自回归移动平均模型PPT参考课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 时间序列计量经济学模型的理论与方法,第一节 随机时间序列的特征,第二节 随机时间序列分析模型,第三节 协整分析与误差修正模型,第四节 向量自回归模型,1,4.1,随机时间序列的特征,一、随机时间序列模型简介,二、趋势平稳与差分平稳,三、时间序列平稳性的检验,2,一、随机时间序列模型简介,一个标有,时间脚标,的随机变量序列被称为,时间序列,(time series),。,前提假设,：时间序列是由某个,随机过程,(Stochastic process),生成的。即，假定序列,X,1,X,2,X,T,的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到。当收集到一个时间序列数据集时，就得到该,随机过程的一个可能结果,或,实现,(realization),。,3,假定某个时间序列是由某一随机过程生成，即假定时间序列,X,t,的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果时间序列,X,t,满足：,1,）均值,E(,X,t,)=,是,与时间,t,无关的常数；,2,）方差,Var(,X,t,)=,2,是,与时间,t,无关的常数；,3,）协方差,Cov(,X,t,X,t,+,k,)=,k,是,只与时期间隔,k,有关,，,与时间,t,无关,的常数；,则称该随机时间序列是,平稳的,（,stationary),，,而该随机过程是一,平稳随机过程,（,stationary stochastic process,）,。,1.,时间序列的平稳性,4,经典计量模型,的数学基础是,极限法则,，以,独立随机抽样,为样本，如果模型,设定正确,，模型随机误差项,满足,极限法则和由极限法则导出的,基本假设,，继而进行的参数估计和统计推断是可靠的。,以,时间序列数据,为样本，,破坏了随机抽样的假定,，则经典计量模型的数学基础能否被满足成为一个重要问题。,对照,极限法则,和,时间序列的平稳性条件,研究发现，如果模型,设定正确,，并且所有时间序列是,平稳,的，,时间序列的平稳性可以替代随机抽样假定,，模型,随机误差项仍然满足极限法则,。,2.,平稳性与经典回归,5,3.,白噪声和随机游走,由,定义知：白噪声序列是平稳的。,一个最简单的随机时间序列是一具有,零均值同方差的独立同分布,序列：,X,t,=,t,，,t,N,(0,2,),该序列常被称为是一个,白噪声,(white noise),。,6,另一个简单的随机时间列序被称为,随机游走,(random walk),，该序列由如下随机过程生成：,X,t,=,X,t,-1,+,t,这里，,t,是一个白噪声,t,N,(0,2,),。,该序列 同均值，但方差不同：,E,(,X,t,)=,E,(,X,t,-1,),X,1,=,X,0,+,1,X,2,=,X,1,+,2,=,X,0,+,1,+,2,X,t,=,X,0,+,1,+,2,+,t,var(,X,t,)=,t,2,，,X,t,的,方差与时间,t,有关，而非常数，因此,随机游走是非平稳序列,。,7,4.,齐次非平稳过程,如果一个时间序列是非平稳的，经过一次或多次差分后成为平稳序列，产生这样的非平稳序列的随机过程称为,齐次随机过程,。原序列转化为平稳序列所需的差分次数称为,齐次的阶数,。,对随机游走序列,X,t,取一阶差分,(first difference),：,由于,t,是一个白噪声，,则序列,X,t,是,平稳,的,。这提示我们,如果一个时间序列是非平稳的，常常可以通过取差分的方法形成平稳序列,。,8,如果,Y,t,是,一阶齐次非平稳过程,，则序列：,W,t,=,Y,t,Y,t,-1,=,Y,t,就是平稳的。,如果,Y,t,是,二阶齐次非平稳过程,，则序列：,W,t,=,Y,t,Y,t,-1,=,2,Y,t,就是平稳的。,9,5.,单整与非单整,如果一个时间序列经过一次差分变成平稳序列，也称,原序列,是,1,阶单整,(,integrated of 1,),序列,记为,I,(1),过程。如果经过,d,次差分,后变成平稳序列,则称原序列是,d,阶单整,(,integrated of,d,),记为,I,(,d,),。,I,(0),代表平稳时间序列,。,多次差分无法变为平稳的时间序列称为,非单整,的,(,non-integrated,),。,10,随机时间序列,Y,t,的,自相关函数,(autocorrelation function,ACF,),：,k,=,k,/,0,自相关函数是关于滞后期,k,的递减函数。,对一个随机过程只有一个实现,(,样本,),因此，只能计算,样本自相关函数,(,Sample autocorrelation function,),：,6.,自相关函数、,Q,统计量,11,为了检验自相关函数的某个数值,k,是否为,0,，可以用,Bartlett,的研究结果,：如果时间序列由白噪声生成，则对所有,k,0,，,k,N,(,0,1/,T,),为了检验所有,k,0,的,自相关函数,k,都为,0,的联合假设,，可以采用,Box-Pierce,的,Q,统计量：,Q,统计量近似地服从自由度为,k,的,分布。如果计算出,Q,值大于,显著性水平,下的,临界值,，就有,1-,的把握,拒绝所有,k,(,k,0),同时为,0,的原假设。,12,1.,确定性时间趋势,描述非平稳经济时间序列一般有两种方法，一种方法是包含一个确定性时间趋势：,(*),其中,u,t,是平稳序列；,a,+,t,是线性趋势函数。这种过程也称为,趋势平稳,的，因为如果从式,(*),中减去,a,+,t,，结果是一个平稳过程。,二、趋势平稳与差分平稳随机过程,13,一般时间序列可能存在一个非线性函数形式的确定性时间趋势，例如可能存在多项式趋势：,(,*,),t,=1,2,T,同样可以除去这种确定性趋势，然后分析和预测去势后的时间序列。对于中长期预测而言，能准确地给出确定性时间趋势的形式很重要。如果,Y,t,能够通过去势方法排除确定性趋势，转化为平稳序列，称为,退势平稳过程,。,14,2.,差分平稳过程,非平稳序列中有一类序列可以通过差分运算，得到具有平稳性的序列，考虑下式,(,*,),也可写成：,(,*,),其中,a,是常数,u,t,是一个白噪声序列。式,(*),的差分序列是含漂移,a,的随机游走，说明,y,t,的,差分序列,y,t,是平稳序列。（*）式中,L,表示滞后算子。,15,实际上，以往讨论的回归方程的序列自相关问题暗含着残差序列是一个平稳序列。因为如果残差序列是一个非平稳序列，则说明因变量除了能被解释变量解释的部分以外，其余的部分变化仍然不规则，随着时间的变化有越来越大的偏离因变量均值的趋势，这样的模型是不能够用来预测未来信息的。,16,残差序列是一个非平稳序列的回归被称为,伪回归,，,这样的一种回归有可能拟合优度、显著性水平等指标都很好，但是由于残差序列是一个非平稳序列，说明了这种回归关系不能够真实的反映因变量和解释变量之间存在的均衡关系，而仅仅是一种数字上的巧合而已。伪回归的出现说明模型的设定出现了问题，有可能需要增加解释变量或者减少解释变量，抑或是把原方程进行差分，以使残差序列达到平稳。,一个可行的办法是先把一个非平稳时间序列通过某种变换化成一个平稳序列。,17,一个,平稳的时间序列,在图形上往往表现出一种围绕其均值不断波动的过程；而,非平稳序列,则往往表现出在不同的时间段具有不同的均值（如持续上升或持续下降）。,1.,平稳性检验的图示判断,三、时间序列的平稳性检验,平稳时间序列与非平稳时间序列图,18,单位根检验（,unit root test,）,是普遍应用的,一类,检验时间序列平稳性的方法，以,ADF,检验,最为常用。,(1)DF,检验,我们已知道，随机游走序列,Y,t,=,Y,t,-1,+,t,是,非平稳的，其中,t,是白噪声。序列可看成是随机模型,Y,t,=,Y,t,-1,+,t,中参数,=1,时的情形。,2.,平稳性的单位根检验,19,也就是说，对式,Y,t,=,Y,t,-1,+,t,（*）,回归，,如果确实发现,=1,，就说随机变量,Y,t,有一个单位根,。,（*）式可变成差分形式：,Y,t,=(,-1,),Y,t,-1,+,t,=,Y,t,-1,+,t,(*),检验（*）式是否存在单位根,=1,，也可通过（*）式判断是否有,=0,。,20,一般地,:,检验一个时间序列,Y,t,的平稳性，可通过检验带有截距项的一阶自回归模型,Y,t,=,+,Y,t,-1,+,t,（*）,中的参数,是否小于,1,。,或者：,检验其等价变形式,Y,t,=,+,Y,t,-1,+,t,（*）,中的参数,是否小于,0,。,（*）式中的参数,1,或,=1,时,，时间序列,是非平稳的,；对应于（*）式，则是,0,或,=0,。,21,针对（*）式,Y,t,=,+,Y,t,-1,+,t,零假设,H,0,：,=0,，即原序列,存在单位根；,备择假设,H,1,：,0,，即原序列是,平稳的；,上述检验可通过,OLS,法下的,t,检验完成。,Dicky,和,Fuller,于,1976,年提出了这一情形下,t,统计量服从的分布（这时的,t,统计量称为,统计量,），即,DF,分布,（见下表）。,DF,分布临界值表,22,通过,OLS,法估计,Y,t,=,+,Y,t,-1,+,t,计算,t,统计量的值，与,DF,分布表中给定显著性水平下的临界值比较：,如果：,t,临界值,（,左尾单侧检验,），则,拒绝原假设,H,0,：,=0,，认为时间序列,不存在单位根,，,是平稳的,。,23,DF,检验的问题：,在上述使用,Y,t,=,+,Y,t,-1,+,t,对时间序列进行平稳性检验中，实际上,假定时间序列是由一阶自回归过程,AR(1),生成的，并且随机误差项是白噪声,。,为了,保证,DF,检验中随机误差项的白噪声特性,，,Dicky,和,Fuller,对,DF,检验进行了扩充，形成了,ADF,（,Augment Dickey-Fuller,）检验,。,(2)ADF,检验,24,ADF,检验是通过以下,3,个模型完成的：,3,个模型检验的,原假设都是：,H,0,：,=0,，即,存在一单位根,，,备择假设：,H,1,:,临界值,(,查,ADF,分布表,),，,不能拒绝存在单位根的零假设。,27,2,）经试验，模型,2,中滞后项取,2,阶：,LM,检验表明模型残差不存在自相关性。,从,GDP,t,-1,的参数值看，其,t,统计量为正值，大于临界值,(,查,ADF,分布表,),，,不能拒绝存在单位根的零假设,。,28,3,）经试验，模型,1,中滞后项取,2,阶：,LM,检验表明模型残差项不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。,从,GDP,t,-1,的参数值看，其,t,统计量为正值，大于临界值,(,查,ADF,分布表,),，,不能拒绝存在单位根的零假设,。,结论：,根据,ADF,检验结果，可断定中国支出法核算的,GDP,时间序列是非平稳的。,29,Dependent Variable:D(GDP),Method:Least Squares,Sample(adjusted):1981 2000,Included observations:20 after adjustments,Coefficient,Std.Error,t-Statistic,Prob.,C,-1011.330,805.7016,-1.255217,0.2286,TREND(1978),229.2673,120.1797,1.907704,0.0758,GDP(-1),0.009272,0.029561,0.313655,0.7581,D(GDP(-1),1.499094,0.167620,8.943390,0.0000,D(GDP(-2),-1.006941,0.203447,-4.949402,0.0002,R-squared,0.941735,Mean dependent var,4228.060,Adjusted R-squared,0.926198,S.D.dependent var,3774.675,S.E.of regression,1025.448,Akaike info criterion,16.91597,Sum squared resid,15773165,Schwarz criterion,17.16490,Log likelihood,-164.1597,Hannan-Quinn criter.,16.96456,F-statistic,60.61136,Durbin-Watson stat,2.306026,Prob(F-statistic),0.000000,支出法,GDP,时间序列的平稳性,ADF,检验模型,3,结果：,30,Eviews,中，,GDP,平稳性,ADF,检验结果：,Null Hypothesis:GDP has a unit root,Exogenous:Constant,Linear Trend,Lag Length:2(Automatic based on SIC,MAXLAG=4),t-Statistic,Prob.*,Augmented Dickey-Fuller test statistic,0.313655,0.9972,Test critical values:,1%level,-4.498307,5%level,-3.658446,10%level,-3.268973,*MacKinnon(1996)one-sided p-values.,31,Eviews,中，,GDP,平稳性,ADF,检验结果（续）：,Augmented Dickey-Fuller Test Equation,Dependent Variable:D(GDP),Method:Least Squares,Sample(adjusted):1981 2000,Included observations:20 after adjustments,Coefficient,Std.Error,t-Statistic,Prob.,GDP(-1),0.009272,0.029561,0.313655,0.7581,D(GDP(-1),1.499094,0.167620,8.943390,0.0000,D(GDP(-2),-1.006941,0.203447,-4.949402,0.0002,C,-1011.330,805.7016,-1.255217,0.2286,TREND(1978),229.2673,120.1797,1.907704,0.0758,R-squared,0.941735,Mean dependent var,4228.060,Adjusted R-squared,0.926198,S.D.dependent var,3774.675,S.E.of regression,1025.448,Akaike info criterion,16.91597,Sum squared resid,15773165,Schwarz criterion,17.16490,Log likelihood,-164.1597,Hannan-Quinn criter.,16.96456,F-statistic,60.61136,Durbin-Watson stat,2.306026,Prob(F-statistic),0.000000,32,4,）中国支出法,GDP,的单整性。,经过试算，发现,中国支出法,GDP,是,1,阶单整的,，适当的检验模型为：,33,Dependent Variable:,D(GDP,2),Method:Least Squares,Sample(adjusted):1981 2000,Included observations:20 after adjustments,Coefficient,Std.Error,t-Statistic,Prob.,C,-1177.177,590.5488,-1.993361,0.0636,TREND(1978),261.2507,61.78455,4.228415,0.0006,D(GDP(-1),-0.494893,0.095513,-5.181424,0.0001,D(GDP(-1),2),0.965508,0.150308,6.423540,0.0000,R-squared,0.750052,Mean dependent var,298.1000,Adjusted R-squared,0.703187,S.D.dependent var,1828.426,S.E.of regression,996.1368,Akaike info criterion,16.82250,Sum squared resid,15876616,Schwarz criterion,17.02165,Log likelihood,-164.2250,Hannan-Quinn criter.,16.86138,F-statistic,16.00445,Durbin-Watson stat,2.213135,Prob(F-statistic),0.000045,支出法,GDP,时序一阶差分后的平稳性,ADF,检验模型,3,结果：,34,Null Hypothesis:D(GDP)has a unit root,Exogenous:Constant,Linear Trend,Lag Length:1(Automatic based on SIC,MAXLAG=5),t-Statistic,Prob.*,Augmented Dickey-Fuller test statistic,-5.181424,0.0026,Test critical values:,1%level,-4.498307,5%level,-3.658446,10%level,-3.268973,结论：,根据,ADF,检验结果，可断定中国支出法核算的,GDP,的一阶差分序列是平稳的，即,I,(1),。,Eviews,中，,GDP,序列,ADF,检验模型,3,的检验结果：,35,例,2,：检验关于,人均居民消费,与,人均国内生产总值,这两时间序列的平稳性及单整性。,36,1),对,中国人均国内生产总值,GDPP,来说，经过偿试，三个模型的适当形式分别为：,模型,3,：,ADF,检验过程：,37,模型,2,：,模型,1,：,38,3,个模型中参数的估计值的,t,统计量均大于各自的临界值，因此,不能拒绝存在单位根的零假设,。,结论,:,人均国内生产总值,(,GDPP,),是非平稳的,。,经过进一步检验发现，,人均国内生产总值,(,GDPP,),和人均居民消费,(,CONSPP,),都是二阶单整序列，,I,(2),39,Eviews,中,GDPP,序列,ADF,检验给出的模型,3,的检验结果：,Null Hypothesis:GDPP has a unit root,Exogenous:Constant,Linear Trend,Lag Length:2(Automatic based on SIC,MAXLAG=6),t-Statistic,Prob.*,Augmented Dickey-Fuller test statistic,-0.038831,0.9922,Test critical values:,1%level,-4.498307,5%level,-3.658446,10%level,-3.268973,Augmented Dickey-Fuller Test Equation,Dependent Variable:D(GDPP),Method:Least Squares,Sample(adjusted):1981 2000,Coefficient,Std.Error,t-Statistic,Prob.,GDPP(-1),-0.001794,0.046202,-0.038831,0.9695,D(GDPP(-1),0.880258,0.218718,4.024632,0.0011,D(GDPP(-2),-0.574849,0.239245,-2.402761,0.0297,C,5.271304,19.11790,0.275726,0.7865,TREND(1978),8.132340,6.527117,1.245931,0.2319,R-squared,0.841967,Mean dependent var,151.3000,Adjusted R-squared,0.799825,S.D.dependent var,79.09023,S.E.of regression,35.38567,Akaike info criterion,10.18281,Sum squared resid,18782.19,Schwarz criterion,10.43174,Log likelihood,-96.82809,Hannan-Quinn criter.,10.23140,F-statistic,19.97927,Durbin-Watson stat,1.840754,Prob(F-statistic),0.000007,40,2,）对于人均居民消费,CONSP,时间序列来说，,3,个模型的适当形式为：,模型,3,：,模型,2,：,41,3,个模型中参数,CONSP,t,-1,的,t,统计量的值均比,ADF,临界值表中各自的临界值大，,不能拒绝该时间序列存在单位根的假设。,结论：可判断人均居民消费序列,CONSP,是非平稳的。,模型,1,：,42,Eviews,中,CONSP,序列,ADF,检验给出的模型,3,的检验结果：,Null Hypothesis:CONSP has a unit root,Exogenous:Constant,Linear Trend,Lag Length:0(Automatic based on SIC,MAXLAG=7),t-Statistic,Prob.*,Augmented Dickey-Fuller test statistic,0.317837,0.9974,Test critical values:,1%level,-4.440739,5%level,-3.632896,10%level,-3.254671,Augmented Dickey-Fuller Test Equation,Dependent Variable:D(CONSP),Method:Least Squares,Sample(adjusted):1979 2000,Coefficient,Std.Error,t-Statistic,Prob.,CONSP(-1),0.031639,0.099544,0.317837,0.7541,C,9.169196,30.71662,0.298509,0.7686,TREND(1978),1.928743,5.333863,0.361603,0.7216,R-squared,0.337576,Mean dependent var,58.86364,Adjusted R-squared,0.267847,S.D.dependent var,40.26234,S.E.of regression,34.45085,Akaike info criterion,10.04307,Sum squared resid,22550.36,Schwarz criterion,10.19185,Log likelihood,-107.4737,Hannan-Quinn criter.,10.07812,F-statistic,4.841264,Durbin-Watson stat,1.420701,Prob(F-statistic),0.019989,43,Eviews,中,CONSP,序列,ADF,检验给出的模型,2,的检验结果：,Null Hypothesis:CONSP has a unit root,Exogenous:Constant,Lag Length:0(Automatic based on SIC,MAXLAG=7),t-Statistic,Prob.*,Augmented Dickey-Fuller test statistic,3.160028,1.0000,Test critical values:,1%level,-3.769597,5%level,-3.004861,10%level,-2.642242,Augmented Dickey-Fuller Test Equation,Dependent Variable:D(CONSP),Method:Least Squares,Sample(adjusted):1979 2000,Coefficient,Std.Error,t-Statistic,Prob.,CONSP(-1),0.066776,0.021131,3.160028,0.0049,C,0.793391,19.73067,0.040211,0.9683,R-squared,0.333017,Mean dependent var,58.86364,Adjusted R-squared,0.299668,S.D.dependent var,40.26234,S.E.of regression,33.69388,Akaike info criterion,9.959017,Sum squared resid,22705.55,Schwarz criterion,10.05820,Log likelihood,-107.5492,Hannan-Quinn criter.,9.982382,F-statistic,9.985775,Durbin-Watson stat,1.456762,Prob(F-statistic),0.004925,44,Eviews,中,CONSP,序列,ADF,检验给出的模型,1,的检验结果：,Null Hypothesis:CONSP has a unit root,Exogenous:None,Lag Length:0(Automatic based on SIC,MAXLAG=7),t-Statistic,Prob.*,Augmented Dickey-Fuller test statistic,8.998848,1.0000,Test critical values:,1%level,-2.674290,5%level,-1.957204,10%level,-1.608175,Augmented Dickey-Fuller Test Equation,Dependent Variable:D(CONSP),Method:Least Squares,Sample(adjusted):1979 2000,Coefficient,Std.Error,t-Statistic,Prob.,CONSP(-1),0.067567,0.007508,8.998848,0.0000,R-squared,0.332963,Mean dependent var,58.86364,Adjusted R-squared,0.332963,S.D.dependent var,40.26234,S.E.of regression,32.88319,Akaike info criterion,9.868189,Sum squared resid,22707.38,Schwarz criterion,9.917782,Log likelihood,-107.5501,Hannan-Quinn criter.,9.879872,Durbin-Watson stat,1.457686,45,中国人均居民消费与人均国内生产总值的单整性：,经过试算，发现,中国人均国内生产总值,GDPP,是,2,阶单整的,，适当的检验模型为：,CONSP,也是,2,阶单整的,，适当的检验模型为：,46,4.2,随机时间序列分析模型,一、模型的一般形式及其适用性,二、模型的平稳性条件,三、模型的识别,四、模型的参数估计,五、模型的检验,47,随机时间序列模型,（,Time Series Modeling,）一般形式为：,X,t,=,F,(,X,t,-1,X,t,-2,t,),建立具体的时间序列模型的三个问题：,(1),模型的具体形式,(2),时序变量的滞后期,(3),随机扰动项的结构,一、随机时间序列模型的一般形式及适用性,48,例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动项（,t,=,t,），模型将是一个,1,阶自回归过程,AR(1),：,X,t,=,X,t,-1,+,t,(,t,特指白噪声,),一般的，,p,阶自回归过程,AR(,p,),为：,X,t,=,1,X,t,-1,+,2,X,t,-2,+,+,p,X,t,-,p,+,t,(*),(1),如果随机扰动项是一个白噪声,(,t,=,t,),，则称,(*),式为一,纯,AR(,p,),过程,(pure AR(,p,)process),。,49,(2),如果,t,不是一个白噪声，通常认为它是一个,q,阶的,移动平均,(moving average),过程,MA(,q,),：,t,=,t,1,t,-1,2,t,-2,q,t,-,q,该式给出了一个纯,MA(,q,),过程,(pure MA(,q,)process),。,一般的,p,阶自回归过程,AR(,p,),是：,X,t,=,1,X,t,-1,+,2,X,t,-2,+,+,p,X,t,-,p,+,t,(*),将纯,AR(,p,),与纯,MA(,q,),结合，得到一个一般的,自回归移动平均,(autoregressive moving average),过程,ARMA(,p,q,),：,X,t,=,1,X,t,-1,+,2,X,t,-2,+,+,p,X,t,-,p,+,t,-,1,t,-1,-,2,t,-2,-,-,q,t,-,q,50,ARMA(,p,q,),：,该式表明：,（,1,）,一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过程生成,，,即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随机扰动项来解释。,（,2,）,如果该序列是平稳的,，即它的行为并不会随着时间的推移而变化，,那么我们就可以通过该序列过去的行为来预测未来,。,X,t,=,1,X,t,-1,+,2,X,t,-2,+,+,p,X,t,-,p,+,t,-,1,t,-1,-,2,t,-2,-,-,q,t,-,q,51,经典回归模型的问题：,（,1,）经典的计量经济学模型是以因果关系为基础，且具有一定的模型结构，因此也常称为,结构式模型（,structural model,）,。,（,2,）然而，,如果,X,t,波动的主要原因可能是我们无法解释的因素，则利用结构式模型来解释,X,t,的变动就比较困难或不可能。,时间序列分析模型的适用性,在这些情况下，采用另一条预测途径：,通过时间序列的,历史数据,得出关于其,过去行为的有关结论,，进而对时间序列未来行为进行推断。,随机时间序列分析模型，就是要通过序列过去的变化特征来预测未来的变化趋势,。,52,1.AR(,p,),模型的平稳性条件,如果一个,p,阶自回归模型,AR(,p,),生成的时间序列是平稳的，就说该,AR(,p,),模型是平稳的，,否则，就说该,AR(,p,),模型是非平稳的。,二、随机时间序列模型的平稳性条件,53,考虑,p,阶自回归模型,AR(,p,),X,t,=,1,X,t,-1,+,2,X,t,-2,+,+,p,X,t,-,p,+,t,(*),引入,滞后算子（,lag operator,）,L,：,LX,t,=,X,t,-1,L,2,X,t,=,X,t,-2,L,p,X,t,=,X,t,-,p,(*),式变换为,(1-,1,L,-,2,L,2,-,p,L,p,),X,t,=,t,记,(,L,)=(,1-,1,L,-,2,L,2,-,p,L,p,),，,称多项式方程,(,z,)=(,1-,1,z,-,2,z,2,-,p,z,p,)=0,，,为,AR(,p,),的,特征方程,(characteristic equation),。,可以证明，,如果该特征方程的所有根在单位圆外（,根的模大于,1,），则,AR(,p,),模型是,平稳的,。,54,例，,AR(1),模型的平稳性条件,对,1,阶自回归模型,AR(1):,由于,X,t,仅与,t,相关,因此,E,(,X,t,-1,t,)=0,。如果该模型平稳,则有,E,(,X,t,2,)=,E,(,X,t,-1,2,),从而上式可变换为：,在平稳条件下,该方差是一非负的常数,从而有,|,|,1,55,AR(1),的特征方程：,的根为,z,=1/,AR(1),稳定,即,|,|,1,意味着,特征根大于,1,根的模大于,1,。,对高阶自,回归,模型,AR(,p,),：,(1)AR(,p,),模型稳定的,必要条件,是：,1,+,2,+,p,1,(2),由于,i,(,i,=1,2,p,),可正可负,AR(,p,),模型稳定的,充分条件,是：,|,1,|+|,2,|+|,p,|1,56,对于移动平均模型,MA(,q,),：,X,t,=,t,-,1,t,-1,-,2,t,-2,-,-,q,t,-,q,其中，,t,是一个白噪声，于是,2.MA(,q,),模型的平稳性,当滞后期大于,q,时，,X,t,的自协方差系数为,0,。,因此：,有限阶移动平均模型总是平稳的,。,q,+1,=cov,(,X,t,X,t,-,q,-1,),=,E,(,X,t,X,t,-,q,-1,)=,E,(,t,-,1,t,-1,-,2,t,-2,-,-,q,t,-,q,),*,(,t,-,q,-1,-,1,t,-,q,-2,-,2,t,-,q,-3,-,-,q,t,-2,q,-1,)=0,57,由于,ARMA(,p,q,),模型是,AR(,p,),模型与,MA(,q,),模型的组合：,X,t,=,1,X,t,-1,+,2,X,t,-2,+,+,p,X,t,-,p,+,t,-,1,t,-1,-,2,t,-2,-,-,q,t,-,q,3.ARMA(,p,q,),模型的平稳性,而,MA(,q,),模型总是平稳的，因此,ARMA(,p,q,),模型的平稳性取决于,AR(,p,),部分的平稳性,。,当,AR(,p,),部分平稳时，则该,ARMA(,p,q,),模型是平稳的,，否则，不是平稳的。,58,（,1,）一个,平稳的时间序列,总可以找到生成它的平稳的随机过程或模型；,（,2,）一个,非平稳的随机时间序列,通常,可以通过差分的方法将它变换为平稳的，对,差分后平稳的时间序列,也可找出对应的平稳随机过程或模型。,如果将一个非平稳时间序列通过,d,次差分,将它变为平稳的，然后用一个平稳的,ARMA(,p,q,),模型作为它的生成模型,，则我们就说该原始时间序列是一个,自回归单整移动平均,（,autoregressive integrated moving average,）,时间序列,，记为,ARIMA(,p,d,q,),。,4.ARIMA(,p,d,q,),模型,59,随机时间序列模型的,识别,，,就是对于一个平稳的随机时间序列，找出生成它的合适的随机过程或模型,，即判断该时间序列是遵循一纯,AR,过程、还是遵循一纯,MA,过程或,ARMA,过程。,所使用的工具,主要是时间序列的,自相关函数,（,autocorrelation function,，,ACF,）及,偏自相关函数,（,partial autocorrelation function,，,PACF,）。,三、随机时间序列模型的识别,60,1.AR(,p,),过程,(1),自相关函数,ACF,1,阶自回归