机械能守恒讲稿.doc

机械能守恒定律
一、 什么是机械能
这个问题同学们可能不陌生，(重现概念)那就是
动能和势能（重力势能和弹性势能）统称为机械能.
5m
10m
由这个定义，再结合前两节学的动能和势能的概念，你能想到什么问题？会计算物体的机械能吗？
同学们能想到，与前面学过的动能和势能的概念一样，机械能也是一个状态量，物体在每一个时刻或在每一个位置都有一个数值，它又是标量，没有方向，它的国际制单位依然是焦耳，符号“J”.还有吗？
我们来看看下面这个小问题,从这个我得到什么启示。
从高高的塔上掉下一个小石子，质量是100g，运动中某时刻速度的大小为6m/s，此时小石子到地面的距离是15m，离塔顶的距离是5m..如果要求以塔顶所在的水平面为重力势能参考平面，计算这个小石子在此时具有的机械能.（讲课中都g取10 m/s2）
计算结果是，小石子的动能是1.8J，重力势能是 - 5J，机械能为 - 3.2J。
这说明机械能虽然是标量，但也有正负，这一点很容易理解，因为重力势能有正负的缘故。这一点请同学们要注意。
机械能乃至能量是个极为普遍、极为重要的概念，建立它们的重大价值在于它转化时的守恒性，学习它的重要意义不仅在于会算它，更重要的是理解它的转化、掌握转化规律，下一个问题：
二、 能量是可以相互转化的
生活中能量转化的现象很多，几乎每时每刻都在发生，比如：
1．小孩滑滑梯：动能——势能；伴随的能量转化：机械能——热能。（最简单的）
2．“蹦极运动员”在空中上下起落：动能与重力势能、弹性势能之间相互转化；伴随的能量转化：机械能——热能、声能。
3．著名的三峡水利枢纽工程的主要工作：让大量的水从高处流下，冲进水轮机，使叶轮转动，水轮机又带动发电机转子转动而发出电来。从能量的转化原理看：水的动能——水的势能——电能，伴随的能量转化：机械能——声能、热能。
在各种能量的转化中，最基本、最理想的转化过程是单纯的机械能之间的转化，而机械能总量保持不变——这就是我们常说的：“守恒”。这就需要至少不能有空气阻力和摩擦力存在，因为我们都知道，“摩擦生热”。
三． 转化过程中，如果物体不受空气阻力或摩擦力，机械能是不是永远守恒？
当然，这是一个非常美好的愿望，与实际/事实相符合？耳听为虚，眼见为实。我们不妨拿几个实例来算一下，做一个具体的、初步的论证。（机械能守恒与不守恒的示例）
从基本、熟悉的例子做起。
例1． 自由落体运动
给出一些数据：小球质量是1kg，下落5s后落地，先说出它的基本运动情况，再计算机械能。
注：以初始位置所在的水平面为重力势能参考平面。
下落时间t（s）
速度大小v（m/s）
下落高度h（距初始点）（m）
动能EK
（J）
重力势能EP（J）
机械能E
（J）
0
0
0
0
0
0
1
10
5
50
－50
0
2
20
20
200
－200
0
3
30
45
450
－450
0
4
40
80
800
－800
0
5
50
125
1250
－1250
0

想一想：如果小球在下落的过程中受空气阻力，结果会怎样？下落相同高度时，速度一定比无阻力时小，动能就小，所以，机械能不会保持不变，而应该越来越小。
例2．物体以30m/s的速度冲上固定的光滑斜面，设斜面足够长。物体的质量是1kg，斜面倾角为37°（sin37°=0.6；cos37°=0.8），上滑5s后停住，先说出它的基本运动情况，再计算它的机械能：
注：以斜面低端的水平面为重力势能参考平面。
已知：加速度a=-gsinq=-6m/s2；vt=v0+at，S=h/ sinq。

上滑时间t（s）
速度大小v（m/s）
上滑高度h（距初始点）（m）
动能EK
（J）
重力势能EP（J）
机械能E
（J）
0
30
0
450
0
450
1
24
16．2
288
162
450
2
18
28．8
162
288
450
3
12
37．8
72
378
450
4
6
43．2
18
432
450
5
0
45
0
450
450

同样的变化：如果斜面不光滑，情况会怎样？我想，道理与前面的一样，结论也相同，即机械能会逐渐减小。
例3．手提砖头匀速上升，砖头的机械能变吗？
从看到的现象和概念可以分析出，速度增大，所以动能增大；高度增加则势能增大，所以机械能增大。

现在我们可以从这些具体实例得出一些初步结论。在上述实例中：
1． 物体在运动中机械能都发生了转化；
2． 物体的机械能总量并不总是守恒；
3． 机械能是否守恒与物体的初状态（或者说）初速度无关，而对物体的受力情况和力做功情况有限制或要求，即：物体不能受介质阻力或摩擦力。
4． 在排除受介质阻力或摩擦力外，对力做功情况的限制是：物体可以受重力和其他力如：支持力、绳子拉力等。但是只允许重力做功，其他力不能做功。（从对例2、3的比较得出）
当然，仅有这些是不够的，一条假设能否成为规律，还需要经过严格的理论证明，请认真学习教材中的论证。在此不赘述。

四、机械能守恒定律 机械能守恒定律
l 文字表述：如果没有摩擦和介质阻力，只有重力做功，物体只发生动能和重力势能的相互转化时，机械能的总量保持不变。这就是机械能守恒定律。（我把规律分成两部分）
l 数学表述：
条件 表现
E末=E初 ——①
只有WG¹0 或 DEK= —DEP ——②
或 mv22+mgh2=mv12+mgh1 ——③
扩展1：如果物体在光滑水平面上运动时，高度没有变化，但是它使弹簧发生了形变，状态改变、比如：
v

这种情况物体的机械能是否守恒呢？分析发现，物体在压缩弹簧的过程中，通过克服弹力做功，动能不断减少，弹簧的弹性势能不断增加，即物体越走越慢，弹簧越来越短，而机械能总量保持不变；弹簧在回放的过程也同样。因此，机械能守恒定律可以进一步表述为：
l 如果没有摩擦和介质阻力，只有弹力做功，物体只发生动能和弹性势能的相互转化时，机械能的总量保持不变。这就是机械能守恒定律。

mv22+EP弹2=mv12 +EP弹1

扩展2：如果物体的运动综合了上述两种情况，即运动中又有高度变化，还使弹簧形状改变，比如：一个物块从空中掉下来，正好砸在一根竖立的弹簧上，见右图，忽略空气阻力的影响，这种情况物体的机械能依然守恒，给出机械能守恒定律的更进一步表述：
l 如果没有摩擦和介质阻力，只有重力和弹力做功，物体只发生动能和势能的相互转化时，机械能的总量保持不变。这就是机械能守恒定律。
mv22+mgh2+EP弹2=mv12+mgh1+EP弹1

这个表述成为机械能守恒定律的全面、完整结论。总之，守恒是有条件：没有摩擦和介质阻力，只有重力和弹力做功；守恒的表现是：物体各个状态的机械能数值相等。因此，判断机械能是否守恒实际上存在有两条途径：条件和表现。
做全面和历史地评价：它是力学中的一条重要规律，又是更普遍的能的转化和守恒定律的一个特例。深入地理解它和准确而又灵活地运用它解决实际问题将是我们今后的主要任务。
五． 阅读与理解
故事：伟大的近代物理学家——费曼在他那本著名的《物理学讲义》里编造了一个故事，其大意如下：
一个孩子有28块积木，这些积木完全一样，而且不可破坏。每天早晨妈妈将这孩子和他全部的积木关在一间房子里，晚上她回来后总仔细地把积木的数目点过。不错，多少天来一直是28块。一天积木只剩下27块，她在室内细心地寻找后，发现有一块积木在小地毯下面。又有一天积木剩下26块，室内遍寻不着，然而窗子开着，她探头向外张望，发现两块积木在外边。再有一天，她惊愕地发现积木变成30块。后来她才知道，是一个小朋友带着他同样的积木来玩过，多出来的积木是这孩子留下来的。她处置了多余的积木后，把窗子关起来，再不让别的孩子进来。于是在相当一段时间里情况正常，直到有一天她只能找到25块积木为止。这孩子有个玩具箱，妈妈想打开这箱子找玩具，孩子尖叫起来，不让她开箱。妈妈只好称一下箱子的重量。她以前知道，每块积木重3盎司，28块积木在外时箱子的重量为16盎司，她计算一下得到：
眼前的积木数25+=常数28.
于是她确信，缺失的积木被锁在玩具箱里。这箱子没再打开过，可是积木又少了许多，仔细调查发现，澡盆里脏水的水位升高了。显然，孩子把一些积木丢进了澡盆。但是水太浑浊，妈妈无法看清，然而她知道，澡盆里的水原来有6英寸深，每块积木使水位升高1/4英寸，于是她的计算公式里又添了一项：
眼前的积木数++=常数28.
随着事态一步步地复杂化，越来越多的积木跑到她无法看到的地方。可是她找到一系列附加项，需要添加到她的计算公式中，以代表那些她看不到的积木块数。这个复杂的公式保持着28那个数目不变。

这个故事最早给我留下了深刻的印象，它有助于我们理解机械能守恒定律及能量守恒。所以我把它介绍给同学们。当然，这些规律的内涵还不仅如此；它深刻的对称性和普遍的适用性会随着学习的深入逐渐显现出来。同时，仅仅靠听一个故事就祈望能完全理解和准确把握一个规律，也许过于天真浪漫，更深刻的理解和应用的经验积累还需要同学们在解题的过程中不忘经常的感悟和及时地总结。
真说到用了，按照老规矩，先讲一讲思维的程序或解题步骤、看起来，机械能守恒定律与动量守恒定律很相似，与动能定理也有一定的相通之处，因此，可从前两个知识演义而来，
六． 解题的步骤
1. 根据题意明确研究对象；
2. 对物体作受力分析，确定哪些力做功，哪些力不做功，判断是否满足机械能守恒的条件；
3. 如果物体的机械能中包括重力势能,要根据题意选取零势能参考平面；
4. 确定初始状态和终了状态的机械运动参量；
5. 根据机械能守恒定律列方程求解，注意各量的对应关系和单位的一致性。

说明：机械能守恒除了已说明的条件外，还要求在计算时速度和动能值都是相对于同一个参照系，解题时一般选地面做参照系。

（一）辨别正误
1．以下各个实例中，除①外都不计空气阻力，哪些机械能是守恒的？说明理由。
① 跳伞员带着张开的降落伞在空气中匀速下落。
② 抛出的手榴弹或标枪做斜抛运动。
③ 用细绳拴着一个小球，绳的一端固定，使小球在光滑的水平面上做匀速圆周运动。
④ 用细绳拴着一个小球，绳的一端固定，使小球在竖直平面上做圆周运动。
⑤ 物体沿着光滑的曲面滑下。
⑥ 拉着一个物体沿着光滑的斜面匀速上升。
⑦ 在光滑的水平面上运动的小球，碰到弹簧上，把弹簧压缩后又被弹簧弹回来。
⑧ 在水平地面上竖直放置一轻质弹簧，有一物体在它的正上方自由落下，先压缩弹簧，后被反向弹起。
由这道题使我们想到些什么呢？我们是不是应该把学过的各种典型的运动或物理情景做一个盘点或者说归纳，看看在哪些实例中机械能是守恒的？清理后发现一共有五种运动，它们是，
七．机械能守恒的运动实例：
A． 做自由落体运动的物体；
B． 做抛体运动的物体；
C． 物体沿光滑斜面或曲面自由地滑上或滑下；
D． 单摆：一根细绳拴一个小球在竖直平面内做摆动；
E． 弹簧振子：一个轻质弹簧，一端固定在墙上或天花板上，另一端系住一个小球，小球的自由振动。

2． 人把物体由静止开始，举高h并获得速度v，则下列说法正确的是
A．物体所受合外力对它做的功等于物体动能的增加量
B．此人对物体所做的功等于物体机械能的增加量
C．物体所受合外力对它做的功等于物体机械能的增加量
D．物体克服重力做的功等于物体势能的增加量
（A、B、D）（这是一道概念、规律的比较与辨别题，考查你对相近/相似的概念和规律的记忆和理解是否准确）
3．物体在平衡力作用下的运动过程中，下列说法正确的是
A．机械能一定不变
B．若物体的势能有变化，则机械能一定有变化
C．若物体的动能保持不变，而势能一定变化
D．若物体的势能有变化，机械能也不应有变化
（B注意：“平衡”与“能量守恒”是两件事，各自有不同的表现、遵循着不同的条件。）
4．体积相等的一个铁球和一个木球，从同一高处同时落下，到它们距离地面相同高度时
A．它们动能的增量相等
B． 它们势能的增量相等
C． 它们机械能的增量相等
D． 它们的速度和加速度相等
（D这道题需要考虑的是两球的密度不同，质量不同，因此重力、重力势能和等速时的动能都不等）
5．如图所示的装置中,木块B与水平桌面间的接触是光滑的.子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内,将弹簧压缩到最短.现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统),则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中
v
A． 动量守恒、机械能守恒
B． 动量不守恒、机械能不守恒
C． 动量守恒、机械能不守恒
D． 动量不守恒、机械能守恒

（D这道题的物理情景是非常典型的，而且要求学生熟悉和掌握、需要把过程分为两段处理，射入段：几乎不压缩弹簧，子弹与木块体系的P=C，E减小；压缩段：子弹、木块和弹簧构成一个系统：E=C，P损失为零、因此，综合起来，P、E均不守恒、）

（二）机械能守恒定律的应用

6．在高度为h的地方，以相同的速率，向不同的方向抛出质量相等的物体，讨论它们落到同一水平面上时，动能的大小。
A．下抛物体动能最大 B．上抛物体动能最大
C．以45°抛射角抛出的物体动能最大 D．动能相等

解： 情景：
已知，所有的抛体运动机械能守恒、
设：水平地面为参考平面、
根据：DEK= —DEP
每个物体都有：Q DEP=mgh=相等
∴DEK =相等
∴Ekt=EK0+DEK=相等
（D）

H
h
v
7．质量是m的小球，以速度v在高为H的光滑平台上运动。当它脱离平台，经过高为h的某一点时，它所具有的动能是
A．mv2+mg（H - h）
B．mv2+mgh
C．mv2+mgH
D．mg（H - h）
（A）

8．以初速度vo竖直上抛一物体，当它的速度减为vo/3时，上抛的高度是
A． B． C． D．
提示：物体在某一个状态时，对应一个机械能值，这个机械能本身是动能与势能之和。但是，当动能与势能之间有某种数量关系时，从数学的计算技巧来说，我们也可以用动能或势能来表示机械能的值。本题就是一例，设初始高度为参考平面，
初态物体的机械能：E1=，所求点：E2=+mgh.
Q机械能守恒，∴E1= E2 ∴h=.
其他解法：动能的减少量： ×，则势能的增加量也是×=mgh，
结果相同。

9．质量是1kg的物体，由静止开始以4.9m/s2的加速度竖直下落2m的过程中，它的机械能
A.减少9.8J B.增加9.8J C.增加19.6J D.不变
（A）
提示：这是一个机械能不守恒的例子，最直接的判定方法是从加速度的数值看，
g’=4.9m/s2 < g=9.8m/s2，说明物体的运动不是自由落体运动，而是有空气阻力的下落运动，因此，机械能减少；它的减少量=动能增加量+势能减少量。
再利用运动学公式算出末速度平方，求出动能增加量和机械能的减少量。

此外，请同学们认真读教科书，特别是仔细阅读P149——150的例题讲解和总结，领会它的精神。这也作为一项重要的家庭作业。
A
B
O
10．一根细绳长为L，一端固定，另一端系一质量为m的小球，小球绕绳的固定点在竖直面内做圆周运动，小球在最低点和最高点的动能差是多少？细绳在最低点和最高点的张力差多大？
解：O——运动圆心；A——圆弧最高点；B——圆弧最低点。L——绳长即运动半径。
l 小球的运动过程：在竖直平面内做变速圆周运动。（生活经验表明，上慢下快）
l 受力和做功情况：受两个力，重力G；绳子拉力，F（变力）。运动中G做功；而F不做功。
l 运动遵守机械能守恒：设参考平面在过B点的水平面。则有：EB=EA
EKA+mg2L=EKB
∴ 动能差：EKB－EKA = mg2L ①
Q小球做圆周运动，在最高点和最低点受的合外力为向心力。
∴在A点：F向心A=FA+G=mvA2/R=2 EKA/L ②
同理，在B点：F向心B=FB-G=mvB2/R=2 EKB/L ③
③式-②式，再将①式带入，得：
细绳的张力差：FB- FA=6G=6mg.
这个结果似乎有些出人意料，无论物体做圆周运动时转的快慢，它在最高点和最低点所受的绳子张力的差值是一个定值，为六倍重力。请同学们记住这个特殊的结论。

11．如图，位于竖直平面上的1/4光滑圆弧轨道半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面的高度为h。质量为m的小球从A点由静止释放，最后落在地面上C处，不计空气阻力。求：
（1） 小球刚运动到B点时，对轨道的压力多大？
（2） 小球落地点C与B点的水平距离S=？在C点的速度是多少？
解：这道题的研究对象——小球——质点。
运动情况：AB段为竖直面内加速圆周运动；BC段为平抛运动。
受力及做功情况：AB段：受重力G和支持力F；重力做正功，支持力不做功；BC段：只受重力且重力做正功。
遵循规律：机械能守恒。
（1）根据机械能守恒定律，有
AB：DEK= —DEP
mgR==EKB
根据向心力公式，在B点：FB－mg==2 EKB/R
两个方程联立求解，得：
轨道对小球的支持力FB=3mg；
由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力大小也是3mg。
（2） AC：由DEK= —DEP，有
mgh=
∴.
同理，
BC段：vB又是平抛运动的初速度，由平抛运动的规律，有

.
L0
12．全长为L质量分布均匀的绳子，放在光滑的水平桌面上，其中有长度为LO的一截由桌角下垂。绳子在图示状态由静止开始下滑，求绳的尾端离开桌面时，绳的速度多大？
解：这道题的研究对象——软绳——非质点。
受力及做功情况：受重力G和支持力F；重力做正功，支持力不做功。
运动规律：机械能守恒。
绳在运动中有两个特点，一个是任意时刻绳上各点的速率相等，因此，它的动能等效为质点动能；第二虽然直绳的重心在中点，但是弯绳的重心位置的变化不易掌握，因此采用分段运动法找初、末状态两段直绳各自的重心位置及变化，如图，整个绳子的重力势能的变化等效为桌面上那段绳子的重力势能的变化量。
所以，根据机械能守恒定律，有
DEK= —DEP
设绳子质量为m。

得：V=.

在应用机械能守恒定律解决的问题中，还有一部分是涉及两个或两个以上的物体组成的系统，它们的机械能守恒定律的形式是这样的：
八、物体系的机械能守恒定律
l 一个物体系，如果只有系统内部的重力和弹力做功，其它内力和外力都不做功，那么物体系的动能和势能（重力势能、弹性势能）可以互相转化，而总的机械能保持不变。这就是机械能守恒定律。
l 数学表述：
E末=E初
或 mv22+mgh2=mv12+mgh1

13．三面光滑的斜劈放在水平面上，物块沿斜劈下滑。则
A．物块动能增加，重力势能减少
B．斜劈的动能为零
C．物块的动能和重力势能总量不变
D．系统的机械能总量不变
（A、D）
提示：这道题的情景是物块沿劈面加速下滑；劈水平后退，物块和劈在相互作用过程中构成一个系统。
受力和做功情况：系统受外力是重力和地面给劈的支持力；支持力不做功。所以，系统机械能守恒。但是，系统内部每个物体的机械能不守恒，物块的机械能减少，因为劈给物块的支持力对物块做负功；劈的机械能增加，因为物块给劈的压力对劈做正功。

14．如图所示，半径为r，质量不计的圆盘盘面与地面垂直。圆心处有一个垂直于盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A，位于O点的正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B。放开盘让其自由转动，问：
（1）当A球转动最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？
（2）A球转动最低点时的线速度是多少？
解：情景：放手后盘做振动式旋转，A、B各自做往复震荡。A、B和盘构成一个系统。但由于盘没有质量，因此没有能量。
受力和做功情况：系统受外力是重力和轴给盘的支持力；支持力不做功。所以，系统机械能守恒。但是，系统内部每个物体的机械能不守恒。当A下降，机械能减少时，B上升，机械能增加。
注意两点：1.当A球转到最低点时，B球转到了原来A球的高度，而两球的质量相等，因此，系统重力势能的减少量等效为A不动，B下降r/2对应的重力势能的减少量。2.A、B在盘中的固定位置随盘做半径不等的圆周运动，转动时角速度相等，线速度不同，二者关系是vA=2vB.
（1）有－DEP=
（2）根据：DEK= —DEP，有

又：vA=2vB.
得：VA=.

15．如图所示，在光滑的水平轨道的两端，各连接着半径是0.8m的圆弧形光滑轨道。小A
B
球A由高度h=0.8m处以3m/s的速度开始沿轨道下滑，并在水平轨道上与静止的小球B作弹性正碰。碰撞后，小球A恰能回到0.8m高处。求小球B能上升的最大高度。（g=10m/s2）

分析：这是一个多运动的链接过程。通过前面的分析可以知道，在两球没有碰撞时，A、B各自做直线运动或圆运动时机械能守恒。两球在碰撞的过程中由于所受的合外力为零，所以A、B系统动量守恒。
解：
（1）A球下滑至水平面：根据：DEK= —DEP，有
VA==5m/s
（2）A球碰撞后回到0.8m高处的过程：仍有机械能守恒，初速为VA’，末速为0。
VA’==4m/s
（3）A、B做弹性碰撞，遵守两个规律，
动量守恒,有mvA+mvB=mvA’+mvB’
设：向右为正方向，带入数值， 有
5m+0=-4m+mvB’ ①
动能守恒，有 mvA2+mvB2=mvA2’+mvB2’
带入数值， 有 25m+0=16m+mvB2 ②
将①、②式联立求解， 得：VB=1m/s
(4)B球返回及上升，机械能守恒，有
hB=vB2/2g=0.05m.

16.（2000’高考题）在原子物理学中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似。两个小球A、B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度VO射向B球。如图所示。C与B发生碰撞并立即结成一个整体D。在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变。然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连。过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失）。已知A、B、C三球的质量均为m。
（1） 求弹簧长度刚被锁定后A球的速度；
P
A
B
C
V0
（2） 求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。

提示：这是一个多过程链接的多体问题，解决的基本方法是按照运动的时间流程逐个过程地分析、求解，请参看下图。
A
A
A
A

(;)

九． 总结
…许多科学家在求解未知问题时，常常按这样的习惯顺序进行：他们首先应用有关的守恒定律，如果还有什么没有解决的问题，再去采用有关的具体规律或方法。
这为我们提供了一种有效的思维方法。
我们也要学着这样来思考问题，这对我们的学习和将来的工作都是会大有好处的。

先用守恒定律，“如果还有什么没有解决的问题”就需知到“守恒”能解决什么问题？“守恒”不能解决什么问题？。
由公式中可知“守恒”只能解决“状态”问题；“守恒”不能解决“力、位移、时间”问题。
所以在涉及力、位移、时间时候再去用两个定理或牛顿定律及运动学公式。
“先守恒、后定理”的缘由一定要清楚。
]
守恒定律不仅给处理问题带来方便，而且有更深刻的意义。物理世界是千变万化的，但是人们发现有些物理量在一定条件下是守恒的，可以用这些“守恒量”来表示物理世界的变化规律，这就是守恒定律。机械能守恒定律就是其中的一个。正因为自然界存在着“守恒量”，而且某些守恒定律的适用范围很广泛，所以在物理学中寻求“守恒量”已经成为物理研究工作的一个重要方面。
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