B均为n阶对称矩阵.doc

第二章 矩阵

一. 填空题
1. = .
2. = .
3.
4. .
5. .
6. = .
7.
8. 已知 .
9. .
10. A、B均为n阶对称矩阵，AB仍为对称阵的充分必要条件是 .
11.
12.
13.设,,则
14.设A,B分别为m,n阶方阵,|A|=a,|B|=b,C=,则|C|=
15. 设为正整数,则
16.设为正整数,则
17.
18.
19.
20.设A为三阶方阵,|A|=2,则|2A-1|= , |AT|= ,|(AT)T|= ,|A-1-AT|= .
21.设则 (AT)-1=
22. 设A,B为3阶方阵,, .
23.设方阵A,B满足,,其中为A的伴随矩阵,则B= .

25. .
26.A为3´4矩阵，且A有一个3阶子式不等于0，则r(A)= .
27.设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵的秩为
28. .
29．设 .
30.设,则r(A)= .
二. 选择题
1.设A是m´n矩阵,B是s´m矩阵,则ATBT是( )矩阵.
(A) m´s (B) n´s (C) m´n (D)s´n.
2.设A是m´n矩阵,B是n´m维矩阵,C是n´n矩阵,则下列算式没有意义的是( ).
(A) AB (B) |AB| (C) A+C (D)CB.
3.( )
（A） （B） （C）0 （D）1.
4.矩阵的最简形是 ( )
（A）（B）（C）（D）.
5.（ ）.
（A）100 （B） （C） （D）3.
6.（ ）
（A）0 B） （C） （D）
7.设A、B均为n阶方阵，且AB=0，则必有（ ）.
(A) |A|=0或|B|=0 (B) A+B=0 (C)A=0或B=0 (D) |A|+|B|=0.
8.A、B均为n阶对称矩阵，AB仍为对称阵的充分必要条件是（ ）.
(A)A可逆 (B)B可逆 (C)|AB|≠0 (D)AB=BA.
9. ( )
（A）|A|=0 (B)|E+B|=0
(C) |A|=0或|E+B|=0 (D) |A|=0且|E+B|=0.
10. 设A,B,C均为n阶方阵,下列错误的运算律为( ).
(A) (B)
(C) (D)
11．设A,B为n阶对称矩阵,则( )不一定是对称矩阵.
(A)AT (B) A+B (C)AB (D)AAT
12.下列矩阵中( )不是初等矩阵.
(A) (B) (C) (D)
13.（ ）
（A）若AB=AC则B=C (B) 若AB=CB则A=C
(C) 若AB=0则B=0 (D) 若BC=0则B=0.
14.
（A）对称矩阵 (B) 可逆矩阵
(C) n阶矩阵的转置矩阵 (D) 线性方程组的系数矩阵.
15.（ ）
（A） (B) (C) (D) .
16.A、B、A+B、A－1+B－1均为n阶可逆阵，则=（ ）.
(A) A-1+B-1 (B)A+B (C) A（A+B）－1B (D) （A+B）－1.
17. 设n阶矩阵A，B, C满足ABC = E,则必有（ ）.
(A) ACB = E (B) CBA = E (C) BAC= E (D) BCA = E
18. 设A，B均为n阶矩阵，则必有（ ）.
(A) (B) AB =BA (C) (D)
19. 设A 是n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，则（ ）.
(A) = (B) = (C) =n, (D) =
20. 若A 为n阶可逆矩阵， 下列各式正确的是（ ）.
(A) (B) AA*≠O
(C) (D)
21. 要断言矩阵A的秩为r，只需条件( )满足即可.
(A)A中有r阶子式不为0 (B)A中任何r+1阶子式为0
(C)A中非0的子式的阶数小于等于r (D)A中非0的子式的最高阶数等于r.
22. A为3阶方阵，其秩r（A）=2，则（ ）不正确.
（A）任意二阶子式均不为零
（B）至少有一个二阶子式不为零
（C）其行最简形矩阵有两行首个非零元是1
（D）行阶梯矩阵中有两个非零行.
23.若n阶方阵A的秩为r，则结论( )成立。
(A) (B) (C) r>n. (D)r
24.A，B都是n阶非零矩阵，且AB=0，则A和B的秩（ ）.
（A）必有一个等于零 （B）都小于n
（C）一个小于n，一个大于n （D）都等于n.
25.设3阶矩阵，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有（ ）.
（A） （B）
（C） （D）.
26.n阶方阵则a=( )
(A)1 (B) (C)-1 (D)
三. 计算题
1．设，，求AB及(AB)T.
2．设，，求3AB－2A及ATB.
3．如果矩阵X满足X+3A=2B－X, 其中，，求X.
4.将线性方程组写成矩阵形式.
5.化矩阵为行最简形.
6.设为n阶方阵, 求|A|.
7.设到的线性变换为, 到的线性变换为求到的线性变换.
8.
9.
10.
11.利用初等行变换求下列方阵的行最简形
(1), (2).
12. 已知等式.求x, y, z, w .
13.如果 f (x) = x2－x+1, , 求f (A).
14. .
15.设A=,求An
16.求可与A=,B=交换的所有矩阵.
17．判断下列矩阵是否可逆，如果可逆， 求其逆矩阵：
（1），（2）
18.解下列矩阵方程;
19.
20.
21.
22.
23.
24．设，其中，
25．设 A为n阶矩阵，A*为其伴随矩阵，，求.
26.设AX+B=C,其中.
27.设的秩为2，求x .
28.设求r(A)
29．已知B为3阶非零矩阵，且满足BA=O.求参数t.
30.设矩阵且求k.
四.证明题
1. 设α为n维列向量，为n阶单位矩阵，A=E－2ααT，试证：AT=A.
2. 已知
验证：(1) (A+C)B =AB+CB; (2) (AB)C=A(BC).
3．记n阶方阵A,B的迹分别为tr(A)，tr(B)，试证
（1）tr(AT) = tr(A),（2）tr(AB) = tr(BA).
4..
5.
6.设A 是n阶对称阵,B是n阶反对称阵,证明A-B2是对称阵
7.设A,B是n阶方阵,满足A2=A,B2=B,(A+B)2=A+B,证明:AB=O
8．证明如果A是非奇异对称（反对称）矩阵，则A－１也对称（或反称）.
9. .
10.设A为n阶方阵,且,
(1) 证明A可逆,并求A-1;
(2) 若|A|=2,求|4A-8E|.
11.已知n阶方阵A满足2A(A-E)=, 求(E-A)-1.
12. 证明：若，则必可表作r个秩为1的矩阵之和.

答案与解法提示
一. 1.； 2.10； 3.； 4.； 5.; 6. ; 7. ； 8.；9. ； 10.AB=BA； 11. ；
12. 13 . ; 14. 15.; 16.
17. ；18. 19. 16；
20. 21. 22. ;
23.; 24. ； 25. 5； 26.3 ；27. 0（提示：r(A)=2,知A的所有3阶子式均为0.从而=O, 即）; 28. .k=3；29. 2(提示：)；
30.1(提示：A的各行成比例).
二. 1. (B); 2. (C); 3.（B ）; 4.（A ）; 5.（C ）； 6.（D ）； 7.（A ）； 8.（D ）； 9. （C）;
10. (C)；11.(C); 12.(D); 13.（A）（C）；14.（A）（B）（C）; 15. (C); 16.（C）; 17.（D）； 18. (C）； 19.（B）；20.（B）; 21.(D); 22.（A）; 23. (D); 24.(B); 25.(C) (提示：，若a=b则r(A)=1,从而r(A*)=0不合题意，排除(A)、(B);若则r(A)=3，从而r(A*)=3不合题意，排除(D)); 26. (B).
三. 1. AB=, (AB)T=;
2., ;
3.; 4. ;
5. ; 6. ;
7. ; 8. ；
9.；
10. 0； 11. (1), (2);
12. –3,-6,0,2; 13.;
14.;
15. 找出递推公式 An=(-4)n-1A ; 16.提示:利用AB=BA及B=A+2E;
17. (2) ； 18.;
19.； 20.； 21. ；
22. ； 23. ; 24.； 25. ； 26. ; 27.2； 28.; 29．t=5;
30. 提示：由得: 所以
因时，从而
四.1.提示：；
2.（略）.
3.(1)

4. 提示：利用范德蒙行列式.
5.（略）
6. (略)
7. 提示:计算得出AB+BA=O后,左乘A,右乘A得出AB=BA.
8.（略） 9.（略 ）
10.提示 (1)利用逆阵定义; (2)|4A-8E|=.
11.
12. 提示：依题意，有可逆矩阵P、Q使得

其中矩阵Bi（i=1,2,¼,r）的第i行、第i列的元素为1，其余元素均为0.显然r (Bi)=1.从而
由于P-1、Q-1是可逆矩阵，故r (P-1Bi Q-1)=1.