清华大学微积分高等数学第讲简单常微分方程一省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,作业,P227 习题 8.1,1(2)(4)(6)(8).4.,P236 习题 8.2,1(2)(4)(6).,1/39,3/12/2025,1,第二十一讲 简单常微分方程,(一),一、微分方程基本概念,二、一阶常微分方程,2/39,3/12/2025,2,十七世纪末，力学、天文学、物理,学及工程技术提出大量,需要寻求函数,关系,问题。在这些问题中，函数关,系不能直接写出来，而要依据详细问,题条件和一些物理定律，首先得到,一个或几个含有未知函数导数关,系式，即,微分方程,，然后由微分方程,和一些已知条件把未知函数求出来。,一、微分方程基本概念,3/39,3/12/2025,3,重力,切向分力,解,4/39,3/12/2025,4,依据牛顿第二定律,得到,注意到,从而有,微分方程,初始条件,定解条件,定解问题,5/39,3/12/2025,5,定义1,:,含有未知函数导数,方程,称为,微分方程,.,未知函数是,一元函数,含有未知函数,导数,微分方程称为,常微分方程.,未知函数是,多元函数,含有未知函数,偏导数,微分方程称为,偏微分方程.,比如,6/39,3/12/2025,6,比如,二阶,未知函数导数最高阶数称为,微分方程阶.,定义2,:(微分方程阶),7/39,3/12/2025,7,未知函数及其各阶导数都是一次整式微分方程称为,线性微分方程,.,定义3,:(线性与非线性),8/39,3/12/2025,8,定义4,:(微分方程,解,),称为微分方程,通解,.,微分方程,通解：,9/39,3/12/2025,9,10/39,3/12/2025,10,微分方程,特解：,一个常微分方程,满足定解条件,解,称为微分方程,特解,通解有时也写成,隐式形式,称为微分方程,通积分,11/39,3/12/2025,11,12/39,3/12/2025,12,有n个,定解条件,13/39,3/12/2025,13,定义5,:(积分曲线 与积分曲线族),积分曲线族,14/39,3/12/2025,14,二、一阶常微分方程,初等积分法,所谓初等解法,就是用不定积分方法求解常微分方程.,初等解法只适合用于若干非常简单一阶常微分方程,以及一些特殊类型二阶常微分方程,.,15/39,3/12/2025,15,(一),变量可分离型,(三)一阶线性方程,(二),可化为,可分离变量,(五)全微分方程,(四)伯努利(Bernoulli)方程,(六)积分因子,16/39,3/12/2025,16,两边积分,通解,分离变量,这两个方程共同特点,是变量可分离型,(一),分离变量法,17/39,3/12/2025,17,(1)解,两边积分,分离变量,即,18/39,3/12/2025,18,(分离变量时,这个解被丢掉了!),于是得到方程,通解,19/39,3/12/2025,19,(2)解,分离变量,两端积分,得,通解,奇异解,20/39,3/12/2025,20,(二),可化为,可分离变量,这两个方程共同特点是,什麽?,可化为,齐次型方程,21/39,3/12/2025,21,求解方法,这是什麽方程？,可分离变量方程！,22/39,3/12/2025,22,分离变量,两端积分,23/39,3/12/2025,23,取指数而且脱去绝对值,由此又得到,通解,24/39,3/12/2025,24,25/39,3/12/2025,25,两端积分,得,通解,26/39,3/12/2025,26,27/39,3/12/2025,27,(三)一阶线性微分方程,28/39,3/12/2025,28,性质1：,性质2：,性质3：,29/39,3/12/2025,29,性质4：,性质5：,30/39,3/12/2025,30,(1)怎样解齐次方程？,非齐次,齐次,可分离型！,标准形式：,什麽类型？,一阶线性微分方程,31/39,3/12/2025,31,分离变量,是p(x)一个原函数不是不定积分！,齐次通解,解得,注意：,齐次通解结构：,32/39,3/12/2025,32,(2)用常数变异法解非齐次方程,假定(1)解含有形式,将这个解代入(1),经计算得到,33/39,3/12/2025,33,化简得到,即,34/39,3/12/2025,34,积分,从而得到非齐次方程(1)通解,非齐次通解,或,35/39,3/12/2025,35,非齐次通解结构：,特解,非齐次特解,36/39,3/12/2025,36,37/39,3/12/2025,37,这是线性方程吗？,是关于函数,x=x(y),一阶线性方程！,解,变形为：,第一步:先求解齐次方程,齐次方程通解是,38/39,3/12/2025,38,第二步:用常数变异法解非齐次方程,假设非齐次方程解为,代入方程并计算化简,积分得,通解,39/39,3/12/2025,39,