考研数学知识点之精华.doc

考研数学知识点之精华
高等数学部分
第一章： 函数 极限 连续
一、重要概念、公式
(一) 函数的性质（单调性、周期性、奇偶性、有界性）
(1)单调性：对于函数，如果对，有或（），则是单调增加（单调减少）。
注：1º 对可导函数，常通过判定：单增， 单减；
2º 函数不具体的非可导函数，必用定义。
(2)周期性：对于，如果存在常数，使，则为周期函数。
注：①常见函数周期： 和， 周期为；
和， 周期为
②如以为周期，则以为周期；
③如以为周期且可导，则以为周期，反之不真，即如为周期函数，其原函数不一定是周期函数，如。周期函数不一定可导
④如以为周期，则
⑤以为周期，则

(3)奇偶性：对于，如果，则偶函数；
如果，则奇函数
注：①　讨论奇偶性必注意区间对称性及与的关系；
② (偶)′＝奇， (奇)′＝偶；
③　偶函数的原函数不一定是奇数，但奇函数的原函数是偶函数；
④　奇±奇＝奇（不等）， 偶＋偶＝偶 ， 奇＋偶 不定
奇·奇＝偶， 偶·偶＝偶， 奇·偶＝奇（偶≠0）
(4)有界性：对于，如果存在，使，则称有界，
有上界； 有下界
注：①　有界 既有上界又有下界；
②　常见函数的有界性：， ，，，，；
③ 闭区间上的连续函数一定有界； ④　极限存在必局部有界，指点的附近。
（二）复合函数、反函数、 分段函数
1、复合函数：假设，，则是由，复合而成的复合函数。
注：的值域与的定义域的关系：仅当的值域包含在的定义域内时才可复合。
例：，， 仅当时，才可复合。
2、反函数： 由求，即得反函数
注：①单调连续反函数，其单调性相同；②单调可导函数的反函数必可导。
③单调可导函数的反函数凹凸性不定，单调增加的不同。单调减少的一致
3、分段函数： 　　在定义域内函数表达式不同。
注： 与， 分段点； ；
　 ， 分段点 ；
，分段点 ；
整数的点 带极限的函数
（三）极限定义及左极限、右极限与极限的关系
1、定义： ， ，
注：(1) 的方式是任意的： 表示是为了确定函数关系；
表示是为了确定函数关系；
(2) 表示当非常小时，也非常小；
(3) 当足够大时，与的差足够小
2、极限与左、右极限的关系： 左极限＝右极限 极限存在
(1) 在分段函数分段点的极限必用此结论；
(2) ，
3、存在 ，为任何以为极限的数列
注：此结论常用在证明极限不存在。
（四）极限的性质　
1、保号性 (1) ，则在的某一邻域内，
(2) ，则在的某一邻域内，
2、局部有界性 如果 存在，则在附近，有界
3、唯一性 极限存在必唯一
（五）无穷大 无穷小
1、定义（1）如果，则称在中为无穷小量
注：①无穷小是一个变量，并不是很小的数
②一个函数是否为无穷小，与自变量的变化趋势有关
例： 时，为无穷小 时，不为无穷小
（2）如果对存在，时，有成立，
则当时为无穷大。
注：1º 无穷大一定无界，但无界≠＞无穷大 无穷大具有一致性
2º 时无穷小的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。
2、性质（1）有限个无穷小的代数和仍是无穷小（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小
（3）有限个无穷小的乘积是无穷小
3、无穷小的阶及等价无穷小的应用定理
（1）设在自变量的某变化过程中，都是无穷小
1º 如 则称是的高阶无穷小，记作
2º 如 则称是的低阶无穷小 3º如 则与是同阶无穷小 4º如 则与是等价无穷小
5º如 则称是的k阶无穷小
（2）等价定理 如果 ～ ～ 则
（3）无穷小与极限的关系
注：此结论常用在求极限或证明题中。
4、常用的等价无穷小
当时

注：（1）等价无穷小代换只能用在乘除的情况下
（2）无穷小阶的讨论常用等价无穷小代换或泰勒展开式
（3）如果是的阶无穷小　　是的阶无穷小　
则是的阶无穷小
（4）一般地，如果是的阶无穷小，则是的阶无穷小，是的阶无穷小；反之，如是的阶无穷小，推不出是的阶的结论。
（六）极限运算法则及存在条件
如果与存在，则

注：1、条件的存在性2、
3、
（七）极限存在的两个准则及适用范围
1、双边夹法则
如果满足且，则
对于函数，如果且
则
注：多项和形式的极限一般用双边夹法则。
2、单调有界数列必有极限
注：（1）己知递推公式求极限必用此结论（2）
（八）连续定义及运算法则
1、定义（1）设在的某一邻域内有定义，如果 连续
如果 右连续 左连续
注：() 函数在连续既左连续又右连续
() 函数不具体或分段函数的分段点必用定义
（2）不连续点称为间断点
间断点包括:1º无定义点； 2º有定义但不存在的点
3º存在但
（3）间断点的分类
第一类 左右极限都存在的间断点
1º 左≠右 跳跃 2º 左＝右 可去间断点
第二类 左右极限至少有一个不存在的间断点
2、运算性质　
（1）如果都在处连续，则
1º也连续； 2º； 3º也连续
（2）如果函数在区间上单调且连续，则其反函数也在相应区间上单调且连续
（3）设函数，当时，极限存在且等于，即，而函数在连续，则复合函数当时的极限也存在，且等于，即
（4）设函数在点连续且而在点连续，则
在点也连续。
（5）初等函数在其定义域内都连续
如为初等函数，为其定义域内一点， 则
（6）如在上连续，则，，在内连续
(九)闭区间上连续函数的性质　
1、 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值　2、闭区间上的连续函数一定有界
3、闭区间上的连续函数必取得介于最大值、最小值之间的任何值　
注：1º闭区间 2º连续 是充分条
第二章： 导数与微分（6~10）
(一)基本概念
1、定义1：设函数在点的某邻域内有定义，如果存在，则称在点处可导，并称此极限为函数在点处的导数，记为，即，或，
注意：①结构的一致性；②的方式的任意性
定义2：左导数 右导数
定义3：导函数
2、左导数、右导数、导数的关系
左导数＝右导数 导数
注：（1）分段函数分段点的可导性，必用上述结论
（2）在不可导，如，则在处可导
（3）函数不具体，必用导数定义　（4）
（5） （奇）′＝偶 （偶）′＝奇 （周期）′＝周期
（6）单调，不一定单调
3、导数的几何意义： 表示在点切线斜率
（1）切线方程
（2）法线方程：

4、可导与连续的关系：　 可导必连续，但连续不一定可导。
5、高阶导数：
(1)定义：二阶及二阶以上的导数
(2)公式：

6、微分
（二）导数的运算法则
1、设, 都可导，则（1）； （2）；（3）
2、反函数的导数：设是的反函数，且单调可导，则也单调可导，且
3、复合函数的导数：如果在点可导，而在可导，则复合函数在点可导，且其导函数为
4、常见公式：

5、隐函数求导法
6、由参数方程所确定函数的导数： ， ，
第三章： 中值定理与导数应用（15~18）
一、（一）罗尔定理 如果在上连续，在内可导，且，则在内至少存在一点，，使
注：1.条件是充分条件 2.证含的导数等式常用罗尔定理3.条件缺一不可
（二）拉格朗日中值定理:如果在闭区间上连续，在开区间内可导，则在内至少存在一点，，使
注：1.函数值的改变量结构　2条件是充分条件，条件缺一不可
3. 4.罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况
（三）柯西定理:如果在闭区间上连续，在开区间内可导，且在内每一点均不为零，那么在内至少有一点，使
注：1.两个函数的函数值的改变量比结构　
2.条件是充分条件，条件缺一不可
3.拉格朗日中值定理是柯西定理的特殊情况
（四）泰勒定理 如果在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时

其中
注：1.　常见的泰勒展开式

2.关于高阶导数问题

（五）导数的应用
1、极值：设函数在区间内有定义，是内一个点，
如果存在点的一个去心邻域，对于这去心邻域内任何点都有 则称为极大（小）值
2、单调区间：使函数保持单调性的区间
3、驻点：的点
4、最大值，最小值与极值的关系：
最值是整体概念，极值是局部概念；最值可在边界取得，但极值只能在内部取得
5、凹凸性的定义
6、拐点：连续曲线上凹与凸的分界点
7、渐近线
（六）基本定理
1、单调性的判定定理：设函数在上连续 在内可导
（1）如果在内， 则在上单调增加
（2）如果在内，则在上单调减少
2、极值存在的必要条件：函数在点处可导，且在处取得极值，则
3、第一充分条件：设在点的一个邻域内可导且
（1）如果当时；当时则在处取得极大值
（2）如果当时，当时，则在处取得极小值
（3）如果在两侧，符号不变， 则在处不取极值
注：不存在的点或不易求的点常用此定理
4、第二充分条件： 设在处具有二阶导数，且 则（1）当时，取极大值；（2）当时，取极小值。
注：1º驻点 2º二阶导函数易求
5、函数凹凸性的判定定理：在上连续，在内具有二阶导数
（1）若， 则在上是凹的
（2）若，则在上是凸的
6、曲率的计算公式：
第四章： 不定积分（4~8）
一、（一）原函数和不定积分定义
1、原函数： ，则是的一个原函数
注（1）连续函数一定存在原函数：
（2）原函数如存在一定有无穷多个
（3）同一函数的原函数相差一个常数
2、不定积分： 全体原函数
（二）不定积分的基本积分公式和性质
1、公式

2、性质
（1） （2）
（三）不定积分的换元积分法和分部积分法
1、换元积分法
（1）第一换元（凑微分）
注1、
2、
3、
4、 5、
6、
7、
8、
9、
10、
(2) 第二换元积分法
被积函数含
；
；

如果分母的次数比分子高的多，则用倒代换
2、分部积分法
注：（1）运用分部积分法，关键是适当选取和
其原则： 比易求
（2）； ；
；
第五章：定积分（15~18）
一、重要概念、公式
（一）定积分的定义及几何意义
1、 2、几何解释
注：，
只与积分区间和被积函数有关，而与自变量用哪个字母表示无关.
3、定积分的存在性：如果在上连续，或有界且只有有限个第一类间断点，则存在.
（二）定积分的性质
1、被积函数代数和的定积分等于定积分的代数和；
2、被积函数的非零常数因子可以提到积分号外；
3、定积分具有区间可加性；4、如果，则;
5、如果在上连续，且分别为其最小值、最大值，
则； 6、；
7、定积分中值定理：如果上连续，则在内至少存在一点，使；
（三）定积分的换元积分法和分部积分法
1、可变限函数求导：
如果在相应区间上连续，可导，
则。
注：连续函数一定存在原函数 如连续，则即为其原函数
2、牛顿—莱布尼兹公式
如果函数是连续函数在上的一个原函数，
则：
注：此公式说明要求定积分两步：（1）求原函数； （2）代公式
3、换元积分法
如果函数在区间上连续，函数满足：
（1） ；（2）在或上具有单调连续导数且其值域，则
注：（1）定积分的换元积分法换元必换限，换后接着算。下限对应下限，上限对应上限
（2）条件，单调可导
4、分部积分法
注：边运算边代值
（四）常用公式
1、
2、如果为周期为的周期函数，
则，
3、 4、
5、
6、积分不等式 平方的积分结构
（五）定积分的应用
1、平面图形面积：
； ； ；
2、旋转体的体积：
； ； ；
； ；
3、平面曲线的弧长：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
4、变力作功
5、静液压力
6、引力
7、平均值
（六）广义积分
（1）无穷区间 ；
（2）无界函数
第六章：空间解析几何(2~6)
一、重要考点
1、向量的运算：
2． 求曲面方程：其步骤为
（1）在曲面上任取一点
（2）由此点所满足的条件建立方程
3、求平面方程
（1）
4求直线方程：
第七章：多元函数微分学（8~14）
一、重要概念、公式
多元函数的偏导数及复合函数偏导数、隐函数求导法
1、偏导数：设函数在点的某一邻域内有定义，如果极限
存在，
则称此极限为在点处对的偏导数，记作：
注：（1）分段函数分段点的偏导数必用定义； （2）偏导与连续之间无关；
（3）为一整体符号； （4）从几何上解释为曲面与的交线在处的切线与轴夹角正切。
2、高阶偏导数：若函数的二阶混合偏导数和都在点连续，则注意：条件高阶偏导连续相等。
3、全微分：（1）如果函数在点处的全增量
可表示为，
其中不依赖于， ，则称处可微，此时叫作在点处的全微分，记作，即；
注：①全微分是自变量与的线性函数；
②全微分与全增量之差，当时，是比高阶无穷小；
③可微连续；④可微偏导， 连续、偏导是可微的必要条件、
（2）必要条件：若函数在点处可微，即在点的全增量可表示成，则，
都存在。且
（3）充分条件：若函数的两个偏导数在点处连续，则函数在点处可微。
4、复合函数微分法：
如果在对应点处可微，且的偏导数都存在，则复合函数在点对的偏导数存在，且
；
设具有连续偏导数，也具有连续偏导数，则复合函数在点处的全微分为：；
全微分的运算公式：； (c为常数) ；
； ； 。
5、隐函数及其微分法
（三）偏导数的应用
1、空间曲线的切线与法平面：
（1）曲线：，其中，，都是可导函数，且
不全为0，则切线方程为：，
法平面方程为：
；
（2）曲线： 切线方程为：，
法平面方程为：；
（3）曲线：
切线方程为：，法平面方程为：

2、空间曲面的切平面与法线：
（1）曲面方程：切平面方程为：
，
法线方程为：，法线的方向余弦为：
；
（2）曲面方程：，
则切平面方程为：，
法线方程为：
（四）多元函数的极值、方向导数、梯度
1、定义：设在点的某一邻域内有定义，对于该邻域内异于的点，如果恒有，则称为的极大值，为的极大值点，否则极小值；
2、极值存在的必要条件：如果函数在点取得极值，且都存在，则必有，
满足的点（驻点）：可能极值点，包括驻点和偏导数不存在的点
注：在内为常数
3、极值的充分条件：设函数在点的某一邻域内具有二阶连续偏导数，且,， 记
：
（1）如，则为的极值，极大，极小；
（2）如，不是极值； （3）如，不确定。
4、方向导数、梯度：
1）方向导数：设在点及其邻域内有定义，如果极限
存在，则称函数在点沿方向可导，并称此极限值为函数在点处沿方向的方向导数，记作：
注：方向导数与偏导数的关系
（2）梯度：设，则
注：梯度方向即为变化率最大的方向
（3）方向导数计算公式：如果函数在点可微，则函数在点处沿任一方向的方向导数存在，且,其中是的方向余弦。
沿方向的方向导数为：；
（4）梯度的性质：
① ； ② ；
③
第八章：重积分（6~10）
一、重要概念、公式
（一）、性质：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）在上如，则，
；
（6）如果在上的最大、小值分别为，则：
；
（7）（二重积分中值定理）设在有界闭区域上连续，则至少存在一点，使
2、公式：
（1）如果关于为奇函数，积分域关于轴对称，则：
（2）如果关于为偶函数，积分域关于轴对称（表示位于轴上方的部分），则： （注：平面域关于轴对称）
（3）连续函数关于为奇函数，积分域关于面对称，
则：
（4）连续函数关于为偶函数，积分域关于面对称，表示的位于面上方的部分，
则： (注：立体关于坐标面对称)
（5）如果关于对称，
则：
（6） 中地位同
地位同
（一） 计算
1、二重积分的计算：
（1）如， 则
（2）， 则
2、三重积分的计算
（1），则（2），则
（3），则
（三）应用
1、体积公式：
2、曲面面积：（1）曲面的方程为：，；
（2）曲面的方程为：， ；
（3）曲面的方程为：，。
3、质量：（1）； （2）
4、重心坐标：（1）平面薄板：， ；
（2）立体：， (注意步调一致)
5、转动惯量：（1）平面薄板：， ， ；
（2）立体：， ， ，。
6、引力：质量为的质点位于处，物体占有空间域，其密度为，设物体对质点引力为：,
则：， ，
， .
CH9线积分 面积分（6~10）
一、 重要概念、公式
（一）曲线积分
1、对弧长的曲线积分
曲线段的长度：，；
曲线段的质量： ， ；
曲线的重心坐标：， ， ；
转动惯量：平面：； 空间：
2、对坐标的曲线积分
（1）定义：（2）性质：；
（3）计算：
： 起点， 终点，
则；
，： 起 ， 终点，
则；
： 起点，终点，
则 ；
空间曲线，起点，终点，
则
注：对坐标的曲线积分：起点下限，终点上限
3、两种曲线积分之间的关系：
，，， 曲线切向量的方向余弦，
，，
4、格林公式：设函数在域及其边界上具有一阶连续偏导数，
则 ，取正向
注：（1）具有一阶连续偏导数；（2）的位置：，；
（3）为闭曲线且为正向；
（4）曲线较复杂，但其趋势区域规则，常采用加一减一，加二减二方式求解
5、平面曲线积分与路径无关的等价命题
（1）在内与路径无关；
（2）， 为内任一分段光滑闭曲线；
（3）；
（4）存在，使，且
注：如果， 包围同一瑕点，则：
6、空间曲线积分：与路径无关
，，注：力 沿作功：
（二）曲面积分
1、对面积的曲面积分
（1）定义：；（2）性质； （3）计算公式：
： ；
： ；
：
（4）应用：
曲面的质量：；
曲面的重心坐标：，为
曲面的转动惯量：，=
2、对坐标的曲面积分
（1）定义：；（2）性质：；
（3）计算：
，投影域，则；
，投影域，则；
，投影域，则
注：1、与法向量与相应坐标轴的夹角有关：锐角，钝角负
2、负侧正侧 法向量的指向
3、两种曲面积分之间的关系：
，
其中为曲面的法向量的方向余弦
4、高斯公式： 设在空间闭域上具有一阶连续偏导数，则 ，其中是的边界曲面外侧
注：一阶连续偏导；外侧；闭曲面
5、斯托克斯定理：设函数在包含曲面的空间域内具有一阶连续偏导数，设为曲面的边界曲线，
则
6、流体流过曲面的流量：
7、梯度、散度、旋度：
设，则梯度：；
， 则散度：，
旋度：
第十章：级数（8~10）
一、重要概念、公式
（一）数项级数
1、绝对收敛，条件收敛
注： 收敛，则称绝对收敛；
收敛，发散，则称条件收敛
2、性质：
（1）若收敛，其和为为常数，则 也收敛，且其和为
（2）若级数分别收敛于 和 ，则也收敛，且收敛于
注： 如一发散，一收敛，则其代数和发散； 如两发散，则结论不一定
（3）在级数前面增加、减少或改变有限项，并不影响其敛散性，但级数收敛时，仅可能改变其和
（4）收敛级数的各项按原次序分组加括号所得新级数仍收敛，且其和不变
注： 一个级数加括号所得新级数收敛，并不能说明原级数是否收敛；
但加括号发散，原级数一定发散
（5）若级数收敛，则
注：若，则发散
3、定理及审敛法
（1）正项级数收敛 部分和数列 有界；
（2）比较审敛法：
设都是正项级数：
、若从某项起，有 且 收敛，则也收敛；
、若从某项起，有且发散，则也发散
设是两个正项级数，且，则同敛散
注：对于正项级数可利用等价无穷小代换，只能用在(正项或负项)级数
（3）比值审敛法：设有正项级数，若，则：
当时，级数收敛； 时，级数发散
注：含或的乘积形式
（4）根值审敛法：设有正项级数，若，则：
时，级数收敛； 时，级数发散
注：含以为指数的因子
（5）交错级数审敛法：若交错级数满足：； ，
则该交错级数收敛，且其和，其余项的绝对值
（6）绝对收敛定理：若收敛，则也收敛
注： 改变绝对收敛级数项的次序所得的新级数仍绝对收敛，且与原级数有相同的和；
设级数都绝对收敛，它们的和分别为 和 ，则它们逐项相乘后，依任意方式排列所得级数仍绝对收敛，且其积为
4、公式：
（1）：时收敛，时发散；
（2）：时收敛，时发散；
（3）：时收敛，时发散；
（二）函数项级数
1、基本概念：
（1）定义：
（2）和函数：
（3）幂级数：敛半径，收敛区间
（4）泰勒级数：如果存在各阶导数，则称为泰勒级数
2、定理公式：
（1）阿贝尔引理：若幂级数：当时收敛，则对的，；当发散，则对的，发散
注：收敛点是连成一片的
（2）设是幂级数的收敛半径，且：
当时，； 时，； 时，
（3）幂级数的分析运算性质：设幂级数，其收敛半径为，则： 和函数在内连续；
和函数在内可导，且；
和函数在内任何区间上可积，且
注：逐项求导，逐项积分并不改变收敛半径，但可改变端点的敛散性
（4）几个重要的麦克劳林展开式：
；
；
；
；
；
（5）泰勒定理：设在点的某个邻域内具有任意阶导数，则在处的泰勒级数在该邻域内收敛于的充要条件是：当时，在点的泰勒级数余项
注：在点的幂级数展开式
（三）付立叶级数
1、基本概念
（1）三角级数：形如
（2）正交：对于在上有定义，如果，则称正交
（3）付立叶系数：
是周期为的周期函数：则，
在上以为周期：，
在上：，
（4）付立叶级数：以付立叶系数构成的三角级数
付立叶级数
（4）正弦级数、余弦级数（奇偶延拓）
只含正弦项的级数 正弦级数； 只含余弦项的级数 余弦级数
注：奇延拓正弦 即：奇函数正弦
偶延拓余弦 偶函数余弦
2、定理
如在上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）至多有有限个极值点,则的付立叶级数在上收敛，
且： 为的连续点，
为的间断点，
为的端点，,
第十一章：微分方程（8~12）
一、重要概念、公式
1、如果、是二阶线性齐次方程：的两个解，
则也是它的解，其中是任意常数；
2、如果是的两个线性无关的解，
则就是该方程的通解；
3、如果是二阶非齐次线性方程：的一个特解，而是它对应的齐次方程的通解，则是该非齐次方程的通解；
4、如果是的解，是的解，
则的解
线性代数
CH1行列式(4~6)
一、重要概念、公式
① 行与列互换，其值不变；
② 行列式的两行或两列互换，行列式改变符号；
③ 行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的外面，若以一个数乘行列式等于用该数乘行列式的任意一行（列）；
④ 行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零；
⑤ 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两行列式之和：

⑥ 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变
3、几个公式：
（1） 范得蒙行列式：

特点：① 从第一行至第行按升幂排列；② 项积；
③
（2）设为阶矩阵，为阶矩阵，为阶矩阵，
则： ① ，，；
② ；③ ；
④ ；
⑤ ；⑥ ；
⑦ ，，但；
⑧ ，，为元素的代数余子式；
⑨ ， (注意符号) 余子式：

CH2矩阵(8~12)
一、重要概念、公式
1、矩阵的运算：
（1）加减同型：； （2）乘法：
2、矩阵的逆运算：相等；
3、伴随矩阵：对称阵、反对称阵；
4、矩阵的初等变换，矩阵的秩：
等价矩阵：， 互逆（同型号, 秩等）
5、分块矩阵及运算；
6、常用公式：
（1）；（2），；
（3）； （4），；
（5），， ；
（6）
7、分块矩阵：
（1）已知为分块对角矩阵，， 为可逆方阵，
则；
（2）若，则；
（3）若且，则；
（4）若A=，，则
8、、为同阶方阵，则；
若为可逆矩阵，则，
注：（1）； （2）分块矩阵的运算：
加法减法：分法一致，对应块加减；
乘法：当的列分法与的行分法一致时才能相乘
若，，
则，
9、初等变换不改变矩阵的秩：
，，
CH3向量
一、重要概念、公式
1、向量组的线性相关、线性无关；
2、向量组的极大无关组，向量组的秩：
如果向量组中有个向量线性无关，而中任意个向量（如果有）相关，则称为极大无关组，秩；
3、如和互相线性表示，则称与等价；
4、向量组的秩和矩阵的秩：矩阵的秩等于向量组的秩也等于列向量组的秩；
5、向量空间、子空间、基底、维数及坐标的概念：
设是维向量的集合，非空，且对于加法及数乘封闭；
6、维向量空间的基变换和坐标变换，过渡矩阵：
设和是维向量空间的两个基，且，
则称上式为基变换公式，为从基到的过渡矩阵；
如果在的坐标为， 在的坐标为，则；
7、向量的内积；
8、线性无关向量组的正交规范化，标准正交基（阶正交矩阵的个行（列）向量）
施密特： 若线性无关，则，，

9、正交矩阵及其性质：
10、基本定理：
（1）向量组线性相关的充要条件是：其中至少有一个向量可由其余个向量线性表示；
（2）如向量组线性无关，而向量组线性相关，则可由线性表示，且表示法唯一；
（3）若向量组线性相关，则也相关；
（4）向量组线性相关，
向量组线性无关；
（5）若向量组线性无关，则将其每个向量添加分量后所组成的向量组也线性无关；
（6）设向量组线性无关且可由向量组线性表示，则。
任意两个线性无关的等价向量组所含向量个数相等。
正交向量组，必线性无关。
（7）向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等；
（8）矩阵的行秩与列秩相等，都等于矩阵的秩；
（9）；
（10）；
（11）如果、为可逆矩阵，则；
（12）；（13）
注：① 个维向量必线性相关；
② 个维向量线性无关
CH4方程组
一、重要概念、公式
1、齐次线性方程组有非0解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件：
（1）
（2）
2、齐次线性方程组的基础解系、通解、解空间
基础解系(1)
通解
3非齐次线性方程组解的结构

不一定为。仅当
非齐次通解=齐次通解+非齐次的一个特解
CH5特征值和特征向量(10~12)
一、重要概念、公式
1、特征值、特征向量的定义：
设为阶矩阵，如果存在数和维非零列向量，使，则称为的特征值，称为的对应于特征值的特征向量
2、特征方程：
3、相似矩阵：对于、，如果存在可逆阵，使，则称和相似
4、矩阵的相似对角化：对阶方阵，求相似变换，使，为对角阵的过程称为的相似对角化
合同：若，则称合同，可逆
5、主要定理：
（1） 阶方阵有个特征值，它们的和等于的主对角线元素之和，它们的乘积等于的行列式；
（2） 如果是方阵的特征值，是与之对应的特征向量，则互不相等时，线性无关；
（3） 如果阶方阵与相似，则与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，有相同的迹；
（4） 如果阶方阵与对角阵相似，则的主对角线元素就是的个特征值；
（5）可相似对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量；
（6） 如果阶方阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似，即可相似对角化；
（7） 实对称矩阵的特征值全为实数；
（8） 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交；
（9） 对阶实对称矩陈，必存在正交阵，使，其中为以的个特征值为主对角线元素的对角阵；
（10）如为的特征值，则为的特征值
注：① 相似矩阵有相同的特征值；② 迹同；
③ ；④ 相似，合同，等价矩阵的秩相等

CH6二次型(4~8)
一、重要概念、公式
1、理解二次型与对称阵的关系：含有个变量的二次齐次函数：
，
或 ；
2、二次型的秩及标准形：
二次型
的矩阵的秩称为二次型的秩，
二次型
经可逆变换化为 标准型；
3、惯性定理：
设二次型的秩为，两个可逆变换，都化二次型为标准型
，；的正负个数相等
4、正定及其判别法：
设二次型，如果对任意非向量都有，
如果为正交阵，则称为正交变换 合同矩阵有相同的规范型
概率与数理统计
第一章：随机事件及其概率
一、重要概念、公式
1、古典概型及古典概率
古典概型的特点：（1）基本事件个数是有限的；（2）每个基本事件发生是等可能的。
古典概率定义：在古典概型中有个基本事件，而事件包含其中的个，
则发生的概率：
2、几何概型及几何概率
几何概型的特点：（1）基本事件个数是无限的；（2）每个基本事件发生是等可能的。
几何概率定义式：
（1）若为线段，则量积为长度；（2）若为平面图形，则量积为面积；
（3）若为立体图形，则量积为体积。
3、事件间的关系和运算
（1）包含关系：发生必导致发生，则称
（2）相等关系：且，则称
（3）事件的和：
如果事件至少有一个发生的事件，称为与的和，记为。
（4）事件的积：如果事件同时发生的事件积，；
如果事件同时发生或都发生的事件积，。
（5）事件的差：事件发生而事件不发生的事件与的差，。
注：
（6）互不相容（互斥）事件：如果事件满足，则称互斥。
（7）互逆事件：如果事件满足 ； ，则称互逆。
（8）运算规律
交换律：，；
结合律：，；
分配律：，；
对偶律：，，

注：，，，
4、事件的独立性及贝努里概型
（1）独立性：对，如，则独立；
对，如果对任意，及，
有，则独立。
注： 个事件独立包含个等式；
个事件相互独立，则个事件两两相互独立。
（2）性质： ；；；，如果有一组相互独立，则其它各组也相互独立；
如中有一组相互独立，则其它各组也相互独立。
（3）贝努里概型：次重复独立事件中，，则事件发生次的概率
（二）性质、定理
1、性质
（1）；
（2）；
（3）如两两互斥，则；
注意：互斥的条件
（4）；
（5）如果，则，，；
注意：一般的。
（6）广义加法定理：

注：
2、定理
（1）条件概率
设为任意二事件，，称为在事件发生的条件下发生的条件概率，记为，即
注： 条件； 公式
（2）乘法公式
设为任意个事件，，
则
（3）全概率公式
完备事件组
设为样本空间的一组事件，如果满足，，则称为的一个完备事件组。
全概率公式
设为的一个完备事件组，，为任意一个事件，
则。
注：弄清完备事件组。公式结构（项，条件概率公式）
（4）贝叶斯公式
设为的一个完备事件组，为任意一个事件，，
则。
第一章 一维随机变量及其分布
一、重要概念、公式
2、分布函数
（1）定义：设为一随机变量，为任意实数，称为的分布函数，记为：，即。
注：的定义域为（，）；
几何表示：
（2）性质： ；
；
具有单调不减性；
具有右连续性；

3、离散型随机变量
（1）定义：如果随机变量的取值为有限个，或无限可列个。
（2）分布律：如果为离散型随机变量，其所有可能取值为，
则称为的分布律，
或表示为：

……

……

（3）性质： ； ＝1；
（4）分布函数
已知：

……

……

则
（5）常见分布

两点分布：

二项分布：，
注：的最可能成功次数为。
泊松分布：，
记为，的最可能成功次数为
几何分布：
超几何分布：
注：二项分布是超几何分布的极限形式，泊松分布是二项分布的极限形式。
4、连续型随机变量的分布密度
（1）定义：是随机变量的分布函数，如果存在非负可积函数，使得对任意有成立，则称为连续型随机变量，为的分布密度。
（2）性质： ；
；
在连续点处，；
（离散不一定为0）；

（3）分布函数：
注： 如求分布函数必用定义；
如为分段函数，则必为分段函数，且其分段点一致。
（4）几种常见分布
均匀分布：如果，则称在上服从均匀分布。
指数分布：，
，，无记忆性。
正态分布：如果，则称服从参数为的正态分布，记为
：性质
为对称轴；
在左侧单增，右侧单减；
在取最大值；
为拐点。
：
则
，正态分布必用此公式。
：，则
5、随机变量函数及其分布
（1）离散型
已知

……

……

求的分布律。
其步骤： 求的所有可能取值；
求
, ；
，。
（2）连续型
，求的分布密度。
求的分布函数：
求

第三章 二维随机变量及其分布
一、重要概念、公式
1、二维随机变量定义,表示及分类
2、联合分布函数和边缘分布函数
（1）设为二维随机变量，为任意实数，称为的联合分布函数，记为。
注：① 的定义域为整个实平面：，；
② 的几何意义
（2）性质：
；
，；
关于 具有单调不减性；
关于具有右连续性；

注： 5条性质 ó 联合分布函数
（3）边缘分布函数：
，
，
即：边缘分布函数由联合分布函数唯一确定
3、二维离散型随机变量的联合分布律和边缘分布律
（1）设为二维离散型随机变量,其所有可能取值为（），则称二维整标函数，为的联合分布律，或表示为：

……

……

……

（2）性质：
；
注：分布律中待定常数常用性质
（3） 设为二维离散型随机变量,其所有可能取值为（），称（）为的边缘分布律，
称为的边缘分布律，
分别记为和，即：，
第行 第列
注：边缘分布律由联合分布律确定。
（4）联合分布函数和边缘分布函数
4、二维连续型随机变量的分布密度和边缘分布密度
（1）设为的联合分布函数，如果存在非负可积函数使得对任意，恒有，
则称为二维连续型随机变量，为的联合概率密度
（2）性质：
；
；
在的连续点处： ；
；

注：1、分布密度问题常考虑性质；
2、两种常见分布 ：、均匀分布； 、正态分布
（3）边缘分布密度：
设为二维连续型随机变量，其分布密度为，则称为的边缘分布密度，记作；
称为的边缘分布密度，记