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数学概念教学之途径
摘要
数学教学是数学思维活动的教学，Weistein(1986)等人研究指出，数学教学的成功与否很重要的因素在于教学活动是否符合学习者的心理活动。
本文应用Vygosky(1934)的概念发展过程之内化(internaliztation)及Piaget的同化与调适的认知发展的原理，参阅国内外概念教学的理论与实践研究和笔者多年的教学研究经验提出相关问题之实例说明。

关键字：数学思维活动，数学概念教学

一、前言
决定数学教学效果的主要因素就是：概念要明确，数学概念是数学学习的精髓，
是对数学现象的高度抽象和概括；数学概念教学主要功能，在促使学生由认识概念的理解概念，达到巩固概念和运用概念，整个教学历程，是老师对概念的根本目的。
　根据国内外学者及研究机构对现行的中小学数学教育认为下列主要的缺失：

（一）数学课程的安排太注重让学生「接收」别人的经验而忽略了鼓励学生「建构」有意义的自我经验部份。爲此，学生如同「影印机」，只会複製但不会应用知识以解决问题。

（二）教师的角色多定位为选择课题、根据课程表决定活动，传授数学知识、
解释、改成绩、及管理秩序。较缺乏多样化的课程活动选择，如何去帮助学生形成数学概念及瞭解数学学习的本质相差甚远。

（三）在概念的教学中过分重视定义的叙述、学习熟读定义、熟记定义，而不求深入地理解概念。

（四）在概念教学中，不注意概念的引入，只重视概念的应用，引入新概念的应用的过程，没能以学生原有认知结构为基础，对定义的表述一掠而过，匆忙转入练习，这样的结果造成学生难以形成数学认知能力。
　　　事实上数学科一直是高职科目最容易引起焦虑，也是最感到困难的。根据李虎雄等（1992）在「职业学校基础科学学习情况调查研究报告」中有关数学的学习情况指出，多数学校学生学习成就低落，各校之间差异很大；多数学生课后不複习也不作习题，学习态度令人担心；课程上的教学效果不甚理想，多数教师不很了解学生程度，学生在学习数学知识和运用数学知识时经常出现概念迷失

(misconception)的现象；根据国内外研究对于学习的概念迷失，要导正原来概念结构是要经过长期的概念诊断补救教学过程，有鑑于此，笔者认为整个概念教学过程应有必要了解学生的概念学习状况，协助学生掌握和巩固基础概念，培养学生分析、思维、解决问题能力是目前数学教育最重要探究问题。

二、数学概念教学
数学概念的教学过程就是要使学生认识知识概念的来源及意义，理解概念的性质及相互关係，会运用概念解决问题的过程。数学概念的教学法就是实现过程的手段。

　(一)数学概念的引入
根据认知心理学研究指出，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。在教学中，应当从实际事例和学生已有知识出发引入新观念。对于容易产生溷淆的概念，要引导学生用对比方法认识它们之间的区别和联繫。根据这个原则和数学教学的实际经验，数学概念的引入通常採取下述几种方式。

1、利用学生的生活经验
数学概念的来源，一般有两个方面，或是直接从客观事物的数量关係和空间形反映而得来的，或是在抽象的数学理论基础上经过多级抽象而得来的，所以数学概念既有抽象性，也都有它的具体内容。在引入新概念时，教师要注意已有的数学概念的具体经验，教师应注意收集和运用现实生活中能够反映数学概念的实际模型和事例，举出了实际事例，也说明这个概念的客观现实性。例如：平行线的实际事例，可以举出铁路轨道、直尺的边缘等。

2、在学生的原有基础上引入新概念
根据新旧知识联繫的原则，数学概念的引入，可以从种概念引入类概念，採用对比方法，利用逆反关係，运用概念的推广。

(1)从种概念引入类概念
数学的新概念也通常从已获得的数学概念引入。例如在「数线」一维座标系概念的基础上，可由增加内涵而直接引入二维的平面座标系。

(2)採用对比方法
对比方法是对于两种不同的对象，按照某些特性，根据它们的相似点或区别之处引入新观念。例如等式的概念和性质引入不等式的概念和性质。相似三角形概念可以从全等三角形概念中抽去各边相等这个属性来引入。

(3)利用逆反关係
有时根据逆反关係引入新观念，逆反关係包括，逆运算、反函数、逆反性问题等。逆运算关係如：加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、指数与对数、导数与原
函数等。反函数关係如：指数函数与对数函数，反三角函数与三角函数等。逆反性问题如：已知方程式画图形﹐已知图形求方程式等。

(4)运用概念的推广
概念的推广是从特殊到一般的发展过程，它也体现了概念之间的联繫。根据概念的发展过程，从旧概念引入新概念也是符合认识的发展。
例如：三角函数就是借助于解决下面的实际问题模型引入的：
修建某抽水时，要沿着斜坡铺设水管,从图一可知：

∠A的度数可以用测角器测出来，水管AB的长度也可以直接量出，它们是两个已知数，当水管铺到B处时，B离地面的高度BC不能直接量得，怎样利用上面的已知数求得BC呢？为了解决这个问题，我们引入三角函数的概念应用。

三、数学概念的形成与掌握

(一)数学概念的形成和掌握
数学概念是在教学过程中，使学生有系统地熟悉概念的内涵和外延，理解定义，完成分类而逐渐掌握的。学生形成概念的过程，实际上是综合地运用各种基本的逻辑方法的思维过程。教师要引导学生进行分析、综合、抽象、概括等方法来认识对象的本质属性，并且建立各概念之间的关係。

(二)为了使学生正确掌握概念，必须注意下列事项
1、概念与其定义是有区别的
数学概念是关于对象的数和形的某一类本质属性的整体的反映。
概念的定义只能给出被定义对象的最显着的、最基本的本质属性，并且要求用最简短的词句来表达，通常是指出这概念的种概念和类特徵。
定义显然是概念的最重要的组成部分，但所反映的本质属性还是不完整的,以下列两教学例题加以说明；(i)例如三角函数概念的产生过程，实质上就是给出了这样的一个构造程序：
①建立座标系②计算∠θ终边上一点P(X，Y)到原来的距离r；③作r/y、r/x、x/r、x/y、y/y四个比；④分别给出四个比的名称、⑤给出三角函数的定义。在具体教
学时，必须揭示出三角函数的产生过程，这样易于接受和掌握、如sin30°的计算过程：建立图二所示的座标系，在30°角的终边上任取一点P(X，Y)，显然，p点到0的距离r＝2y，所以sin30°＝y/r＝y/2y＝½

(ii)圆的概念不仅反映其定义：“圆周上的点到圆心有相等的距离”所描述的本质属性，并且还包括一系列其他本质属性：“圆既是轴对称图形”，“同一圆内相等的弦所对的劣弧相等”等等。
概念的本质属性中有许多是可以由定义推导的，但是也有特殊的例外。如a，b都是正实数，可以证明(a＋b)/2≧√ab这是一切正实数的本质属性，但它需要另外证明，并不是定义直接推导出来。

2、要使学生认识定理与概念的定义的关係
在数学教材中除了定义以外还用定理来反映概念的本质属性。性质定理是从定义推导而得来的。判定定理实际上是与定义等价的数学命题。存在定理是用逻辑推理来说明所定义的对象是确实存在的。对概念下定义以后，指出其存在性，可以使学生明确每个概念都是客观现实反映。例如在用不循环的无线小数来定义无理数以后，可以用证明√2不是有理数的方法来证明确实有这样的小数存在。在给出多边形的定义以后，就应该讨论它的作图方法，如用分圆周围n等分的方法，以证明正n边形是确实存在的。

3、要使学生正确理解并能运用数学概念的名称和符号
因为数学中计算、推理、证明等多数是通过抽象的术语和符号来实现的，所以教师在讲解定义时，要把关键和必要词句交代清楚。例如学生往往将正弦函数概念的符号“sin”看成一个数，从而得出如下的错误结果
　　　　　sin(30°＋45°)＝sin30°＋sin45°
这一点教师在教学上要加以留意！

4、概念的巩固和发展
①引出新概念后让学生做一些巩固练习，例如在给出正弦函数的概念以后为了让学生从本质上掌握还一概念，可让他们解答下列问题
（i）在Rt△ABC中∠C为直角，如果∠A＝60°那麽∠A的对边与斜边的比值是多少？
（ii）如图三∠xoy＝45°试求sin45°的值
（iii）如图四在Rt△ABC中∠C为直角﹐BC＝a，AC＝b则sinA＝ ，
sinB＝ ， sinA＋sinB＝
y

②举反例加深理解概念
对于数学概念学习除从正面来行强化记忆、学习之外也可从反面来加深对它的理解，如为了让学生从根本上掌握正弦函数符号的意义，不再出现类似下面的错误：
sin(A＋B)＝sinA＋sinB
可举反例如下：sin30°＝½，sin60°＝√3/2，
sin(30°＋30°)＝√3/2而sin30°＋sin30°＝½＋½＝1
故sin(30°＋30°)≠sin30°＋sin30°

③注意概念之间的联系，在相互联系中把握概念
在学习了四个基本三角函数概念之后，应从它们的本质是比值这一根本属性出发来加深对它们的认识为达到此目的可让同学们熟练掌握以下几个关係式
(I) sinA＝cos(90°－A)，cosA＝sin(90°－A)，
tanA＝cot(90°－A)，cotA＝tan(90°－A)；
(II)sinA＋cosA＝1，tanA×cotA＝1
(III)tanA＝sinA/cosA

④防止概念的“负迁移”
　　由于概念之间具有内容形式上的共同因素，使得学生对一个问题的认识影响对另一些问题的认识，这在心理学中叫做概念的迁移。上述这种概念的迁移现象起着积极作用时，叫做正迁移，反之，起着消极作用的叫做负迁移。例如：学生发生 log(A＋B)＝logA＋logB
sin(A＋B)＝sinA＋sinB
这样概念溷淆的错误，这与c (a＋b)＝ca＋cb(乘法分配性)
概念的负迁移现象有关。这时要向学生说明：乘法分配律只适用于数量关係，而log(常用对数)、sin(正弦函数)是“符号”不是“数”因此不适用。因此，正确、有效地利用概念的正迁移，就能举一反三，触类旁通，并且要善于发现由于概念负迁移的作用所可能发生的概念溷淆的错误，及时予以纠正，从而使学生能明辨是非。

(三)要教会学生整理知识，使知识系统化
任何一门科学都是一系列基本概念和规律的知识体系。数学根据概念和定理的互
相联繫而构成数学知识体系。为了使学生认识概念间的关係。一般是把概念分类或者比较概念的内涵和外延，找出他们的共同点和不同点。学生只有把新概念内入一定的知识体系，才能对概念有较完整而深刻的理解。教会学生整理知识，使知识系统化是有重要意义的。

四、结语
事实上，学生从事一项新学习任务时，他所带进学习裡的最重要的事项，其实是他的概念(concepts)。人们创造概念，他们赋予它们一组语言名称或符号，并且把他们直接或间接地教授给子女。透过概念的学习与传达，学生才能习获新知识，
并且据以产生新概念，用来传递人类文明中最宝贵的资产：「知识」。
「有意义的学习」是Ａusubel理论中的主要新理念：只要学习者有意义地将新知识与其已经知道的概念或命题(既有的旧知识和旧经验)相联结时，有意义的学习便告产生Ausubel (1963，1968；Ausubel，Novak＆Haneaian，1978)为了达成这项有意义的学习，必须具备三种条件：(引自余民宁；1997)

1.针对所要学习的材料，在本质上必须是有意义的：这种学习材料本身，即具有提供学习者以有意义方式联结其知识结的潜力。我们不可能针对无意义音节或随机撷取一段文章材料，即要求学习者能够产生有意义的学习。

2.学习者必须具备相关知识或概念，此即所谓的「先备知识」(prior knowledge)亦即，学习者必须事先具备足供联结新学习概念的有概念架构(conceptual framework)
。

3.学习者必须显示出有意义学习的心向：亦即，学习者必须为自己的学习负起责任，愿意主动尝试将新知识与既存的概念架构作联结，以建起有意义的理解。
因此：学习要能够变成一项有意义的活动，就必须建立在学习者的「先备知识」之上；在此前提下，学习者已具备有意义学习的心向，再加上使用有意义的教材，整个学习活动就容易被引导进入有意义的学习行为中，学习者也就容易将新学习的知识或概念，快速地与既有的旧知识与旧经验做联结，统整成新学习的概念。
Ausubel(1963，1968；Ausubel，Novak＆Haneaian，1978P.iv)，
在他的着作题铭中所描述的一段话所形容者：「如果必须把所有的教育心理学理论化约成一个原则的话，我宁愿这麽说:影响学习的一个最重要因素即是学习者已经知道的事(What the learner already knows)，只要确信「它」是什麽，并且以此做为教学的依据即可。」引自Ausubel、D、P(1986，1978P.iv)，他的意思是指「确信学习者已经知道的相关概念和命题是什麽」而言。因此，教师所面对的最大的大挑战，便是决定举出什麽样的例子、类比、 暗喻、模型或整套的知识，来充当这种沟通桥樑的工具。总之，一个良好的数学概念的教学，应包含一份优良提纲挈领的有利于教学内容的现代化，也有利于学生学好的基础知识和基本技能，有利于数学知识的综合应用。

五、参考文献
1.余民宁(1997)：有意义的学习。42~68页。商鼎文化出版社。台北市。
2.郑照明(1994)：认知心理学：理论与实践。台北加冠公司。
3.杨弢亮(1992)：中学数学教学法通论。117~125页。浙江教育出版社。
4.陈汉卿(2004)：高工数学课程实施启蒙例教学行动研究。教育部行动计划成果报告。
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