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课时提能演练(三)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(预测题)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )
(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0
(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0
(D)对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0
2.如果命题“(p或q)”是假命题，则下列说法正确的是( )
(A)p、q均为真命题
(B)p、q中至少有一个为真命题
(C)p、q均为假命题
(D)p、q至少有一个为假命题
3.(2012·渭南模拟)下列命题是假命题的为( )
(A)存在x∈R，lgex＝0
(B)存在x∈R，tanx＝x
(C)任意x∈(0，)，sinx＜1
(D)任意x∈R，ex＞x＋1
4.已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题为真命题的是( )
(A)p或q (B)p且q
(C)(p)且(q) (D)(p)或q
5.(2012·宝鸡模拟)下列命题错误的是( )
(A)对于命题p：存在x∈R，使得x2＋x＋1<0，则p为：任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0
(B)命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
(C)若p且q为假命题，则p，q均为假命题
(D)若p且q为真命题，则p或q也一定为真命题
6.(2012·咸阳模拟)已知c>0，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数g(x)＝lg(2cx2＋2x＋1)的值域为R，如果“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则c的取值范围是( )
(A)(，1) (B)(，＋∞)
(C)(0，]∪[1，＋∞) (D)(－∞，＋∞)
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.已知命题p：存在x∈R，x3－x2＋1≤0，则命题p是 .
8.(易错题)命题“存在x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是 .
9.若任意a∈(0，＋∞)，存在θ∈R，使asinθ≥a成立，则cos(θ－)的值为 .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.写出下列命题的否定，并判断真假.
(1)q：任意x∈R，x不是5x－12＝0的根；
(2)r：有些素数是奇数；
(3)s：存在x∈R，|x|＞0.
11.已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根.若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围.
【探究创新】
(16分)已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围.
答案解析
1.【解析】选C.所给命题是全称命题，其否定为：“存在x∈R，x3－x2＋1＞0”.
2.【解析】选B.因为“(p或q)”是假命题，则“p或q”是真命题，所以p、q中至少有一个为真命题.
3.【解析】选D.当x＝0时，ex＝x＋1，故选D.
4.【解析】选A.p真，q假，从而p假，q真，则p或q是真命题，p且q为假命题，(p)且(q)为假命题，(p)或q为假命题.
5.【解析】选C.若p且q为假命题，只要p，q中有一个为假命题即可，并不一定p、q均为假命题，故选C.
6.【解题指南】先求出命题p，q分别为真命题时c的取值范围，再根据题目的条件最终确定c的取值范围.
【解析】选A.∵c>0，∴若p为真，则0<c<1；若q为真，则，即0<c≤.
由题意，得p、q一真一假.
当p真q假时，<c<1，
当p假q真时，c∈Ø.
综上，c的取值范围是<c<1，故选A.
【变式备选】(2012·南昌模拟)已知命题p：“任意x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“存在x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p且q”是假命题，则实数a的取值范围是( )
(A)(－∞，4] (B)(－∞，1)∪(4，＋∞)
(C)(－∞，e)∪(4，＋∞) (D)(1，＋∞)
【解析】选C.当p为真命题时，a≥e；当q为真命题时，x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.
∴“p且q”为真命题时，e≤a≤4.
∴“p且q”为假命题时，a＜e或a＞4.
7.【解析】命题p是特称命题， 其否定为全称命题.
答案：任意x∈R，x3－x2＋1＞0
8.【解析】因为命题“存在x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，所以“任意
x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题.
∴Δ＝9a2－4×2×9≤0－2≤a≤2.
答案：－2≤a≤2
【误区警示】本题易出现不知利用命题及其否定的关系来求解，而使用直接法求a的取值范围，导致结果错误或计算繁杂的情况.
9.【解题指南】asinθ≥aa(sinθ－1)≥0，根据a＞0，得sinθ－1≥0恒成立，从而sinθ＝1.
【解析】由asinθ≥a，得a(sinθ－1)≥0，
又由任意a∈(0，＋∞)，得
sinθ－1≥0，即sinθ≥1恒成立，
∴sinθ＝1，∴θ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴cos(θ－)＝sin＝.
答案：
10.【解析】(1)q：存在x∈R，x是5x－12＝0的根，真命题.
(2)r：每一个素数都不是奇数，假命题.
(3)s：任意x∈R，|x|≤0，假命题.
11.【解题指南】利用已知条件构造关于m的不等式组，进而求得m的取值范围，注意命题真假的要求.
【解析】若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，则，解得m＞2，
即命题p：m＞2.
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，
则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，
解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3.
因“p或q”为真，所以命题p、q至少有一个为真，
又“p且q”为假，所以命题p、q至少有一个为假，
因此，命题p、q应为一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.
∴或，
解得m≥3或1＜m≤2.
【变式备选】已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在
x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”.若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.
【解析】p：∵x2－a≥0，对任意x∈[1,2]成立，
∴a≤x2，对任意x∈[1,2]成立，∴a≤1.
q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，
则Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，
得a≤－2或a≥1.
若“p且q”是真命题，则p是真命题且q是真命题，
即，∴a≤－2或a＝1.
【探究创新】
【解析】由2x2＋ax－a2＝0，得(2x－a)(x＋a)＝0，
∴x＝或x＝－a，
∴当命题p为真命题时，||≤1或|－a|≤1，
∴|a|≤2.
又“只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0”，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0，
∴a＝0或a＝2.
∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.
∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.
∵命题“p或q”为假命题，
∴a>2或a<－2.
即a的取值范围为a>2或a<－2.
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