空间几何专题完全解析.doc

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（空间几何专题）
第一部分：综述

本册空间立体几何阐述了空间几何中最简明的基础知识，
主要学习的内容有：
² 空间直线、平面及其相互位置关系的简单定义、基
本公理和最初定理
² 讨论简单几何体（多面体和旋转体）的度量问题和
几何性质
² 用平面图形来表示（画出）空间图形（斜二侧作图）

通过本章的教学，让学生能构建简单的空间知识体系，
培养一定的空间想象能力，发展初步的逻辑思维能力（初中
平面几何知识的缺省使得逻辑推理能力的形成在本章中尤为
关键），形成用空间几何的相关知识来分析问题和解决问题的
能力。这些在版的课程标准中都已明确指出。
附件：版上海市中小学课程教学标准
第章
学习主题
归纳平面的基本概念和平面的基本性质，并把平行线的传递性推广到空间，建立空间几何的基础；通过画几何体的直观图及简单的截面、运用平面的基本性质进行说理、研究异面直线、证明等角定理等，发展空间观念和演绎推理能力。
在直观认识空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系的基础上，对这些位置关系进行概括，形成定义；学习用不同的数学语言表述这些位置关系，为运用向量方法研究线面关系打好基础。
空间图形
学习内容
学习要求及活动建议
平面及其表示方法
1、通过实例描述平面的概念。会用平行四边形表示平面以及用字母表示平面。体验从现实世界中抽象出空间形式的过程。
2、在观察、实验的基础上归纳平面的基本性质；通过用基本性质解释实际事例和证明有关推论，加深对基本性质的理解。会用文字语言、图形语言、集合语言表述平面的基本性质，并会用于进行简单的推理论证；掌握确定平面的方法。
3、知道平行投影原理，会用“斜二侧”方法画简单的几何体（长方体、棱锥、棱台）以及长方体的截面等。掌握画空间图形的基本技能，培养空间想象能力。
4、通过观察和实验，归纳出空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系。认识空间的镜面对称及其基本性质。会用文字语言、图形语言、符号语言、集合语言表示这些位置关系；会用反证法证明两条直线是异面直线。
5、把平行线的传递性、等角定理等由平面推广到空间，并对等角定理进行证明。进行空间几何的奠基，发展空间观念，通过用演绎法对有关问题进行证明和推算的过程，发展演绎推理能力。
6、引入异面直线所成角的概念，会求简单情形下的异面直线所成的角。
平面的基本性质
几何体的直观图
空间直线与平面的位置关系
说明
1、画长方体的截面限于简单的情形，指截平面过已知不共线的，位于棱上的三点，且仅以平面的基本性质为画图依据。
2、关于直线与平面的位置关系的判定定理与性质定理不作要求。采用类比方法，将平面上的轴对称推广到空间，通过实例了解镜面对称的概念与性质。
3、主要在平面基本性质的推论、等角定理、两条异面直线的证明过程中，学习演绎法在空间几何中的运用，在其他情况下不作教学要求。
第二部分：详解

【第章】 空间直线与平面

平面及其基本性质

² 平面的概念和平面的基本性质是研究空间图形位置关系
和数量关系的基础，需要通过具体事物的客观对象，抽象
出“平面”这一概念。

² 图形语言是数学语言的重要组成部分，是帮助学生理解
空间几何图形性质，培养空间想象能力的重要环节，平
面的图形表示是走出的第一步。

² 符号语言也是数学语言的组成部分，是顺利、简捷地进行
逻辑推理的工具，空间几何往往采用集合符号来表示其相
互关系，要学会符号语言、图形语言、几何语言熟练转换。

² 公理一揭示了直线与平面的基本性质，要求用三种语言分别
加以阐述，具体分析例1，培养逻辑推理能力。
（直线在平面上与直线在平面内）

² 公理二揭示了两个平面相交的基本性质，借助作图练习帮助
说理分析指导学生使用公理（突出图象虚实）。

² 公理三及其三个推论即是确定平面的条件，是今后把空间有
关的点、直线归结到一个平面内讨论的依据，又是训练思维
能力的绝佳材料。

空间直线与直线的位置关系

² 公理四是平行公理，可利用实物模型引导，建议学生做
有心人，收集整理平面几何与空间几何中都成立或不都
成立的具体事例，可作为拓展知识教学。（两条直线平行）

² 定理一是等角定理，平面几何中证明两个角相等的思路通常
是把欲证的两个角分别看成是两个三角形的对应角，通过证
明这两个三角形全等达到证明这两个角相等的目的。在此基
础上可启发学生用类比的思想方法来证明。而且该定理是异
面直线成角计算的理论基础。（两条直线平行，相交）
（习题册第题为针对练习，可讨论）

附件：如图在正方体中，
分别是正方形和正方
形的对角线的交点，
求证：

² 引出两条直线异面的定义，学会判断和证明。反证法是证明
两条直线异面的一种基本方法，它在高中数学教学过程中多
次出现，要引导学生对这个重要证题方法的步骤的正确认识，
学生往往学不好。

² 空间两条异面直线所成角的计算，应根据异面直线所成角
的定义，用“转化”的思想方法把它归结为平面内两条直
线所成角的计算。
（练习册第题，是应该先讲长方体三度平方和的概念
还是先讲线面垂直线线垂直的性质。因此引申讨论该教到
怎么样的程度）
附件：在正方体中，分别为、的中点，
⑴求直线与所成角的大小；
⑵求直线与所成角的大小.

空间直线与平面的位置关系

² 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，教材
定理二其实是线面垂直的判定定理，它将直线与平面垂直
的判定转化为直线与直线的判定，定理本身的证明要求从
略，建议线面垂直的性质定理妨教材可作介绍（无须证明）。
（习题册第题，第题涉及该定理）

附件：
1、“直线垂直于平面内的无数条直线”是“”
的 条件.（填“充分”或“必要”或
“充要”或“非充分非必要”）
2、在空间四边形中，
，，
求证：

² 由垂直条件出发教材给出了一系列的定义：点面距离，线面
距离、面面距离、异面直线的（公垂线）距离等一系列度量
关系，例题很简单，分寸难把握。

² 教材给出：斜线、射影等基本定义，引出用直线与平面所成
的角来刻画直线与平面的度量关系，类比异面直线所成角的
方法将问题转化为平面内相交直线所成角。

² 教材例题以面面平行性质、线面平行性质为载体（例、
例），分析空间直线与平面的平行位置关系，建议用“面面平行，线线平行”等精练语言表述，同时视学生情况考虑判定定理是否予以介绍。（习题册第题，尽管与原先适用本做了一定修改，但两两相交或两两平行位置关系的说明对学生来说有难度。）

附件：如果三个平面两两相交于三条直线，请指出这三条直线
的位置关系，并说明理由.

² 三垂线定理教材不作证明，但在具体使用中（如习题册
第题，第题），都采用迂回形式解题，建议教学过程中视学生情况加以简单介绍.

附件：
2、已知二面角为，
是面内一点，点到面
的距离为，求点在面内
的射影到的距离.

12、在中，两直角边的长分别为、，垂直于平面，，求点到斜边的距离.

² 射影长定理的分析在教材中也没有出现，可借助于习题册
第题中相关内容作些合理补充，为多面体中正棱锥的
性质作些铺垫。

附件：填空
已知，点是平面外一点，点是
点在平面上的射影，且点在内.
⑴若点到的三个顶点的距离都相等，
则点一定是的 心.
⑵若点到的三边所在直线的距离相等，
则点一定是的 心.

空间平面与平面的位置关系
（本节研究的主要内容似乎还是数量关系，
或者说把位置关系进行了量化）

² 二面角的平面角的定义实质上是实现将“空间两个相交
平面所成的角”转化为“两条相交直线的夹角”这一过程。

² 从二面角的平面角定义出发可知，它包含三个条件：
⑴二面角的棱上任意一点；
⑵经过该点分别在两个面内引射线；
⑶所引射线都垂直于棱；

² 新教材中出现的二面角的平面角基本从定义入手分析，
而淡化了最常规的三垂线法求二面角的平面角。本节
内容在拓展部分将以空间向量形式呈现.

回顾本章，出现的度量关系为三类角的求法和相关距离的
分析，出现的位置关系的判断与证明明显比之前的课改教材有
所加强，比如在第章的习题部分共有页，而其中涉及到计
算的仅有题，其余均为位置关系分析、判断与证明。通过
练习，逐步培养自己的演绎推理能力。

第十五章 简 单 几 何 体

【第一部分】 教学大纲分析
第章
学习主题
学习柱、锥、球等简单几何体的概念、性质以及有关度量计算，发展数学抽象和概括能力、空间想象能力；在研究简单几何体的过程中，加深对平面基本性质和空间线面关系的认识，体会基本的数学思想和方法。
简单几何体的研究
学习内容
学习要求及活动建议

柱体

1、通过实物、模型和多媒体直观认识棱柱、棱锥，通过观察、抽象和说理，学习和掌握棱柱、棱锥的有关概念以及直棱柱、正棱锥的有关性质；利用图形的旋转展示圆柱、圆锥和球的生成过程，认识圆柱、圆锥和球等图形的基本特征，增强观察、归纳能力。
2、经历柱体和锥体的表面积、体积计算公式的获得过程，体会化“曲”为“直”、祖暅原理和图形割补等思想方法，会解决柱体和锥体的表面积、体积的计算问题。
3、类比关于圆的研究，对球及有关截面的性质深入探讨；知道球的表面积和体积的计算公式，并会用于进行有关的度量计算；知道球面距离和经度、纬度等概念，进一步认识数学与实际的联系。

锥体

球
说明
可借助计算机辅助画图分析相关问题

【第二部分】 教学目标设定

1、理解棱柱和棱锥的概念和性质.
2、掌握画多面体的直观图的方法.
3、掌握柱体和锥体的侧面积、表面积和体积公式，并能运用公式进行有关计算.
4、理解球的概念，掌握球的表面积和体积公式并能运用公式进行有关计算.
5、理解球面距离的概念，会求球面上两点之间的距离.

【第三部分】 章节详述和配套练习

多面体的概念（建议二课时）

² 多面体的学习是空间直线与平面的位置关系和数量关系学习的具体化。通过本章的学习，目的能将空间的直线与平面的有关结论运用到实际问题中，以进一步培养学生的空间想象能力，解决实际问题的能力。

² 多面体的概念：由一些平面多边形所围成的封闭体叫多面体。明确多面体的面、棱、顶点定义。

简单分析：
①最简单的多面体是四面体，四面体是立体几何中最基本的图形，它可以从一个多面体中割裂出来，也可以补成一个相关的多面体.
②多面体的有关性质的讨论不要脱离棱柱、棱锥的概念和性质，应该以它们为基础去认识多面体，讨论多面体的特点和性质.

² 棱柱的概念和性质：
⑴棱柱定义（借助具体实物的客观形象，形成对棱柱概念的正确认识），明确：底面、侧面、侧棱和高的含义.
⑵棱柱性质，审视棱柱的两个本质特征（一是有两个面互相平行，二是其余各面中每相邻两面的棱互相平行）的思考，有助于提高学生对概念的理解。
⑶专有名词：理解平行六面体、直棱柱、长方体、正方体、正棱柱等特殊棱柱。

简单分析：
1、对于棱柱概念的理解，学生可借助右图加以区别与分析.
2、棱柱的分类：
从侧棱与底面的关系可分为斜棱柱、直棱柱（正棱柱），
从底面多边形的边数可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等.
3、棱柱性质总结：
①侧棱都相等，侧面是平行四边形；
②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
③直棱柱的侧面都是矩形，侧棱和高相等；
④正棱柱的侧面都是全等的矩形；
⑤长方体的对角线长的平方等于它的一个顶点上的三条棱的长的平方和.

针对练习：
1、给出以下结论：
①多面体是连接它们的棱组成的图形；
②多面体是由它的各个面组成的图形；
③多面体是由各个平面多边形围成的封闭的几何体；
④对面体中相邻多边形（或三角形）的公共边称为多面体的棱；
其中正确的结论为—————————————（）
①②②③③④①④

2、下面命题中不正确的是———————————（）
有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱
棱柱至少有五个面
正方体是棱柱，长方体也是棱柱
底面是矩形的棱柱不一定是长方体

3、直三棱柱中，，且，分别为的中点，则与所成角的余弦值是；
4、已知长方体相邻三个面的面对角线长分别为，则其对角线长为；

² 棱锥的概念和性质：
⑴棱锥定义（借助具体实物的客观形象，形成对棱锥概念的正确认识），明确侧面、侧棱、顶点，棱锥的高的含义
⑵棱锥性质，从各个不同视角审视棱锥的两个本质特征（一是有一个面是多边形，二是其余各个面都是有一个公共顶点的三角形），有助与学生得棱锥概念的理解。
⑶专有名词：正棱锥（正四面体），正棱锥的斜高.

简单分析：
1、对于棱锥概念的理解，学生可借助右图
加以区别与分析.
2、棱锥性质总结：
（如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截）
①侧棱和高被这个平面分成比例线段；
②截面和底面是相似多边形；
③截面面积和底面面积之比等于顶点到截面与顶点到底面的距离的平方之比.
3、正棱锥性质总结：
①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；
②正棱锥的斜高（顶点到底面边上的高）都相等；
③两个重要直角三角形：正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱与侧棱在底面上的射影组成一个直角三角形.

针对练习：
1、有以下三个命题：
①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
②有一个面是凸多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的几何体是棱锥；
③有一个面是多边形，其余各面都是三角形（而这些三角形可分成两部分，它们分别有公共的顶点）的几何体是棱锥；
其中真命题有———————————————（）

2、一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为，则此棱锥的侧棱被分成上下两部分之比为（）

3、已知三棱锥的侧棱都相等，则高通过底面三角形的外心；若侧面和底面所成的角都相等，则高通过底面三角形的内心；三条侧棱两两互相垂直条件下，高通过底面三角形的垂心.
4、正六棱锥的底面周长为，侧面与底面所成的角是，则棱锥的高是；斜高是；侧棱长为；侧棱与底面所成角的正切值为；

多面体的直观图

² 画直观图是本节重要内容，这部分的学习是使学生能正确进行空间图形有关推理和计算的不可缺少的环节，也是进一步发展空间想象能力的基础。（为文科三视图打好一定基础）

简单分析：
1、直观图：把空间图形在平面内画的即富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置和数量关系的图形.
2、作图规则：规定如图所示的位置和夹角作三条轴分别表示铅垂方向、左右方向以及前后方向的轴，并依次把它们叫做轴、轴和轴，同时规定轴和轴方向上的线段长度与其表示的真实长度相等，而在轴方向上，线段的长度为其表示的真实长度的一半.
3、作多面体的直观图，先作底面多边形水平放置的直观图，关注所作图形与轴、轴和轴方向上平行的性质不变。

针对练习：
如图是四边形的水平放置的直观图，
试还原成四边形.

² 利用直观图分析交点、交线与截面的作图。画长方体的截面仅限于简单的情形，指截平面过已知不共线的，位于棱上的三点，且仅以平面的基本性质为画图依据。

针对练习：
在正方体中，
⑴点在棱上，画出直线与底面的交线；
⑵画出平面与平面的交线；
⑶画出过棱上中点的截面.

旋转体的概念

² 旋转体的概念引入，有关旋转题的问题常常将问题转化为关于轴截面的平面几何问题加以讨论。

² 圆柱定义介绍，知道轴、底面、侧面、母线、高的定义，了解母线的相关性质。（圆柱有无数条母线，且所有母线都与轴平行）

² 圆锥定义介绍，知道轴、顶点、底面、高、母线的定义，了解母线的相关性质。（圆锥有无数条母线，且所有母线相交于圆锥的顶点，每条母线与轴的夹角都相同）

² 球定义介绍，知道球面、球心、球的半径和直径以及大圆小圆的定义。

几何体的表面积

² 直棱柱与圆柱的侧面积与表面积公式的推导体现了转化思想，将空间对象转化为平面对象进行分析，知道什么是侧面展开图。

² 正棱锥与圆锥的侧面积与表面积公式的推导同样体现了转化思想，同时学会结合实际问题分析。

² 介绍球的表面积公式

几何体的体积

² 祖暅原理给出了两个几何体体积相等的条件，这部分内容是进行爱国主义教育的材料。

² 柱体体积的公式推导，体现了问题的转化思想。
基本步骤如下：
⑴将底面积为，高为的棱柱以及与之等底等高的长方体夹在两个平行平面内；
⑵由棱柱的性质用与所夹两个平面平行的平面去截棱柱与长方体，所得截面面积相等；
⑶根据祖暅原理，棱柱的体积等于长方体的体积，即。

² 锥体体积的公式推导，也体现了问题的转化思想，推导分三个环节：
⑴等底等高的两个锥体，它们的体积相等；
⑵和一个三棱锥等底等高的任何锥体与这个三棱锥体积相等；
⑶一个三棱锥的体积等于和它等底等高的棱柱的体积的。

² 球的体积的简单介绍

针对练习：
湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出（冰不破碎），冰上留下一个面直径为，深为的空穴，则这个球的半径为；

球面距离（建议二课时）

² 经线是地球表面上从北极到南极的半个大圆，在地球上均匀分布着许多经线，其中，经过英国格林威治天文台的经线规定为经线，从它向东称为东经，往西称为西经。

² 平行于赤道平面的球的小圆称为纬线圈，以赤道为纬线，向南称为南纬，向北称为北纬。

² 某地的经度是一个二面角的度数，即经过该地的经线所在半圆面与经线所在半圆面所成的二面角的度数。某地的纬度是一个线面角的度数，即该地与球心的连线与赤道平面所成的角。

² 在球面上，两点间的最短距离称为球面距离。过球面上任意两点，都可以作出球的大圆，而两点间的球面距离即为经过球面上两点的大圆的劣弧的长。求两点间距离的关键在于求出过这两点的球的半径的夹角。

针对练习：
1、已知球面上两点的球面距离为，过这两点的球半径成角，则球的半径为——（）

2、把地球看作半径为的球，地球上的两点都在北纬圈上，它们的球面距离为，若点在东经处，求点的位置.
参考解答：点的位置应在东经处或西经处

第三部分：对照

【关于旋转体】
（年湖北秋季卷理科第题）
用与球心距离为的平面去截球，所得的截面面积为，
则球的体积为——————————————————（ ）

分析：设球的半径为，截面圆的半径为，则，
解得，又因为，所以，因此，球的
体积为，故选.

（年高考全国卷理科第题）
已知球的半径为，相互垂直的两个平面分别截球面得到
了两个圆，若两圆的公共弦长为，则两圆的圆心距等于（ ）

分析：设两圆的圆心分别为、，球心为，公共弦为，
其中点为，则为矩形，于是对角线，而，所以，因此选.

（年宁夏、海南卷理科第题）
一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面，若该六棱柱
的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长
为，则这个球的体积为 .
分析：设正六边形的底边长为，球的直径为，棱柱的高为，
由已知，，因为，所以，即，故.

（年浙江卷理科第题）
如图，是半径为的球心，点在球面上，
两两垂直，分别是大圆弧与
的中点，则点在该球面上的球面距离是 ( )

分析：B
（年安徽卷理科第题）
表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，
则此球的体积为——————————————————（ ）

分析：此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，
所以由知，，则此球的直径为，故选.

【三类角问题】

（年上海春考卷第题）
如图，在棱长为的正方体中，
分别是和的中点，求异面直线
与所成角的大小(结果用反三角函数值表示）.

[解法一] 如图建立空间直角坐标系.
由题意知.
.
设直线与所成角为，则
.
，
即异面直线与所成角的大小为.
[解法二] 连接， ，且，
是平行四边形，则，
异面直线与所成的角就是与所成的角.
由平面，得.
在△中，，则， 异面直线与所成角的大小为.

（年上海秋考卷理科第题）
如图，在体积为的直三棱柱中，
，，求直线与平面
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

[解法一]
由题意，可得，
所以，连接，因为，，所以平面，因此是直线与平面所成角.
，则，所以，
即直线与平面所成角的大小为.
[解法二] 由题意，可得体积，所以，以为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系.得点，，，则，平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，与的夹角为，则，所以，即，
所以直线与平面所成角的大小为.

（年上海秋考卷理科第题）
如图，在棱长为的正方体中，
是的中点，求直线与平面所成
角的大小(结果用反三角函数值表示）.

[解]过作，交于，连接.
因为平面，所以是直线与平面所成角.由题意，，又因为，所以，又因为，因此.故所求直线与平面所成角的大小为.
（年四川卷理科第题）
如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，
⑴求证：面；
⑵求二面角的大小。
⑶求三棱锥的体积。

[解法一]
⑴证明：取中点，连结∵分别为中点 ∵ ∴面，面
∴面面 ∴面
⑵设为的中点∵为的中点∴ ∴面
作，交于，连结，则由三垂线定理得
从而为二面角的平面角。
在中，，从而
在中，，
故二面角的大小为.
⑶
作，交于，由面得
∴面
∴在中，
∴.
[解法二]以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则

∵分别是的中点
∴
⑴，取，则面，∴ 又面 ∴面
⑵过作，交于，取的中点，则
∵设，则，又
由，及在直线上，可得:
解得
∴ ∴ 即
∴与所夹的角等于二面角的大小，不妨设为，，因此二面角的大小为
⑶设为平面的法向量，则
又
∴ 即 ∴可取
∴点到平面的距离为
∵，
∴
∴

【空间几何能力题】

（年安徽卷理科第题）
多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为
相邻的，如图，正方体的一个顶点在平
面内，其余顶点在的同侧，正方体上
与顶点相邻的三个顶点到的距离分别
为，和，是正方体的其余四个顶点
中一个，则点到平面的距离可能是：
①；②；③；④；⑤以上结论正确的为：①③④⑤
分析：如图，到平面的距离分别为，则的中点到平面的距离为，所以到平面的距离为；的中点到平面的距离为，所以到平面的距离为；则的中点到平面的距离为，所以到平的距离为；的中点到平面的距离为，所以到平面的距离为。而点为中的一点，所以选①③④⑤.

（年江苏卷理科第题）
两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，
可放在棱长为的正方体内，使正四棱锥的
底面与正方体的某一个平面平行，且
各顶点均在正方体的面上，则这样的几何
体体积的可能值有———————（ ）
个个个无穷多个
分析：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个本题可拓展，通过计算，显然两个正四棱锥的高均为，考查放入正方体后，面所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是，所以该几何体的体积取值范围是，本题主要考查学生能否迅速构造出一些常见的几何模型，并不是以计算为主.

【立体几何与其他数学知识的交汇点】

（与解析几何的结合）
（年浙江秋季卷理科第题）
如图，是平面的斜线段，为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹是—（ ）
圆椭圆一条直线两条平行直线
分析：先考虑的面积为定值时动点的
轨迹为以为轴心的圆柱面，再用一个平面
去截得的轨迹为椭圆，因此选。

（与函数的结合）
（年北京秋季卷理科第题）
如图，动点在正方体的
对角线上，过点作垂直于平面
的直线，与正方体表面相交于，，设，，则函数的图象
大致是————————————（ ）

分析：设分别是，的中点，则.另外可证，所以四边形是菱形.因为，，所以平面，又因为，所以平面.由于，所以.因为，平面，且轨迹为折线，轨迹为折线.设正方体棱长为，
当，即时，，；
当，即时，，同理可得，
即，因此图象选择.

（与不等式结合）
（年上海秋考卷理科第题）
有两个相同的直三棱柱，高为，底面
三角形的三边长分别为，
用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有
可能情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是 ；
分析：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种可能情况：四棱柱有一种；边长为的边重合在一起，表面积为；三棱柱有两种；边长为的边重合在一起，表面积为；边长为的边重合在一起，表面积为；两个相同的直三棱柱竖直放在一起有一种情况：表面积为。最小的是一个四棱柱，这说明，因此.

教育观念、教学方式的转变，最终都要落实到学生学习方式的转变上。转变学习方式，不是用一种新的学习方式去代替原来的学习方式，而是要改变单纯接受性学习的状况，采用接受学习与探究学习、合作学习、体验学习等多样化的方式进行学习，使学生获得多种学习机会和体验。学生通过学习方式由单一到多样的转变，在学习活动中不断增强自主性、探索性、合作性，促使学生不仅成为学习和教育的主人，而且逐步成为生活的主人，成为独立的、积极参与社会的有责任感的人。这对于促进学生的发展具有战略性意义，对于培养学生终身学习的愿望和能力具有现实性意义。

【第四部分】 本章测试

一、填空题
1、将正方体沿作截面所得的七面体有个顶点.
2、若长方体的表面积为，所有棱的总长度为，则对角线的长度为；
3、若圆锥的母线长为底面半径的倍，则圆锥的母线与底面所成的角为.
4、已知一个圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面）是边长为的正方形，则这个圆柱的侧面积为.
5、在正三棱锥中，若侧棱与底面边长都为，则以各侧面中心为顶点的三角形面积等于；
6、三棱锥的底面和三个侧面中直角三角形最多可以有个；
7、有下列五个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长都相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④将直角三角形（及其内部）绕其一条直角边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥；
⑤经过球面上不同的两点只能作一个大圆；
其中正确的命题为④.
8、已知正方体的棱长为，为棱上的中点，一只蚂蚁从沿着正方体表面爬行到顶点，所走的最短距离为.

二、选择题
9、一平面截一球得到直径是的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是——（）

10、正方体的棱长为，以它的上底面中心和下底面各边中点为顶点的四棱锥的侧面积是———（）

11、我们把由棱锥的顶点和棱锥底面上的对角线构成的截面称棱锥的对角面，若一个棱锥共有个对角面，则该棱锥为—（）
五棱锥六棱锥七棱锥无法确定
三、解答题
12、画如图所示的水平放置的菱形的直观图.

13、一个正三棱锥的高和底面边长都为，求它的侧面积以及
侧棱和底面所成的角.
参考解答：
三棱锥的侧面积为，侧棱与底面所成的角为
（说明：求正三棱锥的侧面积时应关注由高、斜高、内切圆
半径构成的直角三角形，如本题中的直角；求侧棱
与底面所成的角应关注由高、侧棱、外接圆半径构成的直
角三角形，如本题中的直角. 特别地，对于正四面
体，若棱长为，则内切圆的半径为，外接圆半径为，高为，斜高为.)

14、设地球的半径为，是地球上两地，在北纬，东经，在北纬，东经，求两地的球面距离.
参考解答：两地的球面距离为
（说明：求球面距离的一般程序为：求线段的长，求的度数求大圆劣弧的长）

15、如图所示多面体是由底面为的长方体被
截面所截而得到的，其中，，
，，，
⑴求的长；
⑵求点到平面的距离；
⑶求此多面体的体积.
参考解答：
⑴，⑵点到平面的距离为，⑶多面体的体积为.
（说明：最后一问还可以通过分割成三棱锥的体积和的方法来求解. 对于不规则的多面体，一定要注意转化为我们熟悉的几何体，这样才能正确的找到思路.）

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