直线系和圆系公式及其应用.doc

直线系和圆系相关公式推导和例题
如何推导出过两直线交点的直线系方程
假设直线1与2的交点为（x1,x2）则直线1可化为（x-x1）/B1=(y-y1)/A1,直线2可化为：
（x-x1）/B2=(y-y1)/A2 那么B1/(x-x1)=A1/(y-y1), .......1
B2/(x-x1)=A2/(y-y1).......2 2式左右两边各乘以N得 NB2/(x-x1)=NA2/(y-y1).......3
2式+3式（左右两边），得B1/(x-x1)+NB2/(x-x1）=A1/(y-y1)+NA2/(y-y1)，整理得
(B1+NB2)/(x-x1）=(A1+NA2)/(y-y1),整理得：A1x+B1y+C1+N（A2X+B2Y+C2）=0
有谁能推导过直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F的交点的圆系方程? x²+y²+Dx+Ey+F+m(ax+by+c)=0
设P(x0,,y0,)是直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的的任意一个交点
则 Ax0+By0+C=0与圆x0²+y0²+Dx0+Ey0+F=0
从而 x0²+y0²+Dx0+Ey0+F+m(Ax0+By0+C)=0
即 p 是方程C x0²+y0²+Dx0+Ey0+F+m(Ax0+By0+C)=0
表示的曲线C上的点，
由于任意一个交点在曲线C上，所以，所有交点都在曲线C上
即曲线 C 经过直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的所有交点，或经过直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程为：
x²+y²+Dx+Ey+F+m(ax+by+c)=0

解：点P（x1,y1）
圆心为O（a,b）
则（x1-a）²+(y1-b)²=r²
直线OP的斜率为：k（OP）=(y1-b)/（x1-a）
切线的斜率为：k=1/k（OP)=（x1-a）/(y1-b)
切线方程为：y-y1=(x1-a）/(y1-b) ×(x-x1)
(y-y1)(y1-b) -(x1-a）(x-x1)=0
[ (y-b)+(b-y1)](y1-b)-[(x-a)+(a-x1)](x1-a)=0
(y-b)(y1-b)-(y1-b)²+(x-a)(x1-a)-（x1-a）²=0
(y-b)(y1-b)+(x-a)(x1-a)=（x1-a）²+(y1-b)²
即： (y-b)(y1-b)+(x-a)(x1-a)=r²
故证
过圆(x-a) ²+(y-b) ²=r²上点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=r²
过圆x²+y²+Dx+Ey+F=0上一点P(x0,,y0,)的切线方程为x0x+y0y+D[(X+X0)/2]+E[(Y0+Y)]+F=0
过圆外一点P(x0,y0)圆的切线切线长为√[(x0-a) ²+(y0-y) ²-r²}或√（x0²+y0²+Dx0+Ey0+F)
问题补充：
过圆x²+y²+Dx+Ey+F=0上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y+D[(X+X0)/2]+E[(Y0+Y)/2]+F=0

过两相交圆得交点的直线方程公式证明

过两圆交点的圆系方程
已知圆A： x²+y²+D1x+E1y+F1 =0与圆B：x²+y²+D2x+E2y+F2=0，
方程：x²+y²+D1x+E1y+F1+λ(x²+y²+D2x+E2y+F2)=0 …… ①,
当λ≠-1 时，方程①表示过圆A与圆B的交点的圆系的方程，当λ=0时，表示圆A，但不能表示圆B；当λ=-1 时，若圆A与圆B相交，方程①表示圆A与圆B的公共弦所在的直线方程，当圆A与圆B相切时，方程①表示圆A与圆B的公切线方程，当两圆相离时，方程①表示与两圆连心线垂直的方程，在解圆的有关问题，常常用到这一结论，可以起到事半功倍的效果。