高中数学高考总复习直线方程与两条直线的位置关系习题及详解.doc

高考总复习
高中数学高考总复习直线方程与两条直线的位置关系习题及详解
一、选择题
1．(2010·崇文区)“m＝－2”是“直线(m＋1)x＋y－2＝0与直线mx＋(2m＋2)y＋1＝0相互垂直”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　m＝－2时，两直线－x＋y－2＝0、－2x－2y＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m＋1)＋2m＋2＝0，∴m＝－1或－2，故选A.
2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
[答案]　A
[解析]　解法1：所求直线斜率为，过点(1,0)，由点斜式得，y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
解法2：设所求直线方程为x－2y＋b＝0，
∵过点(1,0)，∴b＝－1，故选A.
(理)设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝(　　)
A．1 B.
C．－ D．－1
[答案]　A
[解析]　y′＝2ax，在(1，a)处切线的斜率为k＝2a，
因为与直线2x－y－6＝0平行，所以2a＝2，解得a＝1.
3．点(－1,1)关于直线x－y－1＝0的对称点是(　　)
A．(－1,1) B．(1，－1)
C．(－2,2) D．(2，－2)
[答案]　D
[解析]　一般解法：设对称点为(x，y)，则
，解之得，
特殊解法：当直线l：Ax＋By＋C＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l的对称点B(x，y)的坐标，x＝，y＝.
4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O点落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为k，则k的取值范围为(　　)
A．[0,1] B．[0,2]
C．[－1,0] D．[－2,0]
[答案]　D
[解析]　如图，要想使折叠后点O落在线段BC上，可取BC上任一点D作线段OD的垂直平分线l，以l为折痕可使O与D重合，故问题转化为在线段CB上任取一点D，求直线OD的斜率的取值范围问题，

∵kOD≥kOB＝，∴k＝－≥－2，且k<0，
又当折叠后O与C重合时，k＝0，∴－2≤k≤0.
5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x－ay＋1＝0的两侧，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，10)
B．(10，＋∞)
C.∪(10，＋∞)
D.
[答案]　D
[解析]　将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a＋1)(3－3a＋1)<0，∴<a<10，故选D.
(理)如果点(5，a)在两条平行直线6x－8y＋1＝0和3x－4y＋5＝0之间，则整数a的值为(　　)
A．5　　　 B．－5　　　
C．4　　　 D．－4
[答案]　C
[解析]　由题意知(30－8a＋1)(15－4a＋5)<0，
∴<a<5，又a为整数，∴a＝4.
6．(2010·南充市)在直角坐标平面上，向量＝(1,3)、＝(－3,1)(O为原点)在直线l上的射影长度相等，且直线l的倾斜角为锐角，则l的斜率等于(　　)
A．1 B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　过原点作与直线l平行的直线l′，则、在l′上的射影也相等，故A、B到直线l′的距离相等，设l′：y＝kx，则＝，∴k＝－2或，
∵l的倾斜角为锐角，∴k＝.
[点评]　设直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量为a＝(1，k)，由，在a上射影的长度相等可得＝，可解出k.
7．设A(0,0)，B(2,2)，C(8,4)，若直线AD是△ABC外接圆的直径，则点D的坐标是(　　)
A．(16，－12) B．(8，－6)
C．(4，－3) D．(－4,3)
[答案]　A
[解析]　线段AB的垂直平分线x＋y－2＝0与线段AC的垂直平分线2x＋y－10＝0的交点即圆心(8，－6)，而圆心为AD的中点，所以得点D的坐标为(16，－12)．
8．(文)(2010·福建莆田市质检)经过圆x2＋y2＋2x＝0的圆心，且与直线x＋y＝0垂直的直线l的方程是(　　)
A．x＋y＋1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－1＝0
[答案]　B
[解析]　设与直线x＋y＝0垂直的直线方程为x－y＋b＝0，
∵过圆心(－1,0)，∴b＝1，故选B.
(理)(2010·山东潍坊)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009的值为(　　)
A．－log20102009 B．－1
C．log20102009－1 D．1
[答案]　B
[解析]　由y＝xn＋1得y′＝(n＋1)xn，则在点(1,1)处切线的斜率k＝y′|x＝1＝n＋1，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得，xn＝，
∴log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009
＝log2010(x1·x2·…·x2009)
＝log2010＝log2010＝－1，故选B.
9．(文)直线l过点(－2,0)，当l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A．(－2，2) B．(－，)
C. D.
[答案]　C
[解析]　由题意得，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆心为(1,0)，半径为1.当过点(－2,0)的直线l与圆相切时，可求得直线l的斜率k＝±.所以直线l的斜率k的取值范围是.故选C.
(理)(2010·汕头模拟)平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，－1)，C(2，－3)两点，D点在直线3x－y＋1＝0上移动，则B点轨迹的方程为(　　)
A．3x－y－20＝0(x≠13) B．3x－y－10＝0(x≠13)
C．3x－y－9＝0(x≠－8) D．3x－y－12＝0(x≠－8)
[答案]　A
[解析]　线段AC的中点M，设B(x，y)，则B关于点M的对称点(5－x，－4－y)在直线3x－y＋1＝0上，∴3(5－x)－(－4－y)＋1＝0，即3x－y－20＝0.
∵A、B、C、D不能共线，∴不能为它与直线AC的交点，即x≠13.
10．已知一动直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为p，直线l在两坐标轴上的截距之和为q，且p比q大1，则这个三角形面积的最小值为(　　)
A．4 B．2＋
C．4＋3 D．5＋2
[答案]　D
[解析]　设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则ab＝a＋b＋1，∵a＋b≥2，∴ab≥2＋1，即()2－4－2≥0，解得≥2＋，
∴ab≥×(2＋)2＝5＋2，当a＝b＝2＋时，三角形面积的最小值为5＋2.
二、填空题
11．(2010·深圳中学)已知向量a＝(6,2)，b＝，直线l过点A(3，－1)，且与向量a＋2b垂直，则直线l的一般方程为________．
[答案]　2x－3y－9＝0
[解析]　a＋2b＝(－2,3)，设l上任一点P(x，y)，则＝(x－3，y＋1)，由条件知，(x－3，y＋1)·(－2,3)＝0，∴2x－3y－9＝0.
12．(2010·浙江临安)设D是不等式组所表示的平面区域，则区域D中的点P(x，y)到直线x＋y＝10的距离的最大值是________．
[答案]　4
[解析]　画出不等式组所表示的平面区域D如图中阴影部分所示(包括边界)，显然直线y＝1与2x＋y＝3的交点(1,1)到直线x＋y＝10的距离最大，根据点到直线的距离公式可以求得最大值为4.

13．(2010·安徽怀宁中学月考)“直线ax＋2y＋1＝0和直线3x＋(a－1)y＋1＝0平行”的充要条件是“a＝____”．
[答案]　－2
[解析]　由条件知＝，∴a2－a－6＝0，∴a＝－2或3，当a＝3时，两直线重合不合题意，∴a＝－2.

14．(文)实数x、y满足3x－2y－5＝0　(1≤x≤3)，则的最大值、最小值分别为________．
[答案]　，－1
[解析]　设k＝，则表示线段AB：3x－2y－5＝0　(1≤x≤3)上的点与原点的连线的斜率．∵A(1，－1)，B(3,2)．
由图易知：kmax＝kOB＝，
kmin＝kOA＝－1.
(理)(2010·河南许昌调研)如果f ′(x)是二次函数，且f ′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，－)，那么曲线y＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．
[答案]　[0，)∪(，π)
[解析]　由题意f ′(x)＝a(x－1)2－，
∵a>0，∴f ′(x)≥－，因此曲线y＝f(x)上任一点的切线斜率k＝tanα≥－，
∵倾斜角α∈[0，π)，∴0≤α<或<α<π.
三、解答题
15．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y与x的函数关系．

[解析]　当0≤x≤10时，直线过点O(0,0)，A(10,20)，∴kOA＝＝2，
∴此时直线方程为y＝2x；
当10<x≤40时，直线过点A(10,20)，B(40,30)，
此进kAB＝＝，
∴此时的直线方程为y－20＝(x－10)，
即y＝x＋；
当x>40时，由题意知，直线的斜率就是相应放水的速度，设进水的速度为v1，放水的速度为v2，在OA段时是进水过程，∴v1＝2.在AB段是既进水又放水的过程，由物理知识可知，此时的速度为v1＋v2＝，
∴2＋v2＝.∴v2＝－.
∴当x>40时，k＝－.
又过点B(40,30)，
∴此时的直线方程为y＝－x＋.
令y＝0得，x＝58，此时到C(58,0)放水完毕．
综上所述：y＝
(理)已知矩形ABCD的两条对角线交于点M，AB边所在直线的方程为3x－4y－4＝0.点N在AD所在直线上．
(1)求AD所在直线的方程及矩形ABCD的外接圆C1的方程；
(2)已知点E，点F是圆C1上的动点，线段EF的垂直平分线交FM于点P，求动点P的轨迹方程．
[解析]　(1)∵AB所在直线的方程为3x－4y－4＝0，且AD与AB垂直，
∴直线AD的斜率为－.
又点N在直线AD上，
∴直线AD的方程为y－＝－(x＋1)，
即4x＋3y＋3＝0.
由，解得点A的坐标为(0，－1)．
又两条对角线交于点M，
∴M为矩形ABCD的外接圆的圆心．
而|MA|＝＝，
∴外接圆的方程为2＋y2＝.
(2)由题意得，|PE|＋|PM|＝|PF|＋|PM|＝|FM|＝，又|FM|>|EM|，
∴P的轨迹是以E、M为焦点，长半轴长为的椭圆，设方程为＋＝1(a>b>0)，
∵c＝，a＝，∴b2＝a2－c2＝－＝.
故动点P的轨迹方程是＋＝1.
16．已知直线l1过点A(－1,0)，且斜率为k，直线l2过点B(1,0)，且斜率为－，其中k≠0，又直线l1与l2交于点M.
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若过点N的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．
[解析]　(1)设M(x，y)，∵点M为l1与l2的交点，
∴　(k≠0)，
消去k得，＝－2，
∴点M的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1)．
(2)由(1)知M的轨迹方程为
2x2＋y2＝2(x≠±1)，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则2x12＋y12＝2①
2x22＋y22＝2②
①－②得2(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
即＝－2×，
∵N为CD的中点，
有x1＋x2＝1，y1＋y2＝2，
∴直线l的斜率k＝－2×＝－1，
∴直线l的方程为y－1＝－，
整理得2x＋2y－3＝0.
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3，2)的入射光线l1被直线l：y＝x反射，反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1、l2都相切，求l2所在直线的方程和圆C的方程．

[解析]　直线l1：y＝2，设l1交l于点D，则D(2，2)．
∵l的倾斜角为30°.∴l2的倾斜角为60°.∴k2＝.
∴反射光线l2所在的直线方程为y－2＝(x－2)，即x－y－4＝0.
已知圆C与l1切于点A，设C(a，b)．
∵⊙C与l1、l2都相切，
∴圆心C在过点D且与l垂直的直线上，
∴b＝－a＋8①
圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，
∴a＝3②
由①②得，圆C的半径r＝3，
故所求圆C的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9.
含详解答案