数列综合复习(教师版).doc

数列综合复习
一、数列的概念
知识清单
1. 数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法.
2. 数列的通项公式.
3. 求数列通项公式的一个重要方法：
对于任一数列,其通项和它的前n项和之间的关系是
例１.（1）已知数列的前n项和公式，求的通项公式　
① ；　　　　

②

例2.（1）已知数列的前n项和公式，求的通项公式　
① ；　　　　

②

例3.（1）已知数列，，()，写出这个数列的前4项，并根据规律，写出这个数列的一个通项公式，并加以证明.

（2）数列中，，前n项和满足，求数列的通项公式.

二、等差数列
知识清单
1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。
2、等差数列的通项公式：；
说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。

3、等差中项的概念：
定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中 ，，成等差数列。
4、等差数列的前和的求和公式：。

5、等差数列的性质：
（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是，
如：，，，，……；，，，，……；
（3）在等差数列中，对任意，，，；
（4）在等差数列中，若，，，且，则；
（5）在等差数列中，若m+n=2p,则
（6）连续n项的和仍成等差数列.

特殊说明：设数列是等差数列，且公差为，
（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①奇偶； ② ；
（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①偶奇；②。
6、数列最值
（1），时，有最大值；，时，有最小值；
（2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。
练习
1．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（ ）
A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列
C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列
2．设是公差为正数的等差数列，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）
A.13项 B.12项 C.11项 D.10项
4．设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）
A.1 B.2 C.4 D.6
5．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝
A． B． C． D．
6．设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝的前n项和，求Tn。

等比数列
知识清单
1．等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：：数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，。（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）
2．等比数列通项公式为：。
说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则。
3．等比中项
如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。
4．等比数列前n项和公式
一般地，设等比数列的前n项和是，当时， 或；当q=1时，（错位相减法）。
说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况。

5．等比数列的性质
①等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有；
③ 于等比数列，若，则.
③若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。
如下图所示：

练习
1．在等比数列中,,则
2．和的等比中项为( ) .

3． 在等比数列中，，，求，
4．在等比数列中,和是方程的两个根,则( )

5. 在等比数列，已知，，求.
6．（2006年辽宁卷）在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2006年北京卷）设，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2009全国文，21）设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；
9．（2005江苏3）在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝（ ）
（A）33 （B）72 （C）84 （D）189

四、数列通项与求和
知识清单
1．数列求通项
（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an= 。
（2）求通项常用方法

练习
1、 已知数列满足，，求数列的通项公式.

2、已知数列，，()，
（1）求出这个数列的前4项；
（2）求这个数列的通项公式。

3、(1) 已知数列｛｝满足，求数列的通项；
(2) 已知数列｛｝满足，求数列的通项。
解：（1）由已知得，则 ，
即是首项为3，公比为3 的等比数列，
（2）由已知得，则 ，
即是首项为,公差为 的等差数列，

2、数列前n项和
①重要公式：1+2+…+n=n(n+1)；
12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)；
13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2；
②等差数列中，

④ 比数列中，

④裂项相消求和

⑤ 倒序相加求和

⑥分组求和
把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。
数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

练习
1：数列的前项和．（1）试写出数列的前5项；（2）数列是等差数列吗？（3）你能写出数列的通项公式吗？
2.设函数,计算和__________.
答案：1004
解析：由于
.
设,
又,
∴.
∴S=1004.

3、设数列的前n项和为Sn=2n2，求数列的通项公式；

4、数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．

5、已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列．

6、已知等差数列满足，
（I）求数列的通项公式；（II）求数列的前n项和．
解：（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得解得
故数列的通项公式为 ………………5分
（II）设数列的前n项和为，即，故，，所以，当时，
＝
，所以
综上，数列的前n项和为 ………………12分

数列练习一：
1：一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为（ ）
A．83 B．108 C．75 D．63

2、一个等差数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为 。

3、等比数列的各项为正数，且（ ）
A．12 B．10 C．8 D．2+
4：设数列是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）
A．1 B.2 C.4 D.8

5、在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则
A 33 B 72 C 84 D 189

6：已知是等差数列，其中，公差。（1）求数列的通项公式，并作出它的图像；（2）数列从哪一项开始小于0？（3）求数列前项和的最大值，并求出对应的值．

7、已知是各项不为零的等差数列，其中，公差，若,求数列前项和的最大值．

8、在等差数列中，，，求的最大值．

9、已知数列和，设，求数列的前项和．

10、（2011全国1文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．

11．设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q
的值为 .

12、已知数列的通项公式为，求前项的和；

13、已知数列的通项公式为，求前项的和．

14、已知数列的通项公式为＝，设，求．

数列练习二：
1．（11重庆文）在等比数列{an}中，a2＝8，a1＝64，，则公比q为
（A）2 （B）3 （C）4 （D）8
2．（10重庆理）若等差数列{}的前三项和且，则等于（ ）
A．3 B.4 C. 5 D. 6
3．设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，则__________.
4．（09北京理）设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　　）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
5．等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12
6.等差数列{an}的前n项和为Sn，若
（A）12 （B）18 （C）24 （D）42
7．（全国2文）已知数列的通项，则其前项和 ．
8．（07全国1理）等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为　　　　　　．
9．已知是等差数列，，其前10项和，则其公差（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
0．已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（　　）Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．
11．已知是等差数列，，其前5项和，则其公差　　　　．
12．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）A．63 B．45 C．36 D．27
数列练习三：
1．已知等差数列的前项和为，若，则 ．
2．在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
3．（09北京理）已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（07广东理）已知数列{}的前项和，第项满足，则
A． B． C. D．
5．已知数列{}的前项和，则其通项 ；若它的第项满足v，则 ．
6．数列的前项和为，若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
7．等比数列中，，则等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项．
9．若数列的前项和，则此数列的通项公式为
10．等差数列的前项和为若
（A）12 （B）10 （C）8 （D）6
11．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
12．数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．
（I）求的值；
（II）求的通项公式．

13. 等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列
（1）求{}的公比q；
（2）求－＝3，求
解：（Ⅰ）依题意有

由于 ，故
又，从而
（Ⅱ）由已知可得 故
从而
14. 设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n=1，2，3，….
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式；
(Ⅲ)设cn=n(3-bn)，求数列{cn}的前n项和Tn.

解：(Ⅰ)∵n=1时，a1+S1=a1+a1=2
∴a1=1
∵Sn=2-an即an+Sn=2 ∴an+1+Sn+1=2
两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0
即an+1-an+an+1=0故有2an+1=an
∵an≠0 ∴(n∈N*)
所以，数列{an}为首项a1=1，公比为的等比数列.an=(n∈N*)
(Ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1，2，3，…)
∴bn+1-bn=()n-1
得b2-b1=1
b3-b2=
b4-b3=()2
……
bn-bn-1=()n-2(n=2，3，…)
将这n-1个等式相加，得
bn-b1=1+
又∵b1=1，∴bn=3-2()n-1(n=1，2，3，…)
(Ⅲ)∵cn=n(3-bn)=2n()n-1
∴Tn=2[()0+2()+3()2+…+(n-1)()n-2+n()n-1] ①
而 Tn=2[()+2()2+3()3+…+(n-1)] ②
①-②得：
Tn=
=8-(8+4n)(n=1，2，3，…)
15. 已知数列中，，且对时有．
（Ⅰ）设数列满足，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前n项和
（Ⅰ） 证明：由条件，得，
则．
即，所以，．
所以是首项为2，公比为2的等比数列．
，所以．
两边同除以，可得．
于是为以首项，－为公差的等差数列．
所以．
（Ⅱ），令，则．
而．
∴．
，
∴．
令Tn＝， ①
则2Tn＝． ②
① ②，得Tn＝，Tn＝．
∴．

16. 已知点满足：，且已知
（1）求过点的直线的方程；
（2）判断点与直线的位置关系，并证明你的结论；
解：（1）由，得：

显然直线的方程为
（2）由，得：

∴点，猜想点在直线上，以下用数学归纳法证明：
当n＝2时，点
假设当时，点，即
当时，

∴点
综上，点
17、=, =,
（1）求证：为等差数列；
(2) 若,问是否存在, 对于任意（），不等式成立.
解（1）

为等差数列
（2）

18.设数列的前项和为，。
（1）求证：数列为等差数列，并分别求出、的表达式；
（2）设数列的前n项和为，求证：；

又易知单调递增，故，得
19. 数列：满足
(Ⅰ) 设，求证是等比数列；
(Ⅱ) 求数列的通项公式;
（Ⅲ）设,数列的前项和为,求证:
解：(Ⅰ)由得　　　　
，即　，
是以２为公比的等比数列　　　　　　
(Ⅱ) 又　　　　　　　　　　
即 ，　　　
　　　　　　　　　故　　　　　　　　
（Ⅲ）　　　
又
20.设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。
（I）求数列的通项公式；
（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；
解：（Ⅰ）当时，
又

数列成等比数列，其首项，公比是

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

=
又
当
当

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