考试科目数学分析与高等代数.doc

考试科目：数学分析与高等代数
适用专业：课程与教学论(数学教育)
一、 复习要求
要求考生熟练掌握《数学分析》、《高等代数》的基本概念，基本理论，基本方法和技巧并能熟练地运用它们求解和证明有关命题。
二、 主要复习内容
　分析部分
本课程考核内容包括实数理论和连续函数、一元微积分学、级数、多元微积分学。
1、实数理论和连续函数
（1）熟练掌握数列极限的“ ”定义。
（2）掌握收敛数列的性质。
（3）掌握数列收敛的判别条件（单调有界原理、迫敛性定理、柯西准则等）。
（4）熟练掌握“ ”等语言，熟悉各种类型的函数极限，掌握函数极限的性质。
（5）掌握函数极限存在的条件（归结原则，柯西准则，左、右极限、单调有界等）。
（6）熟练应用两个重要极限。
（7）熟练掌握无穷小量、无穷大量的定义和性质，熟悉等价无穷小、同阶无穷小、高阶无穷小及其性质。
（8）掌握函数在某点连续的定义，区间上连续函数和一致连续函数的性质。
2、一元微积分学
（1）熟练掌握导数的定义、几何意义，物理意义。
（2）熟练掌握求导法则和求导公式。
（3）掌握微分的概念，并会用微分进行近似计算。
（4）掌握理解连续、可导、可微之间的关系。
（5）掌握微分中值定理及其应用。
（6）会用洛必达法则求极限。
（7）熟练掌握单调区间、极值、最值的求法。并能证明相关命题。
（8）熟练掌握曲线的凹凸性及拐点的求法，并掌握凸函数及性质。
（9）掌握原函数与不定积分的概念。
（10）记住基本积分公式，熟练掌握换元法、分部积分法。
（11）知道有理函数的积分步骤，会求可化为有理函数的积分。
（12）掌握定积分定义和性质，知道可积条件和可积类。
（13）深刻理解微积分基本定理，并会熟练应用。
（14）熟练计算定积分，掌握广义积分收敛定义及判别法，会计算广义积分。
（15）熟练掌握平面图形面积的计算，会求旋转体或已知截面面积的体积。
（16）会利用定积分求孤长、旋转体的侧面积。
（17）会用微元法求解某些物理问题（压力、变力功、静力矩、重心等）。
3、级数
（1）熟练掌握级数收敛和发散的定义、性质和判别法。
（2）熟练掌握条件收敛、绝对收敛及莱布尼兹定理。
（3）掌握函数列、函数项级数一致收敛的判别法，知道函数列的极限函数和函数项级数的和函数性质。
（4） 熟练掌握幂级数收敛域、收敛半径以及和函数的求法，知道幂级数的若干性质。
（5）熟练掌握函数的幂级数展开的方法，会用间接法求函数的幂级数展式。
4、多元微积分学
（1）了解平面点集的若干概念，掌握二元函数、二重极限的定义、性质。
（2）掌握二次极限、二重极限与二次极限的关系。
（3）掌握二元连续函数的定义、性质
（4）熟练掌握全微分和偏导数的几何意义
（5）掌握二元函数连续、偏导数连续、可微、可导之间的关系。
（6）会计算偏导数和全微分，会求空间曲面的切平面、法线。
（7）会求函数的方向导数与梯度，会求二元函数的泰勒展式、无条件极值、条件极值。
（8）会求空间曲线的切线与法平面，会求空间曲面的切平面与法线。
（9）知道二重积分、三重积分定义与性质。
（10）掌握二重积分的换序和变量代换。
（11）了解三重积分的换序，会用球、柱、广义球坐标变换计算三重积分。
（12）掌握含参量正常积分的定义及性质。
（13）知道重积分应用，会求曲面面积，转动惯量，重心坐标等。
（14）掌握会用积分号下求导、积分号下做积分方法计算一些定积分（广义积分）。
（15）熟练掌握第一、二型曲线、曲面积分的计算。
（16）知道曲线积分，两种曲面积分关系。
（17）熟练掌握格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，掌握积分与路径无关的条件。

高等代数部分
本课程考核内容包括：一元多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵理论、二次型理论、线性空间、线性变换和欧几里德空间这八大部分，这些内容在参考书目中都有相应的章节，掌握的深浅程度也与参考书目所给的要求相仿。以下具体给出各大部分复习的要点。
1. 多项式理论
多项式的整除，最大公因式，多项式的互素，不可约多项式与因式分解，实系数多项式的因式分解，重因式、重根和有理系数多项式的有理根的判别，多项式函数与多项式的根。
重点：重要定理与结论的证明，如：多项式的整除性质，艾森斯坦(Eisenstein)判别法，不可约多项式的性质，整系数多项式的因式分解定理等。运用多项式理论证明有关问题，如：与多项式的互素、不可约多项式的性质有关问题的证明和应用，以及利用多项函数的方法来证明一些相关的问题。
2.行列式
行列式的定义、性质和常用计算方法（如：三角形法、加边法、降阶法、递推法、按一行一列展开法、拉普拉斯(Laplace)展开法、范德蒙德(Vandermonde)行列式法）。
重点：n阶行列式的计算。
3.线性方程组
向量组线性相(无)关的判别(相应齐次线性方程组有无非零解、性质判别法、行列式判别法、矩阵秩判别法)。向量组的极大线性无关组与秩的概念相关性质，以及应用这些性质证题。定理2以及三个推论、矩阵的秩(行秩和列秩、矩阵秩的行列式判别法、矩阵秩的计算)、克拉默(Cramer)法则，线性方程组解有(无)解的判别定理、齐次线性方程组有非零解条件(用系数矩阵的秩进行判别、用行列式判别、用方程个数判别)、基础解系的概念及其性质、齐次线性方程组通解的求法，非齐次线性方程组的解法和解的结构。
重点：向量组线性相(无)关的判别、向量组之间秩与矩阵的秩、齐次线性方程组有非零解条件及基础解系的性质、非齐次线性方程组解的结构与其导出组的基础解系的性质、求解线性方程组。
4.矩阵理论
矩阵的运算，矩阵的初等变换与初等矩阵的及其应用(求解线性方程组、求逆矩阵、求向量组的秩)、矩阵的等价标准形、矩阵可逆的条件(与行列式的关系、与矩阵秩的关系、与初等矩阵的关系)、伴随矩阵及其性质、分块矩阵(包括矩阵乘法的常用分块方法并证明与矩阵相关的问题)、矩阵的常用分解，如：等价分解，满秩分解，实可逆阵的正交三角分解，Jordan分解、几种特殊矩阵的常用性质，如：准对角阵，对称阵与反对称阵，伴随矩阵、幂等阵，幂零阵，对合阵，正交阵等。
重点：矩阵的初等变换与矩阵乘法之间的关系，矩阵的运算、矩阵的逆与伴随矩阵的性质与求法，证明有关矩阵秩的等式与不等式，矩阵的等价和求矩阵在初等变换之下的标准形。
5.二次型理论
化二次型为标准形和规范形，实二次型在合同变换之下的规范型以及在正交变换之下的特征值标准型(正交变换与特征值标准形的相关内容在欧几里空间一章中)、惯性定律，实二次型正定、半正定矩阵的等价条件、正定矩阵的一些重要结论及其应用、矩阵的合同与n级方阵按合同关系的分类问题。
重点：正定和半正定矩阵的有关证明，实二次型在合同变换之下的规范型以及在正交变换之下的特征值标准型。
6.线性空间
线性空间、子空间的定义及性质、求线性空间中一个向量组的秩、求线性(子)空间的基与维数的方法、基扩充定理，维数公式，基变换与坐标变换，生成子空间，子空间直和，一些常见的子空间(线性方程组解的解空间、矩阵空间、多项式空间、函数空间、线性变换的特征子空间和不变子空间)。
重点：向量组的线性相关与线性无关的综合证明，求线性(子)空间的基与维数的方法，维数公式的证明及应用，特别是子空间直和的有关证明。
7.线性变换
线性变换的定义、运算、线性变换的矩阵、线性变换与n阶矩阵的对应定理，矩阵的特征多项式(包括最小多项式)及其有关性质，求线性变换和矩阵的特征值、特征向量，线性无关特征向量的判别和最大个数，实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，特征子空间、不变子空间、核与值域的一些相关定理。线性变换(包括矩阵)可对角化的条件(特征向量判别法，最小多项式判别法)，哈密顿-凯莱(Hamilton-Caylay)定理，
重点：求线性变换的矩阵、线性变换的特征值和特征向量，线性变换(包括矩阵)的对角化，线性变换(矩阵)的特征值以及特征向量的性质，并利用这些性质证明相关的题，线性变换的核与值域，不变子空间的直和分解。
8.欧几里德空间
内积和欧氏空间的定义及简单性质(柯西-布涅可夫斯基不等式，三角不等式，勾股定理等)。度量矩阵与标准正交基的求法以及性质的证明和应用，正交变换(正交矩阵)的等价条件，对称变换，求正交矩阵T，使实对称矩阵A正交相似于对角矩阵。
重点：欧氏空间的概念，标准正交基，正交变换和对称变换，

四、参考书目：
1、《数学分析》（上、下册），陈传璋等编，（任意版本），高等教育出版社。
2、《数学分析》（上、下册），陈纪修等编，（任意版本），高等教育出版社。
3、《数学分析》（上、下册），华东师大编，（任意版本），高等教育出版社。
4、《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，，北京：高等教育出版社，1988，第三版．不考内容：第一章中的第10节(多元多项式)、第11节(对称多项式)；第三章中的第七节(二元高次方程组)，第八章λ-矩阵(全部)；第九章中的第七(向量到子空间的距离·最小二乘法)、第八节(酉空间)；第十章双线性函数与辛空间(全部)。