高考数学考点解读+命题热点突破专题20不等式选讲理.pdf

推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料专题 20 不等式选讲【命题热点突破一】含绝对值的不等式的解法例 1、【2016 高考新课标1 卷】（本小题满分10 分）,选修 4 5：不等式选讲已知函数123fxxx.（I）在答题卡第（24）题图中画出yfx的图像；（II）求不等式1fx的解集【答案】（I）见解析（II）11353，【解析】如图所示：4133212342xxfxxxxx，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料1fx,当1x,41x,解得5x或3x,1x 当312x,321x,解得1x或13x113x或312x当32x,41x,解得5x或3x,332x或5x综上,13x或13x或5x,1fx,解集为11353，【变式探究】已知函数f(x)|2x a|x 1|.(1)当 a1 时，解不等式f(x)2 时，若函数f(x)的图像与x轴所围成的封闭图形的面积不超过54，求a的最大值解：(1)当 a 4 时，f(x)0，即2|x 2|x 4|0，即 2|x 2|x 4|，两边平方得4x2 16x16x28x16，即 x28x0，解得 8x0，即不等式f(x)0 的解集为 8，0(或者分段去绝对值求解)推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料(2)当 a2 时，f(x)x4 a，x 2，3x4a，2x 2，所以 2cd，则abcd；(2)abcd是|a b|cd，得(ab)2(cd)2，因此abcd.【特别提醒】证明不等式的基本方法有综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等不等式的性质和重要不等式是证明其他不等式的主要工具，要特别注意柯西不等式的应用【变式探究】(1)已知 a，b 都是正实数，求证：aa2bbab2 22.(2)已知实数a，b，c，d 满足 abcd3，a22b23c26d25，求 a 的取值范围解：(1)证明：方法一：(代数换元法)设 a2bx，aby，则 a2yx，bxy，且 x，y 为正实数aa2bbab2yxxx yy2yxxy22 22，当且仅当x2y 时取等号推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料方法二：(配凑法)aa2bbabaa2b1bab122（ab）a 2ba2bab22 22，当且仅当a2b2(a b)时取等号(2)由柯西不等式得(2b23c26d2)121316(b cd)2，即 2b23c26d2(b cd)2.由条件可得5a2(3 a)2，解得 1a2，即 a 的取值范围是1，2【命题热点突破三】绝对值不等式与不等式证明的综合例 3、【2016 高考新课标2 理数】选修45：不等式选讲已知函数11()|22f xxx，M为不等式()2f x的解集（）求M；（）证明：当,a bM时，|1|abab【答案】（）|11 Mxx；（）详见解析.【解析】（I）12,211()1,2212,.2x xf xxx x当12x时，由()2f x得22,x解得1x；当1122x时，()2f x；当12x时，由()2f x得22,x解得1x.所以()2f x的解集|11Mxx.（II）由（I）知，当,a bM时，11,11ab，从而22222222()(1)1(1)(1)0abababa bab，因此|1|.abab【变式探究】已知函数f(x)|x 1|x 3|m 的定义域为R.(1)求实数m的取值范围；(2)若m的最大值为n，当正数a，b满足23ab1a2bn时，求 7a 4b的最小值推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料解：(1)因为该函数的定义域为R，所以|x1|x3|m0 恒成立设函数g(x)|x1|x3|，则m不大于函数g(x)的最小值，又|x1|x3|(x1)(x3)|4，即g(x)的最小值为4，所以m4.【特别提醒】使用绝对值三角不等式求含有两个绝对值符号的函数的最值时，注意利用恒等变换的方法创造使用重要不等式(均值不等式、柯西不等式等)的条件【变式探究】已知函数f(x)|x|2|x3|.(1)求不等式f(x)10 的解集；(2)记f(x)的最大值为m，且a，b，c为正实数，求证：当abcm时，abbccama2b2c2.解：(1)f(x)|x|2|x3|x6，x0，3x6，0 x3，x6，x3.当x0 时，x6 10，4x0；当 0 x3 时，3x6 10，0 x0.(1)当a1 时，求不等式f(x)1 的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围解(1)当a 1 时，f(x)1 化为|x1|2|x1|10.当x 1时，不等式化为x 40，无解；当 1x0，解得23x0，解得 1x1 的解集为x23x2.(2)由题设可得，f(x)x12a，xa.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a13，0，B(2a 1，0)，C(a，a1)，ABC的面积为23(a1)2.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料由题设得23(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，)1.【2014 高考安徽卷理第9 题】若函数()12f xxxa的最小值为3，则实数a的值为（）A.5 或 8 B.1或 5 C.1或4 D.4或 8【答案】D【解析】由题意，当12a时，即2a，3(1),2()1,123(1),1axaxaf xxaxxax，则当2ax时，min()()|1|322aafxfaa，解得8a或4a（舍）；当12a时，即2a，3(1),1()1,123(1),2xaxaf xxaxaxax，则当2ax时，min()()|1|322aafxfaa，解得8a（舍）或4a；当12a时，即2a，()3|1|f xx，此时min()0fx，不满足题意，所以8a或4a，故选 D.2.【2014 陕西高考理第15 题】设,a b m nR，且225,5abmanb，则22mn的最小 值为【答案】5【解析】由柯西不等式得：22222()()()abmnmanb，所以2225()5mn，得225mn所以225mn，故答案为5。3.【2014 高考广东卷理第9 题】不等式521xx的解集为 .【答案】,32,.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料4.【2014 高考湖南卷第13 题】若关于x的不等式23ax的解集为5133xx，则a_.【答案】-3【解析】因为等式23ax的解集为5133xx,所以5 1,3 3为方程23ax的根,即52331233aa3a,故填3.5.【2014 江西高考理第11 题】对任意,x yR,111xxyy的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因为111xxyy|(1)|(1)(1)|123xxyy，当且仅当01,11xy时取等号，所以111xxyy的最小值为3，选 C.6.【2014 重庆高考理第16 题】若不等式2212122aaxx对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 _.【答案】11,2推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【解析】令312121|2|3221312xxfxxxxxxx，其图象如下所示（图中的实线部分）由图可知：min1522fxf由题意得：215222aa，解这得:11,2a所以答案应填：11,27.【2014 高考福建理第21（3）题】已知定义在R上的函数21xxxf的最小值为a.（I）求a的值；（II）若rqp，为正实数，且arqp，求证：3222rqp.【答案】（I）3a;（II）参考解析【解析】（I）因为12(1)(2)3xxxx,当且仅当12x时,等号成立,所以()f x的最小值等于3,即3a.（II）由（I）知3pqr,又因为,p q r是正数,所以22222222()(111)(111)()9pqrpqrpqr,即2223pqr.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料9.【2014 高考江苏第21 题】已知0,0 xy，证明22(1)(1)9xyxyxy【答案】证明见解析.【解析】0,0 xy，22313xyxy,22313xyx y,222233(1)(1)99xyxyxyx yxy.10.【2014 高考江苏第21B题】已知矩阵1 21 1,121ABx，向量2ay，,x y是实数，若AaBa，求xy的值.【答案】72【解析】由题意得22224yyxyy，解得124xy.72xy.11.【2014高考辽宁理第24 题】设函数()2|1|1f xxx，2()1681g xxx，记()1f x的解集为M，()4g x的解集为N.（）求M；()当xMN时，证明：221()()4x f xx f x.【答案】（1）4|03Mxx；（2）详见解析.【解析】（1）33,1,)()1,(,1)xxf xxx当1x时，由()331f xx得43x，故413x；当1x时，由()11f xx得0 x，故01x；所以()1f x的解集为4|03Mxx.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料（2）由2()16814g xxx得2116()4,4x解得1344x，因此13|44Nxx，故3|04MNxx.当xMN时，()1f xx，于是22()()()()x f xx f xxfxxf x2111()(1)()424xf xxxx.12.【2014 高考全国1 第 24 题】若0,0ab，且11abab.（）求33ab的最小值；（）是否存在,a b，使得236ab？并说明理由.【答案】（）4 2；（）不存在13.【2014 高考全国2 第 24 题】设函数fx=1(0)xxa aa（）证明：fx2；（）若35f，求a的取值范围.【答案】（1）见解析（2）1552122a【解析】（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：min()fx12aa，当且仅当1a时，取等号，所以()2f x.（2）因为(3)5f，所以1|3|3|5aa13|3|5aa1|3|2aa推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料11232aaa，解得：1552122a.（2013新课标I 理）（24）（本小题满分10 分）选修45：不等式选讲已知函数f(x)|2x 1|2xa|，g(x)=x+3.（）当a=-2 时，求不等式f(x)g(x)的解集；（）设a 1，且当x a2，12)时，f(x)g(x)，求a的取值范围.【答案】当2a时，令15,21212232,1236,1x xyxxxxxxx，做出函数图像可知，当(0,2)x时，0y，故原不等式的解集为02xx；（2）依题意，原不等式化为13ax，故2xa对1,2 2a都成立，故22aa，故43a，故a的取值范围是41,3.【解析】（1）构造函数21223yxxx，作出函数图像，观察可知结论；（2）利用分离参数法进行求解.