行列式概要.pptx

引言引言n n行列式行列式(determinant)(determinant)的概念最早是由十七世纪日本的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和数学家关孝和(Seki Takakazu)(Seki Takakazu)提出来的，他在提出来的，他在16831683年写了一部叫做年写了一部叫做解伏题之法解伏题之法的著作，标题的的著作，标题的意思是意思是“解行列式问题的方法解行列式问题的方法”，书里对行列式，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。n n在欧洲在欧洲,德国的数学家莱布尼茨（德国的数学家莱布尼茨（LeibnizLeibniz）16931693年年第一个提出行列式概念的是。第一个提出行列式概念的是。n n德国数学家雅可比于德国数学家雅可比于18411841年总结并提出了行列式年总结并提出了行列式的系统理论的系统理论n n行列式是一个数，它由一些数字按一定方式排成的方阵所确定。n n行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。二阶、三阶行列式的计算二阶、三阶行列式的计算二阶、三阶行列式的计算二阶、三阶行列式的计算(对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则)二阶行列式二阶行列式二阶行列式二阶行列式我们用记号我们用记号表示代数和表示代数和 称为二阶行列式称为二阶行列式,即即 二元一次方程组二元一次方程组 的唯一解为其中定义+三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式我们用记号我们用记号表示代数和表示代数和称为三阶行列式称为三阶行列式,即即主对角线法主对角线法 三元素乘积取“+”号；三元素乘积取“-”号.主对角线法主对角线法主对角线法主对角线法三元一次方程组三元一次方程组 的唯一解为其中+主对角线法主对角线法n n阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式我们用记号我们用记号排列排列_1定义1 由1,2,n组成的一个有序数组称为一个n级排列。例如，2431是一个4级排列。n级排列的总数是n!=n(n-1)112n也是一个n级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的。其它的排列都或多或少地破坏自然顺序。排列排列_2定义2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。例如，例如，24312431中，中，2121，4343，4141，3131是逆序，是逆序，24312431的逆的逆序数为序数为4 4。排列排列_3 定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。例如，2431是偶排列，2413是奇排列。P96 练习练习:决定以下排列的逆序数以及奇偶性决定以下排列的逆序数以及奇偶性(1)134782695 (2)217986354那么这个排列的逆序数等于那么这个排列的逆序数等于 计算逆序数的方法：计算逆序数的方法：计算逆序数的方法：计算逆序数的方法：看有看有多多少个数码排在少个数码排在1的前面，设为的前面，设为 个，那么就有个，那么就有 个数码与个数码与1构成反序；然后把构成反序；然后把1划去，再看划去，再看有多少个数码排在有多少个数码排在2的前面，设为的前面，设为 个，那么就有个，那么就有 个数个数 码与码与2构成反序；然后把构成反序；然后把2划去，计算有多少个数码在划去，计算有多少个数码在3前面，前面，设为设为 个，个，如此继续下去，最后设在，如此继续下去，最后设在 n前面有前面有 个个 排列排列_4定义定义 把一个排列中某两个数的位置互换，而其它把一个排列中某两个数的位置互换，而其它的数不动，就得到另一个排列，这样的一个变换称的数不动，就得到另一个排列，这样的一个变换称为为对换对换。例如，经过例如，经过1 1，2 2对换，排列对换，排列21342134变成变成12341234。定理定理1 1 对换改变排列的奇偶性。对换改变排列的奇偶性。推论推论 在全部在全部n n级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有n!/2n!/2个。个。(参考习题参考习题11)11)定理定理2 2 任何一个任何一个n n级排列与排列级排列与排列1212n n都可以经过一都可以经过一系列对换互变，并且所做对换的个数与这个排列有系列对换互变，并且所做对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。相同的奇偶性。n n阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义组成的记号组成的记号 称为称为n阶行列式阶行列式,其中：横排列称为行，纵排列称为列其中：横排列称为行，纵排列称为列.n级行列式级行列式_1 例例1 计算四阶行列式计算四阶行列式 例例2 计算上三角行列式计算上三角行列式 等于主对角线上元素的乘积特殊情况对角形行列式特殊情况对角形行列式练习：练习：P97 8 2）练习：练习：P96 6行指标和列指标行指标和列指标的地位是对称的的地位是对称的n级行列式_2行列式性质行列式性质_1 注：行列式中行与例的地位是对称的，从而凡是有关行的注：行列式中行与例的地位是对称的，从而凡是有关行的性质，对列也同样成立。性质，对列也同样成立。例例 计算下三角行列式计算下三角行列式 等于主对角线上元素的乘积行列式性质行列式性质_2Aij表示所有含有表示所有含有aij的项在提出公因子的项在提出公因子aij之后的代数和之后的代数和行列式按某行展开行列式的等价定义行列式的等价定义行列式性质行列式性质_2 行列式性质行列式性质_7 例：计算例：计算n级行列式级行列式例例2：一个：一个n级行列式，假设它的元素满足级行列式，假设它的元素满足 证明：当证明：当n为奇数时，此行列式为零。为奇数时，此行列式为零。练习：练习：P98 13 1）3）矩阵矩阵 定义定义1 1 数域P上sn个数 排成一个排成一个s s行行n n 列的表列的表 叫做一个s行n列（或sn）的矩阵，注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全不注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全不同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一个矩同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表阵仅仅是一个表.定义定义2 2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换：施行的下列变换：3)3)用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列）（列）2)2)交换矩阵的两行（列）交换矩阵的两行（列）1)用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）矩阵的三种初等行变换矩阵的三种初等行变换表示矩阵表示矩阵A经过初等行变换变成矩阵经过初等行变换变成矩阵B矩阵的三种初等行变换矩阵的三种初等行变换l l第1种:以非零的数k乘矩阵中的某一行 矩阵的三种初等行变换矩阵的三种初等行变换l l第第2种种:交换矩阵的第交换矩阵的第i行和第行和第j行的位置行的位置矩阵的三种初等行变换矩阵的三种初等行变换l l第第3种种:把矩阵中某一行的把矩阵中某一行的k倍加到另一行倍加到另一行阶梯形矩阵阶梯形矩阵n n定义定义定义定义满足以下条件的矩阵称为满足以下条件的矩阵称为满足以下条件的矩阵称为满足以下条件的矩阵称为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵：每一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素下方全零。每一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素下方全零。每一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素下方全零。每一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素下方全零。n n例子例子例子例子n n任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵矩阵矩阵矩阵 例：把下列矩阵通过初等行变换化为阶梯形矩阵例：把下列矩阵通过初等行变换化为阶梯形矩阵3)3)用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列）（列）2)2)交换矩阵的两行（列）交换矩阵的两行（列）1)用一个不等于零用一个不等于零k的数乘矩阵的某一行（列）的数乘矩阵的某一行（列）行列式的计算行列式的计算性质性质2性质性质7性质性质6行列式的计算行列式的计算n n阶梯形方阵的行列式为上三角形行列式阶梯形方阵的行列式为上三角形行列式n n方阵方阵A A通过一系列初等行变换后变成阶梯形通过一系列初等行变换后变成阶梯形方阵方阵J J，有，有例：计算例：计算行列式按某行展开特别地，定义定义 n(n1)阶行列式阶行列式 的某一元素的某一元素 的余子式的余子式 指的是在指的是在D中划去中划去 所在行和列后所余下的所在行和列后所余下的n1阶子式阶子式.实际上，实际上，一般地，定理：n n例：计算例：计算n n例：证明：范德蒙德行列式例：证明：范德蒙德行列式n n例：证明例：证明行列式的计算行列式的计算三角化法：对行列式通过初等变换化为上（下）三角行列对行列式通过初等变换化为上（下）三角行列式式降阶法：直接降阶：按行列式中非零元素较少的行（列）直接降阶：按行列式中非零元素较少的行（列）展开展开 间接降阶：利用行列式性质，使行列式的某行间接降阶：利用行列式性质，使行列式的某行（列）具有较少的非零元，再按其展开（列）具有较少的非零元，再按其展开普遍法则行列式的计算行列式的计算提取因子法：行和相等时，各列加到第一列，提取公因子行和相等时，各列加到第一列，提取公因子(P98 13 1)2)P100 17 3)(P98 13 1)2)P100 17 3)文字行列式，当文字取某些值时可使行列式为文字行列式，当文字取某些值时可使行列式为零，则行列式含此因子；结合行列式定义，可零，则行列式含此因子；结合行列式定义，可得行列式值得行列式值常用技巧拆分法：A=B+CP98 14行列式的计算行列式的计算 归纳法：III常用技巧化为 I 的情形Exe:P101 3)行列式的计算行列式的计算行列式的计算行列式的计算特殊行列式计算a)削去行列式第二列后所有对角元或次对角元，再展开b)直接按第一列展开(Exe:17 1)1.2.a)消去第一列（行）后成三角行列式b)直接按第一行（列）展开(Exe:18 1)3.a)加边法，化原行列式如2.形式b)第一行（列）消去其他各行（列），化为型如2.形式(Exe:18 5)行列式的计算行列式的计算行列式的计算行列式的计算 n n作业：P98 13 5)14 17 1)5)18 4)5)齐次与非齐次线性方程组的概念含有含有n 个方程的个方程的n 元线性方程组的一般形式为元线性方程组的一般形式为（1）它的系数它的系数 构成的行列式构成的行列式 称为方程组（称为方程组（1）的系数行列式。）的系数行列式。如果线性方程组（如果线性方程组（1.1）的常数项为零，即的常数项为零，即称为称为齐次线性方程组齐次线性方程组。（10）3.5.23.5.2克莱姆法则克莱姆法则定理定理3.5.1(克莱姆法则克莱姆法则)线性方程组线性方程组(1.1)当其系当其系数行列式数行列式 时时,有且仅有唯一解有且仅有唯一解 此处此处 是将系数行列式中第是将系数行列式中第j列的元素对应地换为列的元素对应地换为方程组的常数项方程组的常数项 后得到的后得到的n 阶行列式阶行列式.证证 时是显然的时是显然的.设设 .令是整数令是整数1，2，中的任意一个中的任意一个.分别以分别以 乘方程组乘方程组（1）的第一，第二，）的第一，第二，第个，第个 n方程，然后相方程，然后相加，得加，得 由定理由定理3.4.2和和3.4.3，的系数等于的系数等于D而而 的系数都是零；因此等式左端等于的系数都是零；因此等式左端等于 ，而等式，而等式右端刚好是右端刚好是 阶行列式阶行列式这样，我们得到这样，我们得到 令令 我们得到方程组我们得到方程组（3）方程组（方程组（1）的每一解都是方程组（）的每一解都是方程组（3）的解）的解.事实事实上，设上，设 是方程组（是方程组（1）的一个解。那么）的一个解。那么在（在（1）中把）中把 代以代以 ，就得到一组，就得到一组等式。对于这一组等式施以由方程组（等式。对于这一组等式施以由方程组（1）到方程）到方程组（组（3）的变换，显然得到下面的一组等式：）的变换，显然得到下面的一组等式：这就是说，这就是说，也是方程组（也是方程组（3）的一解。）的一解。当当 时，方程组（时，方程组（3）有唯一解，就是）有唯一解，就是（2）。因此方程组（）。因此方程组（1）也最多有这一个解。）也最多有这一个解。我们证明（我们证明（2）是（）是（1）的解。为此，把（）的解。为此，把（2）代入方程组（代入方程组（1），那么（），那么（1）的第）的第 个方程的左端变为个方程的左端变为而而计算出来，我们得到计算出来，我们得到这里我们应用了定理这里我们应用了定理3.4.2和和3.4.3。这就是说，。这就是说，（2）是方程组（）是方程组（1）得解。）得解。因此，当因此，当 时，方程组（时，方程组（1）有且仅有一）有且仅有一个解，这个解由公式（个解，这个解由公式（2）给出。）给出。齐次线性方程组解的定理齐次线性方程组解的定理定理定理5 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(10)的系数行的系数行列式列式 ,则它仅有零解则它仅有零解.例：求例：求 在什么条件下，下列方程组有非零解在什么条件下，下列方程组有非零解注：齐次线性方程组有非零注：齐次线性方程组有非零 解，则解，则D=0克拉默法则克拉默法则k阶子式、余子式、代数余子式阶子式、余子式、代数余子式例例1 1：在四级行列式：在四级行列式中例例2:2:在五级行列式在五级行列式中Laplace定理定理n n设D是n阶行列式，在D中任取k行（列），那么含于这k行（列）的全部k阶子式与它们对应的代数余子式的乘积之和等于D.即若取定k个行：n n例例3:3:利用利用LaplaceLaplace定理计算行列式定理计算行列式定理定理7 7（行列式乘法定理（行列式乘法定理）两个行列式）两个行列式的乘积等于一个n级行列式其中利用Laplace定理，可以证明Key Wordsn nPermutation 排列n nTransposition 对换n nDeterminant 行列式n nDeterminant of a Square Matrix 方阵对应的行列式n nCofactor 代数余子式n nCramers Rule 克拉默法则