2a2L 工，o2“工）的最小值为一口X 则八法().2 _ 2 11 D.一 7M田所示 Mb龄值一定()A.Wf 0 B,大于0 C.小于。D,小于或等予0/(x)=Sox2+2bx+c=0.竺0 3a当我们面对一个函数的图象的 时候，也是要学会利用图象去研究 这个函数的有关的性质，而不是计 算求值.解决问题平面解析几何的研究方法是什么呢?如果直线 y=kx_l 与圆+y2+A x+my-4=0 交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=O对称.求m+k.lt、/k m、圆心（一一t）2 2在直线x+y=O上.m+k=O平面解析几何L方运I几何对象一代数化、明确几何对象的性质2 2双曲线土一匕二1,右支上一点M,F凡M16 9的内切圆与X轴切于P点，则归耳尸局的值是忸耳H尸周=b耳IT 3周=0卜阻周=2=8.A、B是两个定点，|/5|=2,动点M到A的距离为4,线段MB的中垂线L交AM于P点，当M变化时，求P点的 轨迹方程”M分析：连PB,因为直线L垂直平分线段MB,所以，PM=PB,又 14 M=4,所以,AP+PM AP+PB二4,二P点轨迹是以A,B为焦点，长轴长为,.4的椭圆“A、B是两个定点,AB=2,动点M到A的距离为4,线段MB的中垂线L交AM于P点，当M变化时，求N点的.轨迹方程.A、B是两个定点，|/同=2,动点M到A的距离为4,线段MB的中垂线L交AM于P点，当M变化时，求N点的.轨迹方程.0己知动圆P过定点A(3,0),并且在定圆B仪-3)2+丫2=64的内部与之相切，求动圆心P的轨迹方程.解：设动圆圆心为P(x y),则有户网=8-2|所以，归4|+|尸身=8.因此，P点的轨迹是以A,B为焦点，8为长轴的椭圆.X2 v2故P点的轨迹方程是：+-116 7直线6+勿+8 a=0与圆f+2一%2=o的位置关系是 分析：直线方程为：嫉%l）+b（y+l）=0所以，几何特征为：恒过，1、2 2 9而圆（尸5）+“7i A 3圆心（一,o）到点（1,一1）的距离为y二二 2 2 2程析对几征 方分何的特 从中几象何所以，直线与圆相交.二、明确不同几何对象之 间的位置关系x2+2 11.51 S又如：点 P（x（j,yo）在抛物线 y?=2px 上 u y0 2=2pxr点 P（Xo，yo）在抛物线 y?=2px 内 u y0 2 jo点P（x o，yo）在椭圆+多=1（460）外。斗+刍1 a d cT b2x-y+1 0,(8)设关于其歹的不等式组0满足工0-2了0=2.求得机的取值范围是 2013年北京卷4 1 2 5(A)(-00,)(B)(-8,)(C)(co,)(D)(oo,)2x-y+0,(8)设关于x,y的不等式组0满足%-2y0=2.求得m的取值范围是2013年北京卷4(A)(-00,-)1 2 5(B)(8,)(C)(一8,)(D)(-8,)若实数X，满足F+歹2 2|+3 6|的最小值是如果点(x j)在小的弓形内部：2x+j-20,工+3)一6满足V+俨w 1,则|2x+y2|+k+3）6|的最小值是如果点（XJ）在大的弓形内部：2x+j?-20,x+3y 60 z=|2x+y-2|+x+3歹-61=-2x-y+2,-x-3y+6=-3x-4y+81 3 zy=(-3x+8 z)=x+2 ，4 4 43 4易知在41,)处z取最小值“3 4a z-3x-4-+8=3.mm 5 5已知双曲线%-%=1的右支上恰好有两点到0（坐标原点）、F（右焦点）的距离相等，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A.l e 2C.l e22 2点P在上一匕二1上,16 20若叫=9,贝忸卜_陷卜陷J=2K|=98所以，点P不可能在右支上，故:|尸鸟 尸用=2a=8 PF2=17一己知，椭圆得+。=1的左右焦点分别为用片.点P在椭圆上，若p,是一个直角三角形的三个顶点，则点P到了的距离为（）_Lp解：根据题意：期_|_朋则点p是以原点为1心，c=J7为半径的圆联立/+了?=7与三十乙=1得：y 16 9 7 7则点P到 的距离为孚.己知，椭圆得+。=1的左右焦点分别为用E.点P在椭圆上，若P,号鼻是一个直角三角形的三个顶点，则点P到X的距离为（）几何含义.b、97=c?V y 1-+=14 m 916 9 得了=ET 4则点P到x的距离为:4已夕解圆。彳+1确定”的取值范国，便谭对于直线了-4 r+m,C上有两个不同的点关于该直线对称己攵雌圆C:：+q=l确定m的取值范围,使得对于直线y=4 x+m.C上有两个不同的点关于该直线赫尔己攵神回C:亍+=1.确定网的取值范围，使得对于直线J=41+修，C上有两个不同的点关于该直线对称.抓住线段A B必与椭圆相交的几何特征直线A B的方程：y=+b2 2X 歹 1+=14 313/痴+16(-3)=0A0 网(理己攵咻圆C：+=1确定m的取值范围，使得对于直线=4 x+川，C上有两个不同的点关于该直线对称.138 云+16(/3)=0_ 8入xx+x2-b M点的坐标：-A-/_ 4 1,12.x y X+Z?=b13 7 4 13而M点在直统了,4 r+加上.律b,-12wi 42 2一m 冬713 73己攵雁圆C:亍+=1确定修的取值范围J使得对于直线J 4 r+wi c上有两个不同的点关于该直线对称.:11%）（乂+%）43己攵雌回吐+=1确定m的取值范围.使得对于直线y=4 i+m,C上有两个不同的点关于该直线珊/(%/)y=3xy=Ax+m己攵神回C:菅+4=1.确定网的取值范围，使得对于直线J=4 x+修，C上有两个不同的点关于该直线对称.m2 9m2 1十14 32 2-j=加 0)上存在两点4 B关于直线/:7二x+1对称,求夕的取值范围.又“(Xo/o)在/：=-x+l上，所以有/=1 一九=1 一，即 M(l-，p),因为点 在V=2.内部,所以，p-2p(l-p),.2解得0 p 0)上存在两点4 B关于直线/:7二x+1对称,求夕的取值范围.分析2：直线AB与产=2川 的位置是确定的，必相交于两个不同的点 设直线ABJ=X+根与歹2=2.联立，得：x2+2(加一 p)x+m2=0“由(),求得 p2-2mp 0(*),又占+工2=2(夕一加)，中点M(Xo/o)，所以有/二夕加，)=%+加=.即M(p-加,夕),代入=x+相得次=22-1,则因为夕:2%0(*)2解得：0夕?.“已知菱形HBCD的顶点4 C在椅圆F+3二4上，对角线BD所在直线的斜率为1.(I)当直线8D过点(0,1)4求直线4 c的方程;(II)当ABC二60。六求菱豚CD面积的最大值.已知菱形兑BCD的顶点4 C在椭圆/+3/=4上，对角线所在直线的斜率为L(I)当直线8。过点(0,1)时，求直线/C的方程；(II)当2450=60。时，求菱形,488 面积的最大值.1 A,C关于直线BD对称Y 且在椭圆上由四边形ABCD t，河知，点(3在直线】二工+1上,4 4，ri 3/1所以二二+1,解得二2,4 4所以直线4 C的方程为厂“2,即产2二0已知菱杉H8CD的顶点d,。在椭圆.5+3=4上，对角线所在直线的斜率为1.(I)当直浅过点(0,1)时.求直拨.4C的方程；(II)当NJ8C=60。时.求菱形X8CD面积的最大值.所以菱形458 的面积S=W|.4Cf.，由（I）可得|.4Cf=_工）2+（J）：=J.所以s=n-3所以当=0时，菱形BCD的面积取得最大值4万./3、要会选择恰当的代数化的形式.+(&+了 二 口(网一心十也一为OAOB=0 斗巧+为=0点与曲线的位置关系：主要有“点”在曲线上,“点”不在曲线上两种位置关系，对此,首先要有将其代数化的意识，其次要会将其代 数化。点P(Xo，yo)在椭圆多+方=l(ab0)上U殍+多=1点P(x,y。)在椭圆1(”)内。2+2b 0)外u-5r+-1 a d cT b又如：点 P（x（j,yo）在抛物线 y?=2px 上 u y0 2=2pxr点 P（Xo，yo）在抛物线 y?=2px 内 u y0 2 jo已知曲线。：=方21,（。0）,48点在。上并且关于直线/对称,群与/交于点 T，-白,求”的取值范围.分析：点（一,1）的位置是确定的,a 2a一定在曲线。：=妆2-1的内部-所以对应的代数化的形式为：.4/（-）2-Lla a3 解得：ci.2点P在抛物线炉=X上，点。在。-3)2+俨=1上,求归。Lrr已知：在？=2px上，直线。4。心倾斜角为尸，且。+尸=.证明直线N3过定点71分析：(1)条件a+夕=:如何代数化？4t a n(a+/?)=1,t a n a+t a n/?=1-t a n a t a n/7,4+=1-kxk2(2)直线4 8的代数化.y=kx+b,4(八必)1(”2)y=2pxky2-2py+2bp=0.2p 2bp乂+丁2=子，乂歹2二年 k kJT已知：48在2=2加上，直线倾斜角为4万，且2+尸=1.证明直线N3过定点(3)研究直线ZB的方程，也就是找人力之间的关系“关键条件：占+%2=1 一秘2.y=kx+by2=2px f-的，必)直线48：y=kx+2p+k).y=k(x+2p)+2p,直线48过(-2P,2p)“ky2-2py+2bp=0,2p 2bp乂+丁2=于，,歹2=亭K K+=1-,占=区，招=及，得b=2p(l+A).占 x2 xr 2p-2Px已知八厂直线交于两点间，轴上是否存在点P,当上变化的时候，总有NO尸M=问题：用什么样的代数形式刻画NC?M=NWN设点尸(0*)为符合题意的点，若NO尸M=NOPN,则直线PM的斜率左与直线PN的斜率左2互为相反数.y=kx+Cl故6=-。时，尤+左2=0，所以尸（0，。）.工2_4h_4。=0,x.+x2=4k,x,x2=-Aa.，%+仁=曰+匕x N(a+b)k aD,2km m 可得中点（1 7 1 3左2 k3 y=kx+m(kwO)与双曲线交于不同),4(。1)求加的取值范围-都在以4为圆心的同一圆上 如何代数化？，已知椭圆C：/+2/=9,点尸（2,0）.，过（1,0）的直线/与椭圆。相交于、N两点，设的中点为T,判断|ZP|与17Ml的大小，并证明你的结论2k2回=氏一2+=（罚-2）、（-2k2+1（2左2+2）2+左2 _ 4K+9左2+4（2 左 2+1）2-（2左 2+1）21 1 1 r n|7M|2=（-|W|）2=-（）12+1）（-%2）2=-（r+l）（x1+x2）2-4 x1x2 12 八/4左2 2k2-9.（左2+1）（16尸+9）16/+25公+9=一（K+1）（-；-）-4；=-；-=-；4 2产+1 2F+1（2 尸+1）2（2 产+1）2此时，17Ml2|ZP|216左4+25k2+9 4左4+942+4 _ 1244+16左？+5（2左 2+1）2（2左 2+1）2-（2,+1）2-tTMTPJ 4k2 2k2-9攵 X+Xj=,Xy Xj=.1 2 Ik2+1 1*2 2 公+1L、2公 7/kXj.-（X+Xj）,Vj=K（Xy-）=r 2V 1 27 2F+1 72k2+1已知椭圆C：/+2/=9,点尸（2,0）.，过（1,0）的直线/与椭圆。相交于、N两点，设的中点为T,判断|ZP|与17Ml的大小，并证明你的结论 故4MPN 90。，即点尸在以MN为直径的圆内，故PMPN二（%一2）（-2）+乂乃二（再2）（x 2）+K（X I）2 1）=（k2+l）x1x2-（内+2）（/+2）+4.2k2-9 4”2=伏2+1）.一（公+2）+左2+4 2抬+1）2k2+16k2+52A?+l0设/与X轴交于点3(%,。)，则因为/上的任意点到角两边距离是相等的，所以“国+61二2To 得/=；，故直线/：2x-y-l=Q.5 2理由 点4(2,3)与椭圆E：工+匚=1的位置关系如何?16 12直线AF1与直线AF2的几何特征是什么?直线/4：3x 4 y+6=0.,直线4工:x=2.2 2已知椭圆E：=+匕=1,6,乙分别为其左右焦点，4(2,3)为椭圆上一点。.16 12(1)求/的角平分线所在直线/的方程；.(2)在椭圆E上是否存在关于直线/对称的相异的两点？若存在，请找出，若不存在，说明 理由y=-LX+b 2二11 3中点6=4直线CD方程为歹=-gx+4.设AB分别为椭圆匚+?=1的左、右顶点，设尸为x=4.不同于点（4,0）4 3的任意一点，若直线4 P,8P分别与椭圆相交于异于48的点M、N,证明点B在以AW为直径的圆内.又点M异于顶点A、B,工一2a o0九+2 I_BM 9=2x 04+（必24+为02）0 将代入，化简得丽丽=1（2%）.四、平面解析几何问题综合题作图联立方程-消参-函数性质运用(1)要能够根据问题的条件,读出几何对象的几何特征.从两个 方面去分析：对于单个的几何对 象，要研究它的几何性质，对于 不同的几何对象，要关注它们之 间的位置关系.再此基础上做出图 形，直观地表达出所分析出来的 几何对象的几何特征