《电力系统仿真》讲义.doc

第一章 系统仿真的基本概念
1-1 系统仿真的定义
[系统仿真定义] 建立系统模型（数学模型、物理效应模型或数学-物理效应混合模型），并在模型上进行试验。
[系统仿真范例]
水利方面
在葛洲坝和三峡大坝建设前，许多单位都建立起缩小了的长江水道模型和大坝模型，并进行冲水试验，获得流体力学和结构力学等相关参数，为工程设计提供依据。
电力方面
在动模实验室中用电动机-发电机组对实际发电厂进行模拟，并且用电感-电容π形结构模拟输电线路；在高压实验室中用冲击发生器模拟雷电；在计算机上用EMTP软件对电力系统电磁暂态过程进行数值分析，用PSASP软件对电力系统机电动态过程进行数值分析。
国防方面
用巨型计算机按数学特性相同的原则模拟核裂变（聚变）反应过程，这样可以减少真正核试验的次数，甚至不进行核爆炸试验也能发展出先进的核武器。
[系统仿真依据] 最基本的依据是相似定理。
从应用角度分析几种相似等效方法：
l 几何比例相似。军事指挥员的沙盘演习。
l 特性比例相似。两个系统运动的物理本质完全不同，但具有相似的微分方程，且参数一一对应，我们称这两个系统的特性比例相似。
M
K D
X
F(t)
机械系统
E(t)（
R L
C
q
电气系统
微分方程
参数对应 距离X 电荷q
速度dX/dt 电流dq/dt
外力F(t) 电源E(t)
质量M 电感L
阻尼系数D 电阻R
弹簧系数K 1/电容 1/C
图1-1 两个系统特性比例相似

注：动模试验也是根据特性比例相似的原则，这个原则可理解为真实系统与模拟系统具有相同的无量纲（标幺值）方程。

l 感觉相似。主要是视觉、听觉、触觉和运动感觉相似，是人在模拟环境中的仿真，特别是用各类模拟器件对操作人员进行训练的依据。如航天员在宇航中心培训，宇航中心就是一个虚拟太空环境。
l 逻辑思维方法相似。对获取的信息进行分析、归纳、综合、判断直至操作控制的方法相似。例如机器人。
l 微分方程的数值解法、离散相似法。如数值方法中的龙格-库塔法、差分法、非线性曲线的分段线性化等。这是数字仿真的基础。
电力系统仿真就是以电力系统为仿真对象的系统仿真。

1-2 系统仿真的作用
人类认识或研究、开发一个系统可以通过理论推演或实物试验的方法进行，但对于一些大的、复杂系统，如一个电网，无法得到其数学模型的解析解，有的子系统甚至无法得到可信的数学模型，而由于多种条件限制，实物试验不可能做或做起来困难很大，这样就只能借助于模型试验（即仿真）来达到认识或研发一个系统的目的。通常在下列情况时一般考虑用模型试验（仿真）而不用实物试验：
1） 系统还处于设计阶段，并没有真正建立起来，因此不可能在真实系统上进行实验；
2） 在真实系统上做试验会破坏系统运行。例如在正常运行的电网中做一个短路故障试验，有可能造成系统剧烈振荡乃至崩溃；
3） 如果人是系统的一部分时，由于知道自己是试验的一部分，行为往往会和平常不同，因此会影响试验效果，这时最好将人也建立模型。例如一些基于专家系统的软件或装置；
4） 在实际系统上做多次试验时，很难保证每次的操作条件都相同，因而无法对试验结果做出正确判断。例如一个电器产品为什么要通过型式试验和出厂试验，就是为了人为地设置一些确切的操作条件，以获得对未来使用性能的正确判断；
5） 试验时间太长或费用太高或有危险。例如“神州3号、4号”上的模拟人；
6） 系统无法复原。例如，想要知道变电站运行中的变压器绝缘到底能够耐受多高冲击电压，不可能真的对正在运行的变压器施加很高的冲击电压。
有些学者以较为学术化的术语归纳了仿真方法的适用情况：
1） 不存在完整的数学公式，或者还没有一套解答数学模型公式的方法；
2） 虽然可以有解析法方法，但数学过程太复杂，仿真可以提供比较简单的求解方法；
3） 解析解存在而且是可能的，但超出了个人的数学能力，因而应该估计一下，建立仿真模型、检查并且运行模型的费用比起向外求助以获得解析解，何者合算；
4） 希望在一段较短的时间内能观测到过程的全部历史，以及估计某些参数对系统行为的影响；
5） 难于在实际的环境中进行实验观测；
6） 需要对系统或过程进行长期运行的比较，而仿真则可以随意控制时间，使它加快或减慢。

1-3 系统仿真的分类
仿真可以有多种分类方法。
按系统模型的类型，可分为：
1） 连续系统仿真——系统模型以微分方程描述；
2） 间断（事件）系统仿真——系统模型以面向事件、面向进程、面向活动的方式描述；
3） 连续/间断（事件）混合系统仿真；
4） 定性系统仿真——系统模型以模糊理论等描述。
按仿真的实现方法和手段，可分为：
1） 物理仿真；
2） 计算机仿真，又称数学仿真；
3） 实物在回路中的仿真，一般称为半实物仿真；
4） 人在回路中的仿真。
物理仿真要求模型与原型有相同的物理属性，其优点是模型能最真实全面地体现原系统特性，缺点是模型制作复杂、成本高、周期长、灵活性差；计算机仿真的优缺点正好与物理仿真相反。

1-4 计算机仿真的三个要素与三项基本活动
计算机仿真（即数学仿真）采用数学模型，它是用数学语言描述系统行为的特性。
计算机仿真的三个要素是：系统、模型、计算机。
联系它们的三项基本活动是：模型建立、仿真模型建立（又称二次建模）、仿真试验。
三个要素和三项基本活动的相互关系如图1-2。
系 统
模 型
计算机
模型建立
仿真模型建立
仿真试验
图1-2 计算机仿真的三要素和三项基本活动

从下一章起，主要内容是针对连续系统的计算机仿真模型的建立。

第二章 集中参数网络的瞬态分析
概念理解一：连续系统仿真模型的建立，就是将系统的微分方程模型按某种数值计算方法处理成时间离散的代数表达式，易于计算机逐个步长地递推求解。
概念理解二：微分方程初值问题数值求解，一般指的是，由变量在初始时刻t0的值（已知），按确定时间步长Δt（通常设为固定步长）并根据系统计算机模型依次求出变量在t1、t2、…..、tk、…..的值。
2-1 电阻元件R
电阻元件的模型（支路电压-电流关系）为
u(t)=Ri(t) (2-1)
其时间离散的表达式为
uk=Rik (2-2)
仿真模型等值电路的建立如图2-1所示
离散近似
uk
ik
R
u(t)
i(t)
R

图2-1 电阻的计算机仿真模型建立

[例2-1] 图2-2中，US(t)为u-t函数已知的电压源，求系统的计算机仿真模型。
G1 G2
G3 G4
u1 u2
US(t)
图2-2 由电阻元件与已知电源组成的系统

[解] 由电阻的仿真模型等值电路列系统节点方程

这是一个很容易由计算机编程求数值解的离散形式的线性代数方程组，此模型即为所求。
[推论] 由电阻和已知电源构成的线性电路，可直接作为求数值解的计算机模型电路。

2-2 电感元件L
L的电压-电流关系为

为方便起见，用ik表示t（或tk）时刻的电流值、ik-1表示t-Δt（或tk-1）时刻的电流值，电压值的下标表示法与电流值一样，将（2-3）写成：

u

uk
uk-1
tk-1 tk t
图2-3 梯形积分

用梯形近似积分法（图2-3）有：

将（2-4）写成：

上式又可写成：

公式（2-5）计算机数值递推模型也称为电感元件L的“瞬态伴随模型”，由数学模型转化为数值模型如图2-4所示：
+ -
i(t)
u(t)
L
uk
ik
gL
ISL
图2-4 电感的仿真模型建立

图中右边的数值模型等效电路（电感L的“瞬态伴随模型”等效电路），由一个等效电阻（电导）gL和一个等效电流源ISL并联组成，在进行第k步uk、ik计算时，ISL已由前一步的uk-1、ik-1得到，是已知的。

2-3 电容元件C
C的电压-电流关系为

同样，用梯形积分近似法，可导出C的数值递推公式（电容元件C的“瞬态伴随模型”）：

+ -
i(t)
u(t)
C
uk
ik
gC
ISC
图2-5 电容的仿真模型建立
其等效电路为

2-4 互感元件
电压-电流关系为

不难导出：

数值模型的递推公式与电感L类似，只是矩阵形式而已。

2-5 非线性电阻
电力系统中主要的非线性电阻元件是避雷器，其电压-电流关系为

解非线性代数方程，一般用牛顿迭代法
设非线性方程为 F（x）=0
又假设x(0)为方程解的初始“猜测值”，则对真值的第一次逼近
x(1)= x(0)-Δx(0)
则 F（x(0)-Δx(0)）=0
按泰勒级数展开并略去高阶项，得

经过(k-1)次迭代后

实际计算中预先规定精度ε，当达到

停止迭代，x(k)就是非线性方程的解。

[例2-2] 图2-6为一个含非线性电阻的非线性系统，元件特性标于图中。
U0
R1
i
i=Ku1/α
u
图2-6 含非线性电阻的回路

非线性回路方程
套牛顿迭代公式（2-9）得

考察di/du具有电导量纲，将其第(k-1)次迭代时的值以Gd(k-1)表示，它相当于非线性电阻在u(k-1)点处的动态电导。
因此 代入（2-10）得

进一步有
这是一个标准的节点方程形式，不难看出非线性电阻通过牛顿法被“线性化”了（如图2-7）。
Gd(k-1)
IS=i(k-1)-Gd(k-1)u(k-1)
图2-7 非线性电阻的“线性化”计算模型

这里特别要注意，牛顿迭代法中的u(k)和前面梯形积分法中的uk区别：
在由uk-1求uk的一个步长中，由于非线性元件的存在使得差分方程为非线性，因此必须用牛顿迭代法来解方程。一个可行的处理方法是：
uk-1
设u(0)=uk-1…….牛顿迭代……..令uk=u(k)
Δt

2-6 非线性电感
元件特性
磁链是电压的积分

由梯形积分法得

将上式代入（2-12）得

经过整理，可写成非线性电阻和一个已知电源的形式

[例2-3] 已知非线性电感在t0时刻的初值i0、u0以及特性，问如何算出此后时刻的值？

2-7 三相常规π形电路
图2-8为实际计算中常用的三相耦合π形电路，经常作为结构对称的交流输电线路的集中参数模型，线路耦合参数[R]、[L]、[C]分别称为串联电阻、串联电感、并联电容。
[R] [L]

图2-8 三相输电线路π形等值电路模型

实际系统的参数均以正序、零序给出，串联阻抗参数有Zpos<Zzero，而并联电容参数有Cpos> Czero，所以[C]矩阵中的CM为负数，其数值为相间电容。
至于π形电路的数值模型（瞬态伴随模型），其公式可由单相π形电路导出，只是R、L、C参数换成矩阵，而i、u变量换成列向量。

第三章 均匀单导线中暂态过程的计算
在这一章里，主要对单导线-地系统的波过程建立数值模型。
3-1 长线过渡过程的解
一、长线的微分方程式
设有一条单导线线路，它的单位长度电阻、电感、电容、电导分别为R0、L0、C0、G0，该线路以长度微元表示的等效电路如图3-1所示。
R0dx L0dx
G0dx C0dx
u
i

x dx
图3-1 单导线线路

取电流的正方向为x增加的方向，由KVL、KCL可写出如下方程：

这就是长线方程。严格来说，导线存在集肤效应和电晕效应，大地也非理想导体，因此R0、L0、C0、G0应该是电压、电流波形的函数。但在这里，为掌握一般规律起见，R0、L0、C0、G0均视为常数，这也能够符合绝大多数研究项目的精度要求。

二、零初始条件下长线方程的解（象函数形式）
设S为拉普拉斯算子，由拉氏变换将（3-1）变成常微分方程（考虑零初始条件）：

再令
则（3-2）式的象函数形式的通解为

式中F1(S)、F2(S)为待定象函数，由边界条件确定。Y（S）、Z（S）为拉氏运算形式的传播常数和特征阻抗，其含义为：

三、无损长线微分方程的通解形式
由于 R0=0，G0=0 故

代入（3-3）式得

利用拉氏变换基本定理
写出时域中的通解形式

其中， f1、f2由边界条件确定。
从这个解的形式，我们可归纳如下几点物理概念：
1） 表示前行电压波，沿x的正方向传播；
表示反行电压波，沿x的负方向传播。
2） 前行波、反行波在无损导线中传播时不发生畸变和衰减。
3） 前行电压波u1伴随一个前行电流波i1，它们之间关系

反行电压波u2伴随一个前行电流波i2，它们之间关系
注意：负号是由于反行电流波方向与电流参考方向相反
4） 无论对于前行波或反行波，电压波与电流波的比值在数量上等于|ZC|，但对于线路上某点的电压和电流由前、反行波合成时却不存在这个关系，即

3-2 无损单长线的贝杰龙模型
这里针对无损单长线，介绍如何将分布参数的输电线路化为集中参数计算模型，因为该方法出自于贝杰龙数学模型，所以又称为贝杰龙法。
k

uk(t)
m

um(t)
l v Z
ikm(t)
imk(t)
图3-2 长度、波速、波阻抗分别为l、v、Z的单长线

如图所示的无损长线，两端节点分别为k、m，由（3-5）式得

上式表明，当各为固定值时，也各为固定值，进而
u(x,t)+Zi(x,t)
u(x,t)-Zi(x,t)
也各为固定值。其含义是：若观察者沿x以速度v移动，则在他所在位置观测到的u(x,t)± Zi(x,t)对该观察者而言分别始终不变。
设τ=l/v ，假如观察者在t-τ时刻从k点出发，在t时刻到达m点，根据上述推理并结合考虑（3-9）式，有

将上式改写为

同理可得

式（3-10）、（3-11）有如下等效电路模型
Ik(t-τ) Im(t-τ)
Z
Z
uk(t)
um(t)
ikm(t)
imk(t)
图3-3 贝杰龙模型的等效电路
k
m

由贝杰龙模型的数学表达式（3-10）、（3-11）及其等效电路图3-3可总结其特点：
1） k和m是一个线路元件的两端节点，在计算时可按两个分离节点计算；
2） 无损单长线的贝杰龙模型由两个分开的诺顿等效电路构成，其中诺顿等效电阻值等于线路波阻抗，诺顿等效电流源由另一端前τ时刻的电压、电流值确定，从数值角度看，对当前计算步长而言，电流源是已知的。

第四章 多导线系统中的暂态过程计算
本章主要针对三相架空输电线路。
4-1 三相输电线路微分方程的矩阵形式
图4-1为对称三相输电线路一个dx长度元的等值电路。

图4-1 三相线路的一个长度元
注意：图中的相间电容K在以下均表示为C。

省略与单相长线方程一样的推导过程，我们直接得出方程的矩阵形式

其中，变量的列向量
参数矩阵

零初始条件下（4-1）的象函数矩阵形式为

进一步对x求导得

一般情况下，P≠PT，但如果Z、Y方阵为平衡阵，则P=PT。
注：所谓“平衡”方阵就是所有对角元素相等、所有非对角元素也相等的方阵。例如三相全换位线路的Z、Y就可视为平衡阵。

4-2 多导线系统的相-模变换
一、问题的提出
（4-2）、（4-3）与单导线微分方程形式类似，但方程中的变量为向量、系数是矩阵。由于系数矩阵中有非对角元素，解某一相要受到其它相的牵连，所以直接解方程是十分困难的，如果我们借助于相似变换将矩阵中的非对角元素化为零，则矩阵方程组中的每个方程只有一个电压、电流，方程形式与单导线微分方程完全相同，解答方法与前述的一样。
设Um、Im表示变换后的电压、电流向量（称为模量），即
U=TuUm I=TiIm
其中Tu、Ti分别为电压、电流的变换矩阵。
将（4-3）式用模量表示

对于三相全换位系统，P为平衡阵，P=PT，所以Tu=Ti=T，变量的变换矩阵是相同的。

二、变换矩阵T
根据矩阵理论中的相似变换基本定理，略去烦琐的推导过程，直接得
非正交变换矩阵
变换后各模量功率之和不等于变换前各相量功率之和
正交变换矩阵
变换后各模量功率之和等于变换前各相量功率之和
无论是非正交变换矩阵Q或正交变换矩阵T，均可用于相模变换的计算。但实际上，Q一般用于物理概念的理解，T用于实际的数值计算。

三、各模的物理意义
三相系统的相-模变换又称α、β、0变换（ABC↔αβ0）。
用变换矩阵Q来写电流的相-模变换，有

进一步写成单个方程形式

A
B
C

0
0模分量
A
B
C

α模分量
A
B
C

β模分量
图4-2 α、β、0模分量
第一个模分量是以大地为回路的“地中模量”，这一分量的波的传播与大地有关，是αβ0系统中的0模，可简称为“地模”；第二、三个模分量是以线间为回路的“空间模量”，这两分量的波的传播与大地无关，是αβ0系统中的α、β模，可简称为“线模”；模分量的构成如图4-2所示。

四、相-模变换与对称分量参数
由于

那么对（4-2）中的第一式（第二式方法相同，后不重复叙述）进行相-模变换，有

写成三个独立的模量方程

既然ZS、ZM分别为三相对称线路的自阻抗和互阻抗，且有
零序阻抗 Zzero=ZS+2ZM=Z0
正序阻抗 Zpos=ZS-ZM=Z1
所以，地模分量方程是由零序参数确定的微分方程，线模分量方程是由正序参数确定的微分方程。这与我们所熟悉的对称分量法十分相似，只是对称分量法用于单频复域的相量值稳态计算，而相-模变换用于时域的瞬时值暂态计算。

五、三相输电线路方程的通解
由于 所以由（4-4）得

上述模量方程的通解为

将上式写成矩阵形式

这样，三相线路在ABC坐标中的电压通解为

同理，可求得电流的通解为

其中，模波阻抗为

当线路为无损线路时

六、 n阶正交变换矩阵的一般形式
相-模变换可推广到任意N相多导线系统，其变换矩阵的通用式为

当N=3时，

这似乎与前面得到的变换矩阵不同，但如果将A—B—C相序换作C—B—A、将0—α—β模量顺序换作0—（-β）—（-α），则变换矩阵就一样了。这再次说明相-模变换矩阵不是唯一的，其原因在于：在将实对称矩阵P转化为与其相似的对角矩阵λ时，特征方程det[P-λ]=0有重根。
另外，当N=2时，
适用于长距离直流线路的暂态计算。

4-3 三相系统计算中的贝杰龙法
在这一节里，针对无损三相线路，推导出其贝杰龙数值模型。
设无损三相线路的两端分别为s、r，由单相贝杰龙模型表达式（3-10）、（3-11）直接得到三相系统中的模量方程

将上两式用简洁方式表示

变换到ABC系统得

其中，
显然，三相全换位无损线的Y*是一个平衡矩阵，其对角元素相等，非对角元素也相等，即

仿照单相贝杰龙模型，将三相贝杰龙模型表达式（4-8）用如图4-3所示等效电路表示
Is.C
yC
图4-3 三相线路贝杰龙模型的等效电路
Is.B
yB
Is.A
yA
Ir.A
yA
Ir.C
yC
Ir.B
yB
A A
B B
C C
yCA yCA
yAB yAB
yBC yBC
s端 r端

在等效电路中，各导纳参数

而等效电流源

第五章 电力系统物理模拟的理论和方法
电力系统的物理模拟是用相应的电气设备作为模型来对实际系统原型进行仿真。在物理模拟中，模型与原型的区别只是大小比例的不同，而所进行过程的物理本质是完全相同的。如实际系统中的电感必须用电感实物元件来模拟、电容用电容来模拟等。物理模拟技术是建立在物理现象相似理论基础上的。
§5.1 物理模拟的建模依据
5.1.1 相似第一定理
定理：相似系统有同样的相似判据，即相似指标等于1。
什么是相似判据和相似指标呢？由于相似第一定理是由牛顿创立的，我们不妨以两个相似的最简单的动力学系统为例进行研究，其中一个系统为原型，另一个系统为仿真模型。
根据牛顿第二定律，两个系统的物理本质为
第1个系统：
第2个系统：
如果要是这两个系统相似，则两个系统的对应变量和参数在整个动态过程中应分别保持一个固定的比例值（又称模拟比），即

代入（5-1）式得

将上式与（5-2）式比较，得

式（5-3）等号左边的表达式称为动力学系统的相似指标。很明显相似指标表示系统各物理量模拟比的关系。
将各物理量模拟比表达式代入（5-3）式，得

这个无量纲等式就是这个简单动力学系统的相似判据。等号两边由原型系统或模拟系统的物理量构成的关系表达式为相似判据表达式，一般用π表示，式（5-1）或（5-2）表征的简单动力学系统的判据表达式为

式中，idem为“相同”的意思，表示两个或多个系统的物理过程（现象）相同。
相似判据表达式的特点是无量纲，但又说明了系统中各参与的物理量间应保持的某种固定关系。很显然，对于复杂的动力学系统，数学描述方程为多项式，相应的相似定理也可推论如下：
l 有多个相似判据π1，π2，…πk，…πn。且相似系统的所有π都分别满足π=idem
l 存在相似变换的运算法则

5.1.2 相似第二定理——π定理
定理：假设任意物理系统是由n个量纲不同的物理量所组成，物理过程的关系由如下方程式决定
F(x1,x2,……,xn)=0
若上式n个物理量中有K（K< n）个是互相独立的，如选出相互独立的K个物理量作为基本量，则另外n-K个物理量与选定的基本量所组成的n-K个无量纲的比例数π1，π2，…πn-K可以用算式完全地表达出来，而这些无量纲的比例数π就是相似判据。
π定理指出如何利用量纲分析法找到描述一个物理现象的相似判据的个数，并确定这些判据的表达式。
对于力学系统而言，所有的力学量都是由长度l、质量M、时间t这三个基本量组成，如果用[]表示物理量的量纲，则任何物理量Q的量纲都可写成
[Q]=[lαMβtγ]
式中α、β、γ为量纲指数。
举两个简单例子来帮助理解π定理是很有必要的。
例1：物理过程的关系为牛顿第二定律

参与的物理量为F、l、M、t四个，其中选取l、M、t三个相互独立的物理量为基本量，则
[F]=[Mlt-2]
进而 ，即相似判据个数为1。
假如选取长度l、速度v、密度ρ为基本量，则有
[M]=[ρl3] [t]=[lv-1]
进而 [F]=[ρl2v2]，
可见，基本量选取的个数是唯一的，但物理性质不唯一，只要相互独立即可。这一点能够增强复杂系统物理模拟时的建模灵活性。
例2：物理过程的关系为运动方程

参与的物理量为l、v、a、t四个，其中独立数为2，选取l、t为基本量，不难得出有两个相似判据。
由上分析可推断，应用基于π定理的量纲分析法，即使不知道所研究过程的数学方程式，我们也可导出相似判据。
5.1.2 相似第三定理
定理：如果两个现象的单值条件相似，并且从单值条件引出的相似判据数值相等，那么这两个现象相似。
所谓单值条件是指一个现象从一群现象中区别出来时所需要的条件。模拟电力系统时主要包括下列几个因素：
（1） 几何相似。如果物理过程是在一个有限的、具有确定形状和大小的空间之内进行的，则在几何相似的系统中任何相应点的坐标应满足模拟比

对于模拟具有集中参数的系统，则可以不要求几何相似。
（2） 物理参数相似。系统原型的物理参数（主要为电阻R、电感L、电容C）与模型中相应的物理参数应该分别满足

（3） 状态变量及其起始条件相似。物理过程一方面取决于过程的性质，另一方面也取决于起始条件。两个相似系统的相应起始条件之间的比例应该等于该物理量的模拟比。如电压、电流应满足

（4） 边界条件相似。所研究的任何一个现象都有其活动范围，在边界上可能有别的现象存在，这些现象本身并不依赖于被研究的现象，但却对其有影响，这样就不能只依靠被研究现象的特性来判断各变量间的相互作用，而必须同时考虑边界上所进行的所有现象，即相应时刻、相应边界点上的干扰因数应保持一定的比例系数。
（5） 时间相似。在随时间变化的过程里（包括暂态过渡过程），每一时刻都对应着各物理量的一系列确定的数值。为了使物理量在模型中t2时刻的值与在原型中t1时刻的值相似，需保持时间模拟比固定不变。即

当mt=1时，模型对原型的模拟为实时模拟，否则为时谐模拟。即

§5.2 基尔霍夫系统相似判据与物理模拟比的确定方法
模拟必须以相似判据为依据，求得相似判据就等于得出相似指标，也就决定了物理模拟比的选择条件。
确定相似判据的方法有两种：一为基于相似第二定理（π定理）的量纲分析法，它适用于包括特性方程无法得知的所有系统；二是基于相似第三定理的分析方程式法（主要是标幺值相等法），它适用于特性方程已知系统。以下综合两种方法推导相似判据：
任意满足基尔霍夫定律的系统，其特性均可表示为

式中R，L，C，v，i，t分别表示电阻、电感、电容、电压、电流和时间。
从更广泛的动力学系统角度考虑，由于长度l、质量M、时间t为三个基本量且R、L、C的物质属性与l、M有关，所以上述基尔霍夫表达式可写成

不妨暂且称式（5-7）为广义基尔霍夫系统。首先的问题是，上式有几个独立物理量？为对此求解，我们可利用系统或其中各部分所遵循的物理定律和物理参数定义表达式结合量纲分析法来推断。
在式（5-7）的8个物理量中，除了M、l、t外，暂时假设电气量i也为基本量，则由库仑定律

并考虑到力F的量纲式[F]=[Mlt-2]和i=dq/dt得出量纲平衡式
[C]=[M-1l-2t4i2] (5-8)
进一步由电容定义C=q/v得
[v]=[M1l2t-3i-1] (5-9)
同样，由安培力定律

得 [L]=[M1l2t-2i-2] (5-10)
又根据线电荷分布导体的焦耳定律

式中，ρ为电阻率，δ为线电流密度。
即得出电阻R量纲式
[R]=[M1l2t-3i-2] (5-11)
由（5-8）、（5-9）、（5-10）、（5-11）可列出C、v、L、R的量纲指数矩阵

用行列式行变换的方法容易得出
行列式的秩=3
由此得出结论：所有满足基尔霍夫定律的电力系统，其独立的物理量数为3个。这一点与前述牛顿力学系统相同，证实了电力系统属于动力学系统一个子集的基本概念。
接下来继续推导相似判据的个数和形式。系统的电气特性是由式（5-6）描述的，如果在该式的6个物理量中选取3个作为基本量（这意味着广义系统中的M、l不作为基本量），根据π定理，相似判据的个数等于3。
按照电路基础理论，不论多么复杂的基尔霍夫系统都是由R、L、C构成的，并且式（5-6）可由R、L、C元件的欧姆定律表达式复合而成。因此基尔霍夫系统的基本表达式为

这样，系统的3个相似判据为

相应于物理模拟比的相似指标为

上式为模型对原型的时谐性仿真条件。特别地，当模型为实时性时，mt=1并令阻抗模拟比mZ=mR，则有

§5.3 机电过程及同步发电机模型有效性的定性分析
电力系统动态模型（动模）是根据相似定理建立的物理仿真系统，由于它能再现电力系统中的各种运行状况，因此长期以来一直是电力系统科研和教学活动的必备工具。
虽然理论上动模适合于模拟包括机电过程和电磁过程在内的电力系统各种现象，但由于物理建模的经济性和模型试验的灵活性等方面的原因，实际上动模一般只应用于以系统功率（能量）变化为对象的机电过程的仿真研究，且主要的特征观测量为符合工频周期变化的频域相量。
既然同步发电机几乎可以说是电力系统的唯一电源，而且它的机械动力学运动状况决定了系统的功率变化规律，所以同步发电机模型是整个动模仿真系统的建模关键。
物理建模的出发点是以小容量、低电压的电气元件来对大容量、高电压的同类实物元件进行模拟，按照上一节对广义基尔霍夫系统相似判据的推论（基本物理量的个数为3），这意味着动模元件模型的电气变量电压v和电流i以及时间t的模拟比mv、mi、mt（实时模型mt =1）必须首先固定，而模型元件的几何尺寸及材料特性则需要在模型制作时符合非独立电气参数模拟比的要求。
根据IEEE或IEC标准，描述同步发电机的运行特性需要的电气参数如表5-1所示。
表5-1 同步发电机电气参数
电气参数
符号
电枢电阻
Ra
电枢漏电抗
Xl
零序电抗
X0
暂态电抗
X’d X’q
次暂态电抗
X”d X”q
暂态短路时间常数
T’d T’q
次暂态短路时间常数
T”d T”q
惯性时间常数
TJ
表5-1中的参数通常用于电机运行的理论分析，它们是由电机的原始电气参数转换而来的，物理仿真模型分析应该直接依靠如表5-2所示的电机实物原始电气参数。

表5-2 同步发电机实物原始电气参数
电气参数
符号
电枢反应电抗
Xad Xaq
定子绕组漏抗
Xs=Xd-Xad
励磁绕组电抗
Xf
阻尼绕组漏抗
Xyd Xyq
定子绕组电阻
r
励磁绕组电阻
rf
阻尼绕组电阻
ryd ryq
惯性时间常数
TJ
一旦动模仿真系统的电压、电流对实际系统原型的模拟比确定后，阻抗基准值的模拟比随之确定，根据相似第三定理，模型与原型的表5-2中的电气参数标幺值应该相等（实时模型的TJ有名值相等）。
构建物理模型时，出于经济性和轻便性考虑，人们在设计模拟比时总是希望用尽可能小容量、尽可能低电压的模型来模拟尽可能大容量、尽可能高电压的真实系统。这种设想对于绝大多数无机械运动的元件模型是较容易实现的，但对于诸如同步发电机类的旋转电气设备却受到材料性质和几何尺寸等因数限制，主要问题是小型模型电机阻抗基准值的模拟比要比容量（功率）模拟比小很多，致使电机绕组在保证电抗标幺值相等（模型电机绕组线圈的匝数不能太少和导线长度不能太短）的条件下电阻标幺值比实际大型电机大得多，同时模型电机惯性时间常数必须与原型相等，这个要求从几何尺寸方面限制了通过增大绕组导线截面积降低电阻的尝试效果。阐述如下：
不同容量发电机惯性时间常数与转子质量-尺寸的关系为

式中，GD2——转动惯量（吨米2，决定了电机几何尺寸）
TJ——惯性时间常数（秒）
n——转速（转/分）
S——容量（kVA）。
在实时（mt=1）条件下，模型与原型的TJ、n相等，因此模型机几何尺寸与容量模拟比的关系由（5-15）得

电机的电枢反应电抗为

式中，D——极距
leq——电枢轴向计算长度
N——绕组匝数
δ——气隙
kδ——气隙系数，定转子开槽等效于增大气隙
绕组电阻与导线长度成正比、与导线截面积成反比。而导线的截面积越大，定转子表面开槽就越大，等效气隙kδδ也就越大；导线长度是随着绕组匝数N的增加而增加的，故模型机绕组的电阻可写成

模型对原型的阻抗基准值模拟比为

从式（5-16）、（5-20）、（5-18）和（5-19）可见，当减小模型机容