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本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考!,第十一章 博弈模型,11.1,进攻与撤退抉择,11.2,让报童订购更多报纸,11.3 “,一口价”战略,11.4,不患寡而患不均,11.5,效益合理分配,11.6,加权投票中权力度量,1/80,单一决议主体,决议变量目标函数约束条件,决议主体决议行为发生直接相互作用,(,相互影响,),博弈模型,非合作博弈,合作博弈,三要素,博弈模型,(Game Theory),多个决议主体,优化模型,(Optimization),决议问题（,Decision Problem,）,静态、动态,信息完全、不完全,军事、政治、经济、企业管理和社会科学中应用广泛,2/80,1944,年,6,月初，盟军在诺曼底登陆成功,.,到,8,月初形势：,背景,11.1,进攻与撤退抉择,双方应该怎样决议,？,强化缺口,盟军,(,预备队,),撤退,进攻,德军,盟军,(,加,),盟军,(,英,),盟军,(,美一,),盟军,(,美三,),东进,原地,待命,3/80,模型假设,博弈参加者为两方（盟军和德军）,盟军有,3,种使用其预备队行动：强化缺口，原地待命，东进；德军有,2,种行动：向西进攻或向东撤退,.,博弈双方,完全理性,，目标都是使战斗中己方取得净胜场次（胜利场次减去失败场次）尽可能多,.,盟军胜,1,场,盟军败,2,场,东进,无战斗,盟军胜,2,场,原地待命,无战斗,盟军胜,1,场,强化缺口,向东撤退,向西进攻,盟军,德军,完全信息静态博弈,共同知识,(,以上信息双方共有,),双方同时做出决议,4/80,博弈模型,博弈参加者集合,N,=1,2(1,为盟军，,2,为德军,),用,u,1,(,a,1,，,a,2,),表示对盟军产生结果，即净胜场次，称为盟军,效用函数,.,盟军胜,1,场,盟军败,2,场,东进,无战斗,盟军胜,2,场,原地待命,无战斗,盟军胜,1,场,强化缺口,向东撤退,向西进攻,盟军,德军,盟军行动,a,1,A,1,=1,2,3(,强化缺口,/,原地待命,/,东进,),；,德军行动,a,2,A,2,=1,2(,进攻,/,撤退,).,(,行动：即纯战略,),支付矩阵,（,Payoff Matrix,）,完全竞争,:,零和博弈,(,常数和博弈,),u,2,(,a,1,，,a,2,),对应,M,5/80,博弈解,概念：,纳什均衡,(,NE,:Nash Equilibrium),不存在,(,纯,),NE,(,纯战略,),纳什均衡,Nash:1994,年获诺贝尔经济学奖,NE,:,单向改变战略不能提升自己效用，,即每一方战略对于他方战略而言都是最优,称为,最优反应,.,(,纯,),NE,:,a,*,=(,a,1,*,a,2,*,)=(2,2),非常数和博弈,(,双矩阵表示,),6/80,混合战略（策略：,Strategy),盟军,混合战略,集,期望收益,盟军,德军,S,1,=,p,=(,p,1,p,2,p,3,)|,德军,混合战略,集,S,2,=,q,=(,q,1,q,2,)|,完全信息静态博弈,有限博弈矩阵博弈,(2,人,),零和博弈,常数和博弈,7/80,模型求解,理性推理：,不论自己怎么做，另一方总是希望使自己得分尽可能低,.,（二人零和博弈，完全竞争）,盟军,德军,线性规划,从一个给定战略中期望得到赢得，总是采取该策略时他们可能得到最坏赢得！,盟军能够用,min,pM,来衡量策略,p,好坏,max,U,1,(,p,)=min,pM,min,U,2,(,q,)=max,Mq,T,德军能够用,max,Mq,T,来衡量策略,q,好坏,(,p,*,q,*,):,混合,(,策略,),纳什均衡,(Mixed NE),p,2,*,=3/5,，,p,3,*,=2/5,q,1,*,=1/5,，,q,2,*,=4/5,最优值均为,2/5,8/80,占优,(dominate),：盟军行动,2,占优于,1,（前面非常数和博弈,M,类似）,混合策略似乎不太可行,!,但,概率,可作为,参考,.,-,现实,：盟军让预备队原地待命（行动,2,），而德军没有选择撤退（行动,2,），结果德军大败,.,模型评述,博弈规则,至关主要，如参加人决议时间次序、决议时拥有哪些信息等,.,多人,(,或非常数和,),博弈问题，普通不能用上面线性规划方法求解，而经过纳什均衡定义求解,.,9/80,小结：博弈模型基本要素,参加人,理性假设,行动次序（静态、动态）,信息结构（完全、不完全）,行动空间（及战略空间）,效用函数,参加者完全理性,(,最大化效用,),其它原因,纳什均衡,单向改变战略不能提升自己效用,10/80,11.2,让报童订购更多报纸,报童模型回顾,订购价,w,，零售价,p,，处理价,v,（,p,w,v,0,）,需求量：密度函数,f,(,x,),、分布函数,F,(,x,),F,(0)=0,订购,Q,份报纸，期望销售量为,期望存货量,期望利润,最优订购量,Q,r,Q,r,(,w,),11/80,问题,假设报社报纸成本价为,c,，,w,c,v,w,*,完全信息动态博弈：常称,Stackelberg Game(,两阶段,),子博弈完美均衡,:(,w,*,，,Q,r,(,w,),普通,w,*,c,Q,r,(,w,*,),w,b,v,),回收协议模型,14/80,模型二 回收数量协议,报社回收,到达协调,报童回收,，报童利润,报社利润,;,利润任意分配都可到达,按批发价回收，百分比为,报童利润,回收协议模型,15/80,模型评述,协议参数确定：,不能单方决定,双方谈判（合作博弈）,还有很多其它类型协议，也能够到达协调,一个更简单协议,批发价,w,成本,c,收取一定加盟费,怎样评价比较协议优缺点？,是否能到达协调,是否能任意分配利润,协议执行成本有多高,16/80,11.3 “,一口价”战略,背景,为了节约“讨价还价”时间，考虑“一口价”模式,.,双方同时报价,：若买价,卖价，则以均价成交,;,不然不成交,.,问题,双方应怎样报价？,双方总能成交吗？（效率预计）,“,讨价还价”很浪费买卖双方宝贵时间,.,17/80,模型假设与建立,卖方知道物品对自己价值，但买方不知道,.,买方知道物品对自己价值，但卖方不知道,.,双方都知道（如猜出）对方价值分布信息,.,卖方价值,v,s,买方价值,v,b,均服从,0,1,上均匀分布,卖方报价,p,s,买方报价,p,b,p,b,p,s,时成交价,p,(,p,b,+,p,s,)/2,成交效用：卖方,U,1,=,p-v,s,买方,U,2,=,v,b,p,;,不成交,:0,双方完全理性,(,最大化自己期望效用,).,以上为双方共同知识,.,18/80,卖方报价,p,s,p,s,(,v,s,),买方报价,p,b,p,b,(,v,b,),双方战略,战略组合,(,p,s,(,v,s,),p,b,(,v,b,),何时组成均衡？,定义在,0,，,1,区间上、取值也在,0,，,1,区间上非减函数,.,不完全信息静态博弈（静态贝叶斯博弈）,贝叶斯纳什均衡,单向改变战略不能提升自己效用,.,信息非对称（不完全信息）,模型假设与建立,19/80,均衡条件,详细战略,(,函数,),形式不一样，均衡就可能不一样,.,单一价格战略,卖方：,买方：,双方战略互为最优反应，所以组成,贝叶斯纳什均衡,！,模型假设与建立,20/80,单一价格战略效率为,x,0.5,效率最大,(3/4),对给定,(,v,s,v,b,),，当,v,s,x,j,=1-,x,i,时，,i,(x),x,i,-,i,(,x,i,-,x,j,)=,i,-(2,i,-1),x,i,关于,x,i,系数非正,（过分“愧疚”）,效用函数,财富总额为,1,接收提议：甲乙所得,x,1,=1-,s,x,2,=,s,；不然：,x,1,=,x,2,=0,26/80,模型求解,假如不接收，则,x,1,=,x,2,=0;,U,1,(s)=,U,2,(s)=0.,若,s,1/2,则,x,2,x,1,乙最优反应,乙最优反应（给定,s,）,假如接收，则,x,1,=1-,s,x,2,=,s,.,若,s,1/2,则,x,2,x,1,U,2,(,s,),0,1/20,s,当,s,接收,;,不然，不接收,易知,(,s,1/2,二者一致,),27/80,模型求解,Case 1:,甲知道乙,2,若,s,1/2,则,x,2,x,1,甲决议,s,=1/2,时到达最大值,1/2,甲决议,(,只需考虑乙接收情形,),若,s,1/2,则,x,2,x,1,但,s,均衡,:,(,s,*,接收,),s,*,严格小于,50%;,是乙“愤恨”系数,2,增函数,.,28/80,模型求解：甲决议,Case 2:,甲不知道乙,2,但知道,2,分布,F,(,2,),若,s,1/2,则,x,2,x,1,甲决议,若,s,1/2,则,x,2,x,1,U,1,(s)=,1,-s-,1,(,2,s-,1,),同前,期望效用,乙接收概率,s,*,29/80,模型解释,甲永远不会提出大于,/,方案,s,乙拒绝过小方案,s,很好地解释了实际中最终通牒博弈,.,乙接收概率随,s,增加不减,参考文件,30/80,11.5,效益合理分配,例,甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作赢利,7,元，,甲丙合作赢利,5,元，乙丙合作赢利,4,元，,三人合作赢利,11,元,.,又知每人单干赢利,1,元,.,问三人合作时怎样分配赢利？,记甲乙丙三人分配为,解不唯一,(5,，,3,，,3),(4,，,4,，,3),(5,，,4,，,2),31/80,(1),Shapley,合作对策,I,v,n,人合作对策，,v,特征函数,n,人从,v,(,I,),得到分配，满足,v,(,s,),子集,s,赢利,32/80,公理化方法,s,子集,s,中元素数目，,S,i,包含,i,全部子集,由,s,决定“贡献”权重,Shapley,值,i,对合作,s,“贡献”,Shapley,合作对策,33/80,三人,(,I,=1,2,3),经商中甲分配,x,1,计算,1/3 1/6 1/6 1/3,1 1 2 1 3,I,1 7 5 11,0 1 1 4,1 6 4 7,1/3 1 2/3 7/3,x,1,=13/3,类似可得,x,2,=23/6,x,3,=17/6,1 2 2 3,34/80,合作对策应用,污水处理费用合理分担,20km,38km,河流,三城镇地理位置示意图,1,2,3,污水处理，排入河流,.,三城镇可单独建处理厂，或联合建厂,(,用管道将污水由上游城镇送往下游城镇,).,Q,1,=5,Q,3,=5,Q,2,=3,Q,污水量，,L,管道长度,建厂费用,P,1,=73,Q,0.712,管道费用,P,2,=0.66,Q,0.51,L,35/80,污水处理,5,种方案,1,）单独建厂,总投资,2,）,1,2,合作,3,）,2,3,合作,4,）,1,3,合作,总投资,总投资,合作不会实现,36/80,5,）三城合作总投资,D,5,最小,应联合建厂,建厂费：,d,1,=73,(5+3+5),0.712,=453,12,管道费：,d,2,=0.66 5,0.51,20=30,23,管道费：,d,3,=0.66(5+3),0.51,38=73,D,5,城,3,提议：,d,1,按,5:3:5,分担,d,2,d,3,由城1,2担负,城,2,提议：,d,3,由城1,2按,5:3,分担,d,2,由城,1,担负,城,1,计算：,城3,分担,d,1,5/13=174,C,(3),城2,分担,d,1,3/13+,d,3,3/8,=132,C,(1),不一样意,!,D,5,怎样分担？,37/80,特征函数,v,(,s,),联合,(,集,s,),建厂比单独建厂节约投资,三,城从,节约投资,v,(,I,),中得到分配,Shapley,合作对策,38/80,计算,城1从,节约投资中得到分配,x,1,1 1 2 1 3 I,0 40 0 64,0 0 0 25,0 40 0 39,1 2 2 3,1/3 1/6 1/6 1/3,0 6.7,0 13,x,1,=19.7,城,1,C,(1)-,x,1,=,210.4,城2,C,(2)-,x,2,=,127.8,城3,C,(3)-,x,3,=,217.8,三城在总投资,556,中分担,x,2,=32.1,x,3,=12.2,x,2,最大，怎样解释？,39/80,优点：,公正、合理，有公理化基础,.,如,n,个单位治理污染,通常知道第,i,方单独治理投资,y,i,和,n,方共同治理投资,Y,及第,i,方不参加时其余,n,-1,方投资,z,i,(,i,=1,2,n,).,确定共同治理时各方分担费用,.,其它,v,(,s,),均不知道,无法用,Shapley,合作对策,求解,Shapley,合作对策小结,若定义特征函数为合作赢利,(,节约投资,),，则有,缺点：,需要知道全部合作赢利,即要定义,I,=1,2,n,全部子集,(,共,2,n,-1,个,),特征函数，实际上常做不到,.,40/80,设只知道,无,i,参加时,n-,1,方合作赢利,全体合作赢利,求解合作对策其它方法,例,.,甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作赢利,7,元，,甲丙合作赢利,5,元，乙丙合作赢利,4,元，三人,合作赢利,11,元,.,问三人合作时怎样分配赢利？,41/80,（,1,）协商解,1,1,将剩下赢利 平均分配,模型,以,n-,1,方合作赢利为下限,求解,x,i,下限,42/80,（,2,）,Nash,解,为现实状况点（谈判时威慑点）,在此基础上“均匀地”分配全体合作赢利,B,模型,平均分配赢利,B,2,）,Nash,解,1,）协商解,43/80,（,3,）最小距离解,模型,第,i,方边际效益,若令,3,）最小距离解,1,）协商解,44/80,（,4,）满意解,d,i,现实状况点,(,最低点,),e,i,理想点,(,最高点,),模型,4,）基于满意度解,1,）协商解,45/80,（,5,）,Raiffi,解,与协商解,x,=(5,4,2),比较,46/80,求解合作对策,6,种方法（可分为三类）,Shapley,合作对策,A,类,B,类,协商解,Nash,解,最小距离解,满意解,d,i,现实状况,e,i,理想,B,类,4,种方法相同,47/80,例：有一资方,(,甲,),和二劳方,(,乙,丙,),仅当资方与最少一劳方合作时才赢利,10,元，应怎样分配该赢利？,Raiffi,解,C,类,48/80,B,类：,计算简单，便于了解，可用于各方实力相差不大情况；普通来说它偏袒强者,.,C,类：,考虑了分配上下限，又吸收了,Shapley,思想，在一定程度上保护弱者,.,A,类：,公正合理；需要信息多，计算复杂,.,求解合作对策三类方法小结,49/80,11.6,加权投票中权力度量,背景,“,一人一票”,显示投票和表决公正,.,股份制企业每位股东投票和表决权大小由所占有,股份,多少决定,.,一些国家、地域议会、政府产生，由所属州、县等各个区域推出代表投票决定,.,代表投票权重取决于所代表区域,人口,数量,.,经济或政治机构权力分配,50/80,背景,经典案例,:,美国总统选举实施选举人制度,美全国,50,个州和华盛顿特区共,538,张,选举人票,.,获选举人票数,二分之一以上,总统候选人当选总统,.,各州,选举人票数,与该州在国会参、众议员数相等,.,参议员每州两位，众议员人数由各州,人口百分比,确定,.,各州人口悬殊巨大使,各州选举人票数相差很大,.,(,如加利福尼亚州选举人票,55,张，阿拉斯加州只,3,张,),51/80,背景,经典案例,:,美国总统选举实施选举人制度,总统候选人在各州内进行普选，取得,相对多数,选票候选人得到该州,全部选举人票,.,48,个州和华盛顿特区都实施“,胜者全得,”：,在加利福尼亚州以,微弱多数,普选获胜总统候选人可得到,全部,55,张,选举人票,.,若有几个人口多州如此，在选举人投票中就可能使各州,累计得票最多候选人,反而不能获胜,.,选举结果违反,全国多数人,意愿,.,布什与戈尔进行竞选中，戈尔最终败给布什！,52/80,问题,由若干区域,(,如省、县等,),组成机构中，每区代表数量按照人口百分比分配，进行投票选举和表决时，每区全体代表投相同票,.,每区各派一位代表,(,投票人,),，按照他们所代表各区人口百分比赋予投票权重,.,怎样度量每位代表投票对最终止果影响力,(,权力,).,介绍两种合理、度量权力数量指标,.,经过实例给出它们应用,.,调整投票人权重使其权力大致与代表人口成百分比,.,加权投票中权力度量,背景,53/80,加权投票与获胜联盟,例,1,一县,5,区,(A,B,C,D,E,),人口为,60,20,10,5,5,(,千人,).,每区一位代表按人口百分比分配其投票权重为,12,4,2,1,1.,按,简单多数规则,(,权重之和超出总权重二分之一,),决定投票结果,.,将,A,区分成人口相等,3,个子区,A1,，,A2,，,A3,每区代表投票权重为,4,，,4,，,4,，,4,，,2,，,1,，,1,决定投票结果区域集合,：,A1,，,A2,，,A3,A1,A2,B,A1,A3,C,D,A1,B,C,E,A1,A3,B,D,，,A,区代表是,独裁者,(,能决定投票结果,),其它代表都是,傀儡,.,改革,54/80,加权投票与获胜联盟,加权投票系统,投票人集合,N,=A,B,C,(,n,人,),权重,w,1,w,2,w,n,定额,q,投赞成票投票人权重之和,q,时决议经过,.,w,=,w,1,+,w,2,+w,n,，普通,w,/2,w,j,则,k,i,k,j,.,58/80,Shapley,权力指标,S,(4),=3;2,1,1,例,2,3,位投票人,全排列,:ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA,主任,A,教授,B,学生,C,加权投票系统,ABC:,从,A,增至,AB,时,AB,变为获胜联盟,ACB:,从,A,增至,AC,时,AC,变为获胜联盟,BCA:,从,BC,增至,BCA,时,BCA,变为获胜联盟,A,B,C,A,C,B,B,A,C,BC,A,C,A,B,CB,A,BAC:,从,B,增至,BA,时,BA,变为获胜联盟,A,下有,4,条横线，,B,C,下各有,1,条横线,Shapley,指标（,4,，,1,，,1,）,（,4/6,1/6,1/6,）,CAB:,CBA:,归一化,59/80,Shapley,权力指标,写出投票人共,n,!,个全,排列,;,对每一个排列,由左向右,依次检验，若某位投票人加入时该集合变成获胜联盟，称该投票人为,决定者,(Pivot);,将每位投票人在全部排列中成为,决定者次数,除以,n,!,定义为他们,Shapley,权力指标,.,=,/,n,!,=(,1,2,n,),n,人加权投票系统,S,(4),=3:2,1,1,例,2,W,=,（,AB,AC,ABC,）,=,(,4/6,1/6,1/6,),B,和,C,对称,2,=,3,60/80,Shapley,权力指标,例,3,某股份企业,4,个股东分别持有,40%,30%,20%,10%,股份,企业决议需经持有半数以上股份股东同意才可经过,求,4,个股东在企业决议中,Shapley,指标,.,4,个股东,A,B,C,D,加权投票系统,S,=6;4,，,3,，,2,，,1,A,B,C,D,有,4!=24,个全排列，找出,决定者,，下划横线：,决定者次数,=(10,6,6,2),=(5/12,3/12,3/12,1/12),W,m,=(AB,AC,BCD,）,B,和,C,对称,2,=,3,A,B,CD A,B,DC A,C,BD A,C,DB AD,B,C AD,C,B B,A,CD B,A,DC,BC,A,D BC,D,A BD,A,C BD,C,A C,A,BD C,A,DB CB,A,D CB,D,A,CD,A,B CD,B,A DA,B,C DA,C,B DB,A,C DB,C,A DC,A,B DC,B,A,保留,B,在,C,之前,12,个排列统计,A,B(C),D,为决定者次数,.,简化,61/80,Banzhaf,权力指标,S,(4),=3;2,1,1,例,2,Shapley,指标,=,(,4/6,1/6,1/6,),W,=(AB,AC,ABC,）,获胜联盟,AB:,因为,A,加入才成为获胜联盟,因为,B,加入才成为获胜联盟,AC:,因为,A,加入才成为获胜联盟,因为,C,加入才成为获胜联盟,ABC:,因为,A,加入才成为获胜联盟,AB,AC,A,BC,A,下有,3,条横线，,B,C,下各有,1,条横线,Banzhaf,指标（,3,，,1,，,1,）,（,3/5,1/5,1/5,）,归一化,62/80,Banzhaf,权力指标,写出投票人,获胜联盟集,W,;,对每一个,获胜联盟,检验,每位投票人是否,决定者,;,将每位投票人在全部,获胜联盟,中成为,决定者次数,归一化,定义为,Banzhaf,权力指标,=(,1,2,n,).,n,人加权投票系统,例,3,4,个股东,A,B,C,D,加权投票系统,S,=6;4,3,2,1,W,=,（,AB,AC,ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD,）,AB,AC,A,BC,AB,D,AC,D,BCD,ABCD,=,（,5,，,3,，,3,，,1,）,=(5/12,3/12,3/12,1/12),=(5/12,3/12,3/12,1/12),归一化,63/80,Banzhaf,指标,Shapley,指标,投票人全,排列,对排列,由左向右,检验,决定者,统计每人在全部排列中决定者次数,投票人,获胜联盟集,对,获胜联盟,检验,决定者,统计每人在全部,获胜联盟,中决定者次数,每个,排列中有且只有一个,决定者,每个,组合中没有或有,(,几个,),决定者,(,=,/,n,!),已归一化,需,归一化才得到,都满足度量权力数量指标应该含有性质,.,64/80,加权投票与权力指标应用,例,4,拳击比赛设,2,个,5,人裁判组,每,人,一票,.,若第,1,组以,5:0,或,4:1,判选手甲胜,则甲胜,;,若以,3:2,判甲胜,则第,2,组再判,;,除非第,2,组以,0:5,或,1:4,判甲负,其它情况最终都判甲胜,.,将以上裁判规则用加权投票系统表示,;,计算系统,Shapley,指标和,Banzhaf,指标,.,设两组,10,人同时裁判,组成,N,=A,A,A,A,A,B,B,B,B,B,极小获胜联盟,W,m,=,3A2B,S,=,q;a,a,a,a,a,1,1,1,1,1,(4A,2A4B),第,1,组,5,人权重各,2,第,2,组人权重各,1,按简单多数规则执行,.,a,=2,q,=8,65/80,例,4,极小获胜联盟,W,m,=,3A2B,(4A,2A4B),一个,B,在全部排列中决定者次数,/10,！,(3A1B),B,(2A3B),(2A3B),B,(3A1B),一个,AShapley,指标,=(0.1365,0.1365,0.0635,0.0635),计算,S,=8;2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,Shapley,指标,一个,BShapley,指标,只需考查,Shapley,指标,66/80,例,4,计算,S,=8;2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,Banzhaf,指标,考查,A,，,B,可能成为决定者那些获胜联盟类型和个数,获胜联盟类型,4,A,4,A,1B,3,A,2,B,3,A,3B,2,A,4,B,2,A,5B,联盟个数,5,25,100,100,50,10,A,为决定者次数,20,100,300,300,100,20,B,为决定者次数,0,0,200,0,200,0,A,为决定者次数与,B,为决定者次数之比,840:400,=(0.1355,0.1355,0.0645,0.0645),=(0.1365,0.1365,0.0635,0.0635),w,=(0.1333,0.1333,0.0667,0.0667),对比,总和,840,总和,400,67/80,例,5,“,团结就是力量”吗？,40,位议员组成议会,“,民主党,”(M)11,席,“,共和党,”(G)14,席,独立人士,(D)15,席,投票采取简单多数规则,21,票经过,.,在,独立,和党派,结盟,情况下计算议员,Shapley,指标,.,1.,独立,投票系统,S,(1),=21;1,1,1,每位议员,Shapley,指标相等,：,i,=1/40,i,=1,40,“,民主党,”,、“共和党,”,、独立人士议员,Shapley,指标：,M,=,11/40=0.275,G,=,14/40=0.350,D,=,15/40=0.375,经过,党派,结盟能加强权力吗,?,68/80,2.“,民主党,”(M)11,位议员结盟系统,S,(2),=21;,11,1,1,例,5,“,团结就是力量”吗？,计算,M,29,个,1,M,M,加入,成为决定者,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30,M,=,11/30=0.367,在余下,1-11/30=,19/30,中,G,和,D,Shapley,指标按照,14:15,分配,G,=,(19/30),*,(14/29,),=0.306,D,=,0.327,对比,S,(1),=21;1,1,1:,M,=,0.275,G,=,0.350,D,=,0.375,考查,M,在,30,人中位置,:M+G(14)+D(15),“,民主党”结盟使,M,增加,G,D,降低,.,69/80,例,5,“,团结就是力量”吗？,3.“,共和党,”14,位议员也结盟,系统,S,(3),=21;11,14,1,1,15,个,1,M,G,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17,M,加 入位置,i,G,加入位置,j,D(,j,7,i,8,),M(,j,7,i,8,),D,M,G,G(,j,7),(,i,j,),对应左下方方格,共,272,个,(,除对角线,).,对角线,以下方格,G,在,M,之前加入,数,决定者,方格,:,M49,G100,D123,M,=49/272=0.180,G,=,100/272=0.368,D,=,0.452,70/80,例,5,“,团结就是力量”吗？,“,共和党”不结盟,“,共和党”结盟,“,民主党”不结盟,M,=,0.275,G,=,0.350,M,=,0.204,G,=,0.519,“,民主党”结盟,M,=,0.367,G,=,0.306,M,=,0.180,G,=,0.368,不论“民主党,”,是否结盟，“共和党,”,结盟总比单干好,.,“,共和党,”,一旦结盟，“民主党,”,不结盟更加好,.,从“民主党,”,角度看,应该尽可能保持大家都是单干局面,若率先结盟会诱使“共和党,”,也结盟,结果会败得很惨,.,从独立人士角度看,若只有“民主党,”,或“共和党,”,结盟自己都有损失,但若两个党均结盟,反而可得渔翁之利,.,71/80,两种权力指标公理化,Shapley,指标,1954,年提出,1975,年公理化,.,Banzhaf,指标,1965,年提出,1979,年公理化,.,投票人集合,I,=1,2,n,投票系统,S,=,q,:,w,1,w,2,w,n,Banzhaf,指标,Shapley,指标,I,任一子集,S,对应一个实值、单调函数,v,若,S,为获胜联盟,v,(,S,)=1,不然,v,(,S,)=0.,若,i,在,S,中是决定者,计算,i,为决定者次数,按排列计算,(,s,S,中人数,),72/80,两种权力指标公理化,i,=A,i,=B,i,=C,A B,A C,A B C,A B,A C,1/2,2,1/4,1/4,1/4,1/4,1/4,Bz,3/4,1/4,1/4,s,2,2,3,2,2,(,s,-1)!(,3,-s,)!/,3!,1/6,1/6,2/6,1/6,1/6,Sh,4/6,1/6,1/6,公理化,Bz,是,/2,n,-1,未归一化,=,(3/4,1/4,1/4),称,绝对,Banzhaf,指标,通常比,更能反应投票人权力真实性,.,用公理化公式计算例,2,S,(4),=3;2,1,1,指标,Sh,和,Bz,与定义得到,=(4/6,1/6,1/6),=(3/5,1/5,1/5),比较,.,73/80,两种权力指标概率解释,投票人对结果影响力,投票人能左右结果概率,.,例,2,S,(4),=3;2,1,1,R,A,事件“,A,能左右结果”,可解释为在各位投票人,独立地、以,1/2,概率投赞成或反对票,条件下,每位投票人能左右结果概率,.,Banzhaf,指标,B,C,均以,1/2,概率独立投赞成或反对票,B,B,投,赞成票,B,投,反对票,74/80,两种权力指标概率解释,例,2,S,(4),=3;2,1,1,p,每位投票人独立投赞成票概率,q,=1-,p,投反对票概率,Shapley,指标,p,在,0,1,均匀分布,A,B,C,能左右结果概率,可解释为在各位投票人,独立且,0,1,均匀概率分布地投赞成票,条件下，每位投票人能左右结果概率,.,75/80,调整加权投票系统,例,1,人口,60,20,10,5,5(,千人,),百分比,p,=(12,4,2,1,1),以,p,为权重简单多数规则下投票系统,S,=11;12,4,2,1,1,Banzhaf,指标,=(1,0,0,0,0),与,p,相差很大,.,投票人对结果权力与他所代表人口,百分比失调,.,调整加权投票系统,目标,:,寻求一组权重和定额,使,加权投票系统,S,=,q,;,w,1,w,2,w,n,Banzhaf,指标,与,人口百分比,p,相近似,且当,n,较大时近似程度很高,.,在权重不变而增大定额,q,情况下,借助分析极小获胜联盟方法,寻找,与,p,相近似加权投票系统,.,76/80,调整加权投票系统,例,1,人口,百分比,p,=(12,4,2,1,1),系统,S,=11;12,4,2,1,1,权重不变、增大定额,寻找,与,p,相近似投票系统,.,Banzhaf,指标,=(1,0,0,0,0),S,W,m,=(,1,2,3,4,5,),=(11/21,5/21,3/21,1/21,1/21),S,=15;12,4,2,1,1,这个,是人口百分比,p,一个不错近似,!,12,;12,4,2,1,1,13,;12,4,2,1,1,AB,AC,AD,AE,14,;12,4,2,1,1,AB,AC,ADE,15,;12,4,2,1,1,AB,ACD,ACE,16,;12,4,2,1,1,AB,ACDE,2,=,3,=,4,=,5,2,=,3,1,2,3,4,=,5,3,=,4,=,5,(1,0,0,0,0),77/80,调整加权投票系统,适当地定义,与,p,之间“,距离,”,(,与,p,看作,n,维空间两个点,),作为衡量近似程度指标,.,按照实际需要确定该指标一个“,阈值,”,1,）给出权重,w,和定额,q,初值,;,2,）编程计算,及,与,p,距离,距离小于阈值时停顿,不然转,3,；,3,）改变,w,和,q,转,2.,当,n,较大时调整,权重和定额,寻找,与,p,近似投票系统,.,每调整一次权重和定额,必须使,极小获胜联盟,结构有所改变,才有可能改进,.,78/80,任何一个结构和规则有明确定义投票系统都可用,极小获胜联盟,来描述,并常可表示成,加权投票系统,(,如例,4).,权力度量模型评述,存在即使确定了极小获胜联盟也无法表为加权投票系统情况,.,Hilliard,给出区分加权与非加权投票系统数学方法,并提供权重和定额算法，或者指明不存在权重和定额矛盾,教材参考文件,35.,两种权力指标经常给出,相同或近似,结果,从理论上区分它们数学公理既不直观,使用时也不具说服力,所以在应用中公理化方法,并不能处理选择哪个指标,问题,.,79/80,权力度量模型评述,道理上更浅显,轻易口头解释,更易为,实际工作者,接收,.,作为对策论中著名,Shapley,值方法副产品在,数学界,更有市场,.,适于,设计,投票系统,在代表还未选出之前假定全部投票意愿等可能性是合理,.,适于,评价,投票系统,代表已经选出,他们立场为众人所知,.,在加权投票系统中定义,量化权力指标,，是将数学应用于社会政治领域一个有意义范例,.,提出与,“,计量经济学,”,类似新学科,“,计量政治学,”,.,Shapley,指标,Banzhaf,指标,80/80,
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