中职-《工程数学基础》第8章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,8,章 概率与数理统计初步,8.1,随机事件,8.2,概率,8.3,随机变量及其分布,8.4,随机变量的数字特征,8.5,统计量与统计特征数,8.6,参数估计,8.7,假设检验,8.8,一元线性回归分析与相关分析,8.1,随机事件,8.1.1,随机现象,8.1.2,随机事件的定义,8.1.3,事件的关系与运算,1.,事件的关系,2.,事件的运算,1.,确定性现象,:,例如，向上抛一颗石子必然下落；同性电荷必定相互排斥；在一个大气压下,60,度的水必定不会沸腾，等 等,.,8.1.1,随机现象,2.,随机现象,:,例如，抛一枚硬币结果可能是正面朝上、也可能是反面朝上；用同一门炮向同一目标射击的弹着点不尽相同，等等,.,注,：这类现象有一个共同特点：即在个别试验中其结果呈现出不确定性,而在大量重复试验中其结果又具有某种规律性,统计规律性,.,3.,概率论与数理统计具有广泛的应用,.,返回,8.1.2,随机事件的定义,随机试验,(,三个特征,):,(1),可以在相同的条件下重复地进行,;,(2),每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确所有可能的结果,;,(3),进行一次试验之前不能确定会出现哪个结果。,随机试验E的每一个可能出现的基本结果称为一个,样本点,用字母,表示.而试验E所有可能的基本结果的集合称为试验E的,样本空间,，用字母,表示.换句话说,即样本空间就是样本点的全体构成的集合,样本空间的元素就是试验E的每个可能的基本结果.,在一次试验中可能发生也可能不发生的结果,统称为,随机事件,，通常用英文字母,A,，,B,，,C,或,A1,A2,表示,.,随机事件例子,例,1,：已知一批产品供,30,件，内含正品,26,件，次品,4,件，进,行从中一次取出,5,件的试验,.,则,Ai=,恰有,i,件次品,(i=0,，,1,，,2,，,3,，,4),；,B=,最多有三件次品,；,C=,正品不超过,2,件,等都是随机事件，它们在一次试验中可能发生也可能不发生,.,例,2,：掷一粒骰子，观察它出现的点数。可能的结果,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,，从而样本空间为：,=1,2,3,4,5,6,。,在理论上,我们称试验,E,所对应的样本空间的子集为,E,的,随机事件,，简称事件,.,在一次试验中,当这一子集中的一个样本点出现时,就称这一事件发生,.,样本空间的仅包含一个样本点的单点子集也是一种随机事件,这种事件称为,基本事件,.,由若干个基本事件复合而成的事件称为,复合事件,.,样本空间 包含所有的样本点,它是 自身的子集,在每次试验中它总是发生,称为,必然事件,仍记为,.,空集 不包含任何样本点,也是样本空间 的子集,在每次试验中都不发生,称为,不可能事件,.,返回,8.1.3,事件的关系与运算,1.,事件的关系,（,1,）事件的包含与相等,若事件,A,发生必然导致事件,B,发生,则称事件,B,包含,事件,A,或称事件,A,包含在事件,B,中,记作,若,A,B,且,A,B,即,A=B,则称,A,与,B,相等,.,B,A,（,2,）事件的和（或并）,A,B,（,3,）事件的积（或交）,A,B,（,4,）事件的差,A,B,（,5,）互不相容事件,A,B,补充点,事件的并、交和互不相容事件可推广到,n,个事件间的关系,.,现就互不相容事件叙述如下：在一次事件,中，如果,n,个事件 两两互不相,容，则称 是互不相容的事件组,.,如果互不相容的事件组 满足,，,则称事件组 为,完备事件组,.,（,6,）对立事件,A,2.,事件的运算,设,A,、,B,、,C,为事件，则,（,1,）交换律：,（,2,）结合律：,（,3,）分配律：,（,4,）对偶律（德莫根,(Demorgan),公式）：,其中分配律和德莫根公式可以推广到有限多个,事件的情形,.,例,一个货箱中装有,12,只同类型的产品，其中,3,只是一等品，,9,只是二等品，从其中随机地抽取,两次，每次任取一只，表示第次抽取的,是一等品，试用 表示下列事件：,B=,两只都是一等品,C=,两只都是二等品,D=,一只一等品，另一只是二等品,E=,第二次抽取的是一等品,解：由题意，,第,i,次抽取的是一等品,，故,第,i,次抽取的是二等品,从,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,六个数字中任取一个,数，,A=,取得的数为,4,的约数,，,B=,取得的数为,偶数,，,C=,取得的数不小于,5.,试用集合表示下列事件,：,(1),(2),事件“,A,发生，,C,不发生”；事件“,B,C,至少有一,个发生”的逆事件,例,2,解 设,i,表示基本事件,取得的数为,i,所对应的样本,点，则样本空间,(1),(2),返回,8.2,概 率,8.2.1,概率概述,1.,概率的统计定义,2.,概率的古典定义,3.,概率的定义与简单计算,8.2.2,概率的运算公式,1.,加法公式,2.,条件概率与乘法公式,3.,全概率公式,8.2.3,事件的独立性,8.2.1,概率概述,1.,概率的统计定义,在相同的条件下进行,n,次重复试验，事件,A,发生的次数,m,称为事件,A,发生的,频数,；,m,与,n,的比值称为事件,A,发生的,频率,记作,一般地，当试验次数,n,增大时，事件,A,发生的频率 总是稳定在某个常数,p,附近，这时就把,p,称为事件,A,发生的概率，简称,事件,A,的概率,，记作,上述事件的概率是用统计事件发生的频率来确,定的，故这个定义称为概率的,统计定义,.,根据这,个定义，通过大量的重复试验，用事件发生的,频率近似地作为它的概率，这是求一个事件的,概率的常用基本方法,.,2.,概率的古典定义,考虑下面两个随机试验：,E1,：投掷一颗均匀的骰子，观察其出现的点数，基本事件有,6,个，由骰子的“均匀性”可知，每一个基本事件发生的可能性相等,.,E2,：一批产品有,N,个，要随机抽取一个，检测其等级，则,N,个产品被抽取的机会是相同的，每一次检测的结果就是一个基本事件，故,N,个基本事件出现的可能性相等,.,这两个试验都具有以下特点：,(1),只有有限个基本事件,(2),每个基本事件在一次试验中发生的可能性相同,.,这类随机试验称为,等可能概型,，由于这种概型在概率论发展初期是主要研究对象，所以也称为,古典概型,.,在古典概型中，若基本事件的总数为,n,，事件,包含的基本事件数为,m,，则事件的概率定义,为 ，这个定义称为概率的,古典定义,.,3,概率的定义与简单计算,与随机试验相联系的数量指标 ，都具,有下列共同的属性：,(1),(2),(3),为互不相容事件,则,在数学上，刻划随机试验中事件,A,的发生的可能性大小的数值 ，如果满足上述三条性质，就称为事件的,概率,.,注：,返回,8.2.2,概率的运算公式,1.,加法公式,由概率的性质知道，若事件,A,和,B,互不相,容，即,则,A,B,事件 时，上式就不成立了,.,A,B,而有,该公式称为概率的,加法公式,加法公式可推广到有限个事件至少有一个发生的情形，如三个事件 的并的加法公式为：,返回,2.,条件概率与乘法公式,（,1,）条件概率,一般地，把“在事件,B,已发生的条件下，事件,A,发生的概率”称为,条件概率,，记作 ，读作“在条件,B,下，事件,A,的概率”,.,同理,A,B,（,2,）乘法公式,由条件概率的一般公式,得,上述公式称为概率的,乘法公式,.,概率的乘法公式可推广到有限个事件交的情形,:,设有,n,个事件 满足,则,当,n=3,时,3.,全概率公式,设 是联系于一随机试验的完备,事件组,.,任一事件 可表示成,由前面已学公式得,该公式称为,全概率公式,.,返回,一般地，设事件,A,B,是一随机试验的两个,事件,且 ，若,，,则称事件,B,对事件,A,是,独立,的，否则称为不,独立的,.,8.2.3,事件的独立性,结论,由定义可推出下列结论：,(1),若事件,A,独立于事件,B,，则事件,B,也独立于事件,A,即两事件的独立性是相互的,.,(2),若事件,A,与事件,B,相互独立，则三对事件 与 ，,A,与 ，与,B,也都是相互独立的,.,(3),事件,A,与,B,相互独立的充要条件是，,两事件相互独立的直观意义是一事件发生的概率与另一事件是否发生互不影响,.,推广,事件的独立性可推广到有限个事件的情形,:,若事件组 中的任意,k,个事件交的,概率等于它们的概率积，则称事件组,是相互独立的，也就是说任一事件的概率不受其,他事件发生与否的影响,.,例如,:,三个事件,A,B,C,若满足等式,则称事件,A,B,C,是相互独立的,注意点,事件组相互独立，其中任意两事件相互独,立；反之却不一定正确,.,在实际问题中，两事件是否独立，并不总,是用定义或充要条件来检验的，而可以根,据具体情况来分析、判断,.,只要事件之间,没有明显的联系，我们就可以认为它们是,相互独立的,.,返回,8.3,随机变量及其分布,8.3.1,随机变量的概念,8.3.2,离散型随机变量及其分布列,8.3.3,连续型随机变量及其密度函数,8.3.4,几个重要的随机变量的分布,1.,离散型随机变量的分布,2.,连续性随机变量的分布,8.3.5,随机变量的函数与分布,1.,随机变量的函数概念,2.,随机变量的函数分布,8.3.1,随机变量的概念,为便于用数学的形式来描述、解释和论证随机试,验的某种规律性，我们需要按照研究的目的将试,验中的基本事件与实数集建立某种联系,.,例如,:,某人向一飞机射击，观察其是否击中飞,机，,则基本事件,A=,击中,B=,未击中,构成一个,完备事件组,.,为了便于研究,我们引进变量,X,规定,X,取,1,0,分别对应“击中”,“,未击中”事件,.,从而对,事件,A,B,的研究就转化为对变量,X,的研究,.,定义,8.1,设,E,是随机试验，样本空间为 ，如果对于每一个结果（样本点）都有一个确定的实数与之对应，这样就得到一个定义在 上的实值函数 ，称为,随机变量,.,随机变量通常用字母 或,X,，,Y,，,Z,等表示,.,定义,8.2,设 是一个随机变量，称函数,为 的,分布函数,简称分布,.,分布函数具有以下性质：,（,1,）；,（,2,）；,（,3,）当 时，有,.,返回,8.3.2,离散型分布变量及其分布列,定义,8.3,如果随机变量 只取有限多个或可列无穷多个值，则称 为,离散型随机变量,.,对于离散型随机变量,我们需要知道它的,所有可能值及取每一个可能值的概率,.,分布律,设,X,为离散型随机变量,可能取值为,且,则称 为,X,的,分布列,(,或分布律,),分布列常用表格表示,这样更为直观,.,X,分布列性质,随机变量的分布列具有下列性质,：,(1),(2),反之，若一数列具有以上性质，就可以看作为某一随机变量的分布列,.,返回,8.3.3,连续型随机变量及其密度函数,定义,8.4,如果对于随机变量,存在一个非负函数,f(x),使 在任意区间 内取值的概率为,，,那么,就称为,连续型随机变量,f(x),称为 的,概率密度函数,(,简称为概率密度或密度函数,).,连续型随机变量 的密度函数,f(x),具有以下两个性质,:,y,x,0,a,b,f(x),图中曲边梯形面积代表了事件 的概率,.,连续型随机变量 的概率运算性质,由,(1),可知,事件 即连续型随机变量恰取某一值的概率为,0.,从而,对于连续型随机变量所表示的事件,概率为,0,的不一定是不可能事件,同样,概率为,1,的不一定是必然事件,.,返回,8.3.4,几个重要的随机变量的分布,1.,离散型随机变量的分布（,1,）两点分布（,01,分布）,定义,8.5,若随机变量,X,只取两个可能值,0,1,且,则称,X,服从,0-1,分布,.X,的分布律为,:,X,0,1,q,p,如果随机试验只出现两种结果,则称其为,伯努里试验,.,如检验产品的质量是否合格,婴儿的性别是男是女,投篮时考虑是否命中等都属于伯努里试验，它们都可以用两点分布来描述,.,（,2,）二项分布,定义,8.6,若随机变量的可能取值为,0,，,1,，,n,，,且分布列为,其中,.,此时称 服从参数为,n,p,的,二项分布,，记作,显然，当,n=1,时，服从,0-1,分布，即,0-1,分布实际上是二项分布的特例,.,在相同的条件下,对同一试验重复进行,n,次,如果每次试验的结果互不影响,则称这,n,次重复试验为,n,次独立试验,.,n,次独立的伯努里试验称为,n,重伯努里试验,.,在,n,重伯努里试验中，令 表示事件,A,发生的次数，则,即 服从参数为,n,p,的二项分布,.,二项分布是一种常用分布,.,（,3,）泊松分布,二项分布与泊松分布之间的联系,2.,连续型随机变量的分布（,1,）均匀分布,（,2,）指数分布,（,3,）正态分布,正态曲线,f(x),x,0,特点：,(1),曲线关于 对称,(2),当 时，取到最大值,(3),参数 决定正态曲线的形状，较大曲线扁平，较小曲线狭高,.,特别地，当 时，称随机变量 服从,标准正态分布,.,记作,其密度函数为,其分布函数为,标准正态分布密度函数图像,图形关于 轴对称，且在 取得最大值,标准正态分布函数 的性质,(1),(2),0,原则,返回,8.3.5,随机变量的函数与分布,1,随机变量的函数概念,2,随机变量的函数分布,返回,8.4,随机变量的数字特征,8.4.1,数学期望和方差的概念,8.4.2,数学期望和方差的性质,1.,数学期望的性质,2.,方差的性质,8.4.3,随机变量的其他常用数字特征,8.4.1,数学期望和方差的概念,返回,8.4.2,数学期望和方差的性质,2.,方差的性质,返回,8.4.3,随机变量的其他常用数字特征,返回,8.5,统计量与统计特征数,8.5.1,总体和样本,8.5.2,统计量,8.5.3,统计特征数,1.,样本矩,2.,中位数,3.,样本极差,4.,标准差系数,8.5.4,统计量的分布,1.,单总体统计量分布定理,2.,双总体统计量分布定理,3.,极限定理,8.5.1,总体和样本,返回,8.5.2,统计量,返回,8.5.3,统计特征数,返回,8.5.4,统计量的分布,1.,单总体统计量分布定理,返回,8.6,参数估计,8.6.1,参数的点估计,1.,点估计的概念,2.,几个常见参数的点估计量,8.6.2,参数的区间估计,1.,置信区间的概念,2.,单正态总体置信区间的确定,3.,双正态总体置信区间的确定,结论,返回,返回,8.7,假设检验,8.7.1,假设检验问题的提出,8.7.2,假设检验的程序,8.7.3,单正态总体期望和方差的检验,8.7.4,大样本场合下概率的假设检验,8.7.5,双正态总体期望和方差的检验,1.,检验期望,2.,检验方差,8.7.6,假设检验的两类错误,返回,返回,返回,返回,返回,返回,8.8,一元线性回归分析与相关分析,8.8.1,一元线性回归分析,1.,建立一元线性回归方程,2.,未知参数 的估计,8.8.2,一元线性回归的相关性检验,8.8.3,预测与控制,1.,预测,2.,控制,返回,返回,