三年高考两年模拟——数学系列.doc

第十六章 系列4
第一部分 三年高考荟萃
2010年高考题
一、选择题
1.（2010湖南文）4. 极坐标和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是
A. 直线、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 圆、直线
【答案】 D

2.（2010重庆理）（3）=
A. —1 B. — C. D. 1
【答案】 B
解析：=
3.（2010北京理）（5）极坐标方程（p-1）（）=（p0）表示的图形是
（A）两个圆 （B）两条直线
（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线
【答案】C
4.（2010湖南理）5、等于
A、 B、 C、 D、

5.（2010湖南理）3、极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是
A、圆、直线 B、直线、圆
C、圆、圆 D、直线、直线

6.（2010安徽理）7、设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数为
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】B
【解析】化曲线的参数方程为普通方程：，圆心到直线的距离，直线和圆相交，过圆心和平行的直线和圆的2个交点符合要求，又，在直线的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B.
【方法总结】解决这类问题首先把曲线的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线上到直线距离为，然后再判断知，进而得出结论.
二、填空题
1.（2010上海文）3.行列式的值是 。
【答案】 0.5
解析：考查行列式运算法则=
2.（2010陕西文）15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A.（不等式选做题）不等式<3的解集为. 。
【答案】
解析：
B.（几何证明选做题）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝ cm.
【答案】
解析：,由直角三角形射影定理可得

C.（坐标系与参数方程选做题）参数方程（为参数）化成普通方程为

【答案】x2＋（y－1）2＝1.
解析：
3.（2010北京理）（12）如图，的弦ED，CB的延长线交于点A。若BDAE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,则DE＝ ；CE＝ 。
【答案】5

4.（2010天津文）（11）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。若PB=1，PD=3，则的值为 。
【答案】
【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于容易题。
因为A,B,C,D四点共圆，所以,因为为公共角，所以
⊿PBC∽⊿PAB,所以=
【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。
5.（2010天津理）（14）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若,则的值为 。
【答案】
【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于中等题。
因为A,B,C,D四点共圆，所以,因为为公共角，所以
⊿PBC∽⊿PAB,所以.设OB=x，PC=y，则有，所以
【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。
6.（2010天津理）（13）已知圆C的圆心是直线与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为
【答案】
本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。
令y=0得t=-1，所以直线与x轴的交点为（-1.0）
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为
【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。
7.（2010广东理）15、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ= 与 的交点的极坐标为______．
【答案】．
由极坐标方程与普通方程的互化式知，这两条曲线的普通方程分别为．解得由得点（-1，1）的极坐标为．
8.（2010广东理）
14、（几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，则CP＝______.
【答案】
因为点P是AB的中点，由垂径定理知， .
在中，.由相交线定理知，
，即，所以．
9.（2010广东文）15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为 .

10.（2010广东文）14.（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB,CB,AB=AD=,CD=,
点E,F分别为线段AB,AD的中点，则EF=
【答案】
解：连结DE，可知为直角三角形。则EF是斜边上的中线，等于斜边的一半，为.
三、解答题
1.（2010辽宁理）（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E
（I）证明：
（II）若的面积，求的大小。
证明：
（Ⅰ）由已知条件，可得
因为是同弧上的圆周角，所以
故△ABE∽△ADC. ……5分
（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC=AD·AE.
又S=AB·ACsin，且S=AD·AE，故AB·ACsin= AD·AE.
则sin=1，又为三角形内角，所以=90°. ……10分
2.（2010辽宁理）（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知P为半圆C： （为参数，）上的点，点A的坐标为（1,0），

O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为。
（I）以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
（II）求直线AM的参数方程。
解：
（Ⅰ）由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，
故点M的极坐标为（，）. ……5分
（Ⅱ）M点的直角坐标为（），A（0,1），故直线AM的参数方程为
（t为参数） ……10分
3.（2010辽宁理）（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。
证明：（证法一）
因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得
①
所以 ② ……6分
故.
又 ③
所以原不等式成立. ……8分
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当时，③式等号成立。
即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。 ……10分
（证法二）
因为a，b，c均为正数，由基本不等式得

所以 ①
同理 ② ……6分
故
③
所以原不等式成立. ……8分
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，时，③式等号成立。
即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。 ……10分

4.（2010福建理）21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=，，且，
（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程。
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为。
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，
求|PA|+|PB|。
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数。
（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。
（1）选修4-2：矩阵与变换
【命题意图】本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。
【解析】（Ⅰ）由题设得，解得；
（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线上的两（0，0），（1，3），
由，得：点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），从而
直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为。
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。
【解析】（Ⅰ）由得即
（Ⅱ）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，
即由于，故可设是上述方程的两实根，
所以故由上式及t的几何意义得：
|PA|+|PB|==。
（3）选修4-5：不等式选讲
【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。
【解析】（Ⅰ）由得，解得，
又已知不等式的解集为，所以，解得。
（Ⅱ）当时，，设，于是
=，所以
当时，；当时，；当时，。
5.（2010江苏卷）21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A． 选修4-1：几何证明选讲
（本小题满分10分）
AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。
[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。
（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，
又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，
所以∠DCO=300，∠DOC=600，
所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。
（方法二）证明：连结OD、BD。
因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。
因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900。
又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，
于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。
即2OB=OB+BC，得OB=BC。
故AB=2BC。

B． 选修4-2：矩阵与变换
（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=,N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。
[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。
解：由题设得
由，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（，-2）。
计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是，则由题设知：。
所以k的值为2或-2。

C． 选修4-4：坐标系与参数方程
（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。
[解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。
解：，圆ρ=2cosθ的普通方程为：，
直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：，
又圆与直线相切，所以解得：，或。

D． 选修4-5：不等式选讲
（本小题满分10分）
设a、b是非负实数，求证：。
[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。
（方法一）证明：

因为实数a、b≥0，
所以上式≥0。即有。
（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得

当时，，从而，得；
当时，，从而，得；
所以。

[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2009年高考题
一、填空题
1、（09广东理14）（坐标系与参数方程选做题）若直线（t为参数）与直线垂直，则常数= .
【解析】将化为普通方程为,斜率,
当时,直线的斜率,由得;
当时,直线与直线不垂直.
综上可知,.
答案
2、(09广东理15) (几何证明选讲选做题)如图3，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，，则圆O的面积等于 .

图3
【解析】连结AO,OB,因为 ,所以,为等边三角形,故圆
O的半径,圆O的面积.
答案
3、(天津理13) 设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为_______
【解析】由题直线的普通方程为，故它与与的距离为。
答案　　
4、（09安徽理12）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中
取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为，它与曲线
（为参数）相交于两点A和B，则|AB|=_______.
【解析】直线的普通方程为，曲线的普通方程
∴
答案
二、解答题
5、（09海南22）本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知的两条角平分线和相交于H，，F在上，
且。
（Ⅰ）证明：B,D,H,E四点共圆：
（Ⅱ）证明：平分。
开始

输出
结束
是
否
解：（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，
所以∠BAC+∠BCA=120°.
因为AD，CE是角平分线，
所以∠HAC+∠HCA=60°，
故∠AHC=120°.
于是∠EHD=∠AHC=120°.
因为∠EBD+∠EHD=180°，
所以B,D,H,E四点共圆.
（Ⅱ）连结BH,则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD=30°
由（Ⅰ）知B,D,H,E四点共圆，
所以∠CED=∠HBD=30°.
又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD，
可得∠CEF=30°.
所以CE平分∠DEF.
6、（09海南23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。
已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。
（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线
（t为参数）距离的最小值。
解：（Ⅰ）
为圆心是（，半径是1的圆.
为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
（Ⅱ）当时，
为直线
从而当时，
7、（09海南24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.
（1）将y表示成x的函数；
（2）要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？

解
（Ⅰ）
（Ⅱ）依题意，x满足
{
解不等式组，其解集为【9，23】
所以
8、（09江苏）A.选修4 - 1：几何证明选讲
如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.
求证：AB∥CD.
【解析】 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，
考查推理论证能力。满分10分。
证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CBA=∠CDB。再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。
B. 选修4 - 2：矩阵与变换
求矩阵的逆矩阵.
【解析】 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。满分10分。
解：设矩阵A的逆矩阵为则
即故
解得：，
从而A的逆矩阵为.
C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程
已知曲线C的参数方程为（为参数，）.
求曲线C的普通方程。
【解析】本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。
解 因为所以
故曲线C的普通方程为：.
D. 选修4 - 5：不等式选讲
设≥＞0,求证：≥.
证明：
因为≥＞0,所以≥0，＞0，从而≥0，
即≥.
9、（09辽宁理22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明讲
已知 ABC 中，AB=AC, D是 ABC外接圆劣弧上
的点（不与点A,C重合），延长BD至E。
(1)求证：AD的延长线平分CDE；
(2)若BAC=30，ABC中BC边上的高为2+，求ABC
外接圆的面积。
解（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠CDF=∠ABC
又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB,
且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF,
对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF,
即AD的延长线平分∠CDE.
（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AH⊥BC.
连接OC,A由题意∠OAC=∠OCA=150, ∠ACB=750,
∴∠OCH=600.
设圆半径为r,则r+r=2+,a得r=2,外接圆的面积为4。
10、（09辽宁理23）（本小题满分10分）选修4－4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。
（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；
（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。
解（Ⅰ）由

从而C的直角坐标方程为

（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）
N点的直角坐标为
所以P点的直角坐标为
所以直线OP的极坐标方程为
11、（09辽宁理24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数。
（1）若解不等式；
（2）如果,,求 的取值范围。
解（Ⅰ）当a=－1时，f(x)=︱x－1︳+︱x+1︳.
由f(x)≥3得
︱x－1︳+︱x+1|≥3
（ⅰ）x≤－1时，不等式化为
1－x－1－x≥3 即－2x≥3

2008年高考题
一、填空题
1．（2008广东理）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方
程分别为，，
则曲线与交点的极坐标为 ．
答案
2．（2008广东理）（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程
有实根，则的取值范围是 ．
答案
3．（2008广东理）（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，．
是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径 ．
答案
二、解答题
4.（2008宁夏理）（10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，
过A作直线AP垂直于直线OM，垂足为P.
（1）证明：OM·OP = OA2；
（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，
且交圆O于B点.过B点的切线
交直线ON于K.证明：∠OKM = 90°.
（1）证明 因为是圆的切线，所以．
又因为．在中，由射影定理知，
（2）证明 因为是圆的切线，．
同（1），有，又，
所以，即．
又，
所以，故．
5.（2008宁夏理）（10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲
已知曲线C1：，曲线C2：.
（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，.写出
，的参数方程.与公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说
明你的理由.
解（1）是圆，是直线．
的普通方程为，圆心，半径．
的普通方程为．
因为圆心到直线的距离为，
所以与只有一个公共点．
（2）压缩后的参数方程分别为
：（为参数）； ：（t为参数）．
化为普通方程为：：，：，
联立消元得，
其判别式，
所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．
6.（2008宁夏理）（10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数.
（1）作出函数的图象；
（2）解不等式.
解（1）
图象如下：
1
1
O
x
y
2
3
4
2
4
-1
-2
-2
8
-4

（2）不等式，即，
由得．
由函数图象可知，原不等式的解集为．
7.（2008江苏）A.选修4-1：几何证明选讲
如图所示，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线
交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2=EC·EB.
B.选修4-2：矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵A=对应的变换下得到曲线F，求F的方程.
C：选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，设P(x,y)是椭圆上的一个动点，
求S=x+y的最大值.
D：选修4-5：不等式选讲
设a,b,c为正实数，求证：
A.证明: 如图所示，因为AE是圆的切线，
又因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠BAD=∠CAD.
从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD.
因为∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAE+∠CAD，
所以∠ADE=∠DAE，故EA=ED.
因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知，EA2=EC·EB，而EA=ED，所以ED2=EC·EB.
B.解： 设P（x0,y0）是椭圆上任意一点，
点P（x0，y0）在矩阵A对应的变换下变为点P′(x′0,y′0),则有

又因为点P在椭圆上，故
所以曲线F的方程为
C.解：由椭圆
故可设动点P的坐标为（）,其中
因此,
所以当
D.证明：因为a,b,c是正实数，由平均不等式可得

所以

第二部分 两年模拟题
2011届高三模拟题
题组一
一、 填空题
1.（广东省中山市桂山中学2011届高三第二次模拟考试文） 在极坐标中，圆的圆心到直线的距离为 .
答案 .
2. （广东省清远市清城区2011届高三第一次模拟考试理）（坐标系与参数方程选做题）点的极坐标为 。
答案
3、（河南省辉县市第一中学2011届高三11月月考理）极坐标系下，直线 与圆的公共点个数是________．
答案 1个.
4．（湖北省夷陵中学、钟祥一中2011届高三第二次联考理）在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝x＋2m和圆x2＋y2＝n2相切，其中m，n∈N*，0＜| m－n |≤1，若函数f (x)＝mx+1－n的零点x0∈（k，k＋1），k∈Z，则k＝
答案：0.
二、 简答题
5.（福建省四地六校2011届高三上学期第三次联考试题理）（本大题分两小题，每小题7分，共14分）
（1）极坐标系中，A为曲线上的动点，B为直线的动点，求距离的最小值。
（2）求函数y=的最大值
答案 5、（本大题分两小题，每小题7分，共14分）
（1）极坐标系中，A为曲线上的动点，B为直线的动点，求距离的最小值。
解：圆方程为，圆心（-1，0），直线方程为
圆心到直线的距离，所以
（2）求函数y=的最大值
解：
当，即时等号成立。

6．（江苏省南京市九校联合体2011届高三学情分析试卷）（本小题为选做题，满分8分）
已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：
．
（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）判断直线和圆的位置关系．
答案 6. （选做题）（本小题满分8分）
解：（1）消去参数，得直线的普通方程为；……………… 2分
即，
两边同乘以得，
消去参数，得⊙的直角坐标方程为：
……………… 4分
（2）圆心到直线的距离，
所以直线和⊙相交．……………… 8分
7.（浙江省诸暨中学2011届高三12月月考试题模块）在极坐标系中,过曲线外的一点(其中为锐角)作平行于的直线与曲线分别交于.
（1）写出曲线和直线的普通方程(以极点为原点,极轴为轴的正半轴建系)；
(2) 若成等比数列,求的值.
答案7. ⑴
(2)直线的参数方程为(为参数),代入得到
,则有
因为,所以
解得

题组二
一 选择题
1．（江西省2011届高三理）若集合为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当为集合A的同一分拆，则集合的不同分拆的种数为（ ）
A．27 B．26 C．9 D．8
答案 A.
2. (广西桂林中学2011届高三11月月考试题理.)
已知函数连续，则 ( )
Ａ. 　　 Ｂ.　 　 　Ｃ. 　 　Ｄ.
答案 B.
二 填空题
3．（江西省2011届高三理）为激发学生学习的兴趣，老师上课时在黑板上写出三个集合：；然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述：

甲：此数为小于6的正整数；乙：A是B成立的充分不必要条件；
丙：A是C成立的必要不充分条件
若老师评说这三位同学都说得对，则“”中的数为 。
答案 1.
三，解答题
4．（江西省2011届理）二次函数f(x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x且f (0)＝1．
⑴求f (x)的解析式；
⑵在区间[－1，1]上，y＝f (x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．
答案4．解： (1)设f（x）＝ax2＋bx＋c，由f（0）＝1得c＝1，故f（x）＝ax2＋bx＋1．
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x．
即2ax＋a＋b＝2x，所以，∴f(x)＝x2－x＋1．
(2)由题意得x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立．即x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立．
设g(x)＝ x2－3x＋1－m，其图象的对称轴为直线x＝，所以g(x) 在[－1，1]上递减．
故只需g(1)>0，即12－3×1＋1－m>0，解得m<－1．

题组三
1. （广东省惠州市2010届高三第三次调研理科）（几何证明选讲选做题）如图，平行四边形中，, 的面积为6,
则的面积为 .
【答案】18
【解析】由题意可得∽, 且相似比为，由的面积为6，得的面积为54,又︰=,所以。
2．（2010年广东省揭阳市高考一模试题理科）（几何证明选做题）如图，已知是外一点，为的切线，为
切点，割线PEF经过圆心，若,则的度数为 ．
【答案】
【解析】由切割线定理得
,,∵,∴,
.
3. （广东省惠州市2010届高三第三次调研理科）（坐标系与参数方程选做题）若P是极坐标方程为的直线与参数方程为（为参数，且）的曲线的交点，则P点的直角坐标为 .
【答案】P
【解析】直线的方程为，曲线的方程为，联立解方程组得，，根据的范围应舍去,故点的直角坐标为P。
4. （广东省惠州市2010届高三第三次调研文科）（坐标系与参数方程选做题） 在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，则的最大值为 .
【解析】设，，最大值为2

题组四
1．（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）（本小题满分10分）
选修4—1：几何证明选讲
如图,⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点,
为⊙上一点,AE＝AC ,交于点,且,
A
C
P
D
O
E
F B

（1）求的长度.
（2）若圆F且与圆内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度

解：（1）连结,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系
结合题中条件弧长等于弧长可得,
A
C
P
D
O
E
F B
又,,
从而,故∽,∴, …………
由割线定理知,故. ………
（2）若圆F与圆内切，设圆F的半径为r，因为即
所以是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT
则，即 …………

2. （哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）
（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系下，已知圆O：和直线，
（1）求圆O和直线的直角坐标方程；
（2）当时，求直线与圆O公共点的一个极坐标.
解：（1）圆O：，即
圆O的直角坐标方程为：，即 …………
直线，即
则直线的直角坐标方程为：，即 …………
（2）由得
故直线与圆O公共点的一个极坐标为 …………

3. （哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）（本小题满分10分）
选修4—5：不等式选讲
对于任意实数和，不等式恒成立，试求实数的取值范围．

解：由题知，恒成立，
故不大于的最小值 …………
∵，当且仅当时取等号
∴的最小值等于2. …………
∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解 …………
解不等式得 …………

4.（三明市三校联考）本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。
（Ⅰ）（本小题满分7分）选修4-4：矩阵与变换
求矩阵的逆矩阵.
（Ⅱ）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．
（Ⅲ）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1
解: （I） 设矩阵A的逆矩阵为则
即故
解得：，
从而A的逆矩阵为.
（Ⅱ）曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为x2＋y2－4x=0，即（x－2）2＋y2=4
直线l的参数方程，化为普通方程为x－y－1=0， 曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为
所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长=．
（Ⅲ）当x<0时,原不等式可化为又不存在;
当时,原不等式可化为;又
当
综上,原不等式的解集为

题组五
1.（2009番禺一模）在直角坐标系中圆的参数方程为
（为参数），若以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆的极坐标方程为______ __．
答案
2.（2009上海十四校联考）矩阵的一种运算该运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下变换成点
在矩阵. 的作用下变换成曲线的值为
答案 2
3.（2009番禺一模）如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是
切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝460，∠DCF＝320， 则∠A的大小为 ．
答案
4.（2009上海卢湾区4月模考）不等式的解为 ．
答案
5.（2009番禺一模）若不等式对于一切非零实数x均成立，则实数
a的取值范围是_________________．
答案
6.（2009上海八校联考）满足方程的实数解x为________________。
答案 x＝2
7.（2009上海奉贤区模拟考）不等式的解集为 。
答案
8.（2009上海普陀区）关于x、y的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则 .
答案 4
9.（2009上海普陀区）将函数的图像向左平移（）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为 .
答案
10.（2009上海十校联考）若复数满足（是虚数单位），则__________．
答案
11.（2009上海闸北区）增广矩阵为的线性方程组的解用向量的坐标形式可表示为 ．
答案
二、解答题
12.（2009厦门集美中学）（不等式选讲）设均为正数，证明：.
证明
即得.
另证 利用柯西不等式
取代入即证.
13.（2009上海十四校联考）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知

解：由行列式得： …………3分
由正、余弦定理得： …………6分
………………9分
又 ………………12分
……………………14分
14.（2009盐城中学第七次月考）不等式选讲已知x，y，z均为正数．求证：

证明 因为x，y，z无为正数．所以， ……………………4分
同理可得， ………………………………………7分
当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．………10分
15.（2009南京一模）如图，已知四边形内接于⊙O,,切⊙O于点.求证：.
证明：因为切⊙O于点，所以
因为，所以
又A、B、C、D四点共圆，所以 所以
又，所以∽
所以 即
所以 即：
16.（2009厦门同安一中）（极坐标与参数方程）若两条曲线的极坐标方程分别为 =l与 =2cos（θ+），它们相交于A，B两点，求线段AB的长．
解 由得，
又
，
由得,