腐蚀,膨胀,细化算法.doc

第6章 腐蚀，膨胀，细化算法
今天所讲的内容属于一门新兴的学科：数学形态学(Mathematical Morphology)。说起来很有意思，它是法国和德国的科学家在研究岩石结构时建立的一门学科。形态学的用途主要是获取物体拓扑和结构信息，它通过物体和结构元素相互作用的某些运算，得到物体更本质的形态。在图象处理中的应用主要是：(1)利用形态学的基本运算，对图象进行观察和处理，从而达到改善图象质量的目的；(2)描述和定义图象的各种几何参数和特征，如面积、周长、连通度、颗粒度、骨架和方向性等。
限于篇幅，我们只介绍二值图象的形态学运算，对于灰度图象的形态学运算，有兴趣的读者可以阅读有关的参考书。在程序中，为了处理的方便，还是采用256级灰度图，不过只用到了调色板中的0和255两项。
先来定义一些基本符号和关系。
1.         元素
设有一幅图象X，若点a在X的区域以内，则称a为X的元素，记作a∈X，如图6.1所示。
2.         B包含于X
设有两幅图象B，X。对于B中所有的元素ai，都有ai∈X，则称B包含于(included in)X，记作B X，如图6.2所示。
3.         B击中X
设有两幅图象B，X。若存在这样一个点，它即是B的元素，又是X的元素，则称B击中(hit)X，记作B↑X，如图6.3所示。
4.         B不击中X
设有两幅图象B，X。若不存在任何一个点，它即是B的元素，又是X的元素，即B和X的交集是空，则称B不击中(miss)X，记作B∩X=Ф；其中∩是集合运算相交的符号，Ф表示空集。如图6.4所示。

图6.1     元素

图6.2     包含

图6.3     击中

图6.4     不击中
5.         补集
设有一幅图象X，所有X区域以外的点构成的集合称为X的补集，记作Xc，如图6.5所示。显然，如果B∩X=Ф，则B在X的补集内，即B Xc。

图6.5     补集的示意图
6.         结构元素
设有两幅图象B，X。若X是被处理的对象，而B是用来处理X的，则称B为结构元素(structure element)，又被形象地称做刷子。结构元素通常都是一些比较小的图象。
7.         对称集
设有一幅图象B，将B中所有元素的坐标取反，即令(x，y)变成(-x，-y)，所有这些点构成的新的集合称为B的对称集，记作Bv，如图6.6所示。
8.         平移
设有一幅图象B，有一个点a(x0,y0)，将B平移a后的结果是，把B中所有元素的横坐标加x0，纵坐标加y0，即令(x，y)变成(x+x0，y+y0)，所有这些点构成的新的集合称为B的平移，记作Ba，如图6.7所示。

图6.6     对称集的示意图

图6.7     平移的示意图
好了，介绍了这么多基本符号和关系，现在让我们应用这些符号和关系，看一下形态学的基本运算。
膨胀将像素添加到图像中物体的边缘；腐蚀则删除对象边缘的像素。添加或删除的像素数目与用于处理图像的结构元素的大小和形状有关。
6.1 腐蚀
把结构元素B平移a后得到Ba，若Ba包含于X，我们记下这个a点，所有满足上述条件的a点组成的集合称做X被B腐蚀(Erosion)的结果。用公式表示为：E(X)={a| Ba X}=X B，如图6.8所示。

图6.8     腐蚀的示意图
图6.8中X是被处理的对象，B是结构元素。不难知道，对于任意一个在阴影部分的点a，Ba 包含于X，所以X被B腐蚀的结果就是那个阴影部分。阴影部分在X的范围之内，且比X小，就象X被剥掉了一层似的，这就是为什么叫腐蚀的原因。
值得注意的是，上面的B是对称的，即B的对称集Bv=B，所以X被B腐蚀的结果和X被 Bv腐蚀的结果是一样的。如果B不是对称的，让我们看看图6.9，就会发现X被B腐蚀的结果和X被 Bv腐蚀的结果不同。

图6.9     结构元素非对称时，腐蚀的结果不同
图6.8和图6.9都是示意图，让我们来看看实际上是怎样进行腐蚀运算的。
在图6.10中，左边是被处理的图象X(二值图象，我们针对的是黑点)，中间是结构元素B，那个标有origin的点是中心点，即当前处理元素的位置，我们在介绍模板操作时也有过类似的概念。腐蚀的方法是，拿B的中心点和X上的点一个一个地对比，如果B上的所有点都在X的范围内，则该点保留，否则将该点去掉；右边是腐蚀后的结果。可以看出，它仍在原来X的范围内，且比X包含的点要少，就象X被腐蚀掉了一层。

图6.10   腐蚀运算
a=zeros(10,11)
a(2:4,7:10)=1
a(5:7,5:8)=1
a(7:9,2:5)=1
b=zeros(4)
b(2,3)=1
b(2,2:3)=1
b=zeros(4)
b(2,3)=1
b(3,2:3)=1
h=imerode(a,b)
imshow(h,'notruesize')
图6.11为原图，图6.12为腐蚀后的结果图，能够很明显地看出腐蚀的效果。

图6.11    原图

图6.12   腐蚀后的结果图
6.2 膨胀
膨胀(dilation)可以看做是腐蚀的对偶运算，其定义是：把结构元素B平移a后得到Ba，若Ba击中X，我们记下这个a点。所有满足上述条件的a点组成的集合称做X被B膨胀的结果。用公式表示为：D(X)={a | Ba↑X}=X B，如图6.13所示。图6.13中X是被处理的对象，B是结构元素，不难知道，对于任意一个在阴影部分的点a，Ba击中X，所以X被B膨胀的结果就是那个阴影部分。阴影部分包括X的所有范围，就象X膨胀了一圈似的，这就是为什么叫膨胀的原因。
同样，如果B不是对称的，X被B膨胀的结果和X被 Bv膨胀的结果不同。
让我们来看看实际上是怎样进行膨胀运算的。在图6.14中，左边是被处理的图象X(二值图象，我们针对的是黑点)，中间是结构元素B。膨胀的方法是，拿B的中心点(映射后)和X上的点及X周围的点一个一个地对，如果B上有一个点落在X的范围内，则该点就为黑；右边是膨胀后的结果。可以看出，它包括X的所有范围，就象X膨胀了一圈似的。

图6.13   膨胀的示意图

图6.14   膨胀运算

图6.15为图6.11膨胀后的结果图，能够很明显的看出膨胀的效果。
行腐蚀运算，即结构元素B为 。
图6.15   图6.11膨胀后的结果图
腐蚀运算和膨胀运算互为对偶的，用公式表示为(X B)c=(Xc B)，即X 被B腐蚀后的补集等于X的补集被B膨胀。这句话可以形象的理解为：河岸的补集为河面，河岸的腐蚀等价于河面的膨胀。你可以自己举个例子来验证一下这个关系。在有些情况下，这个对偶关系是非常有用的。例如：某个图象处理系统用硬件实现了腐蚀运算，那么不必再另搞一套膨胀的硬件，直接利用该对偶就可以实现了。
灰度膨胀和腐蚀的规则
运算
规则
膨胀
输出像素的值是输入像素所有相邻像素值的最大值，二值图像中，如果任何相邻像素的值为1，则输出像素的值设置为1
腐蚀
输出像素的值是输入像素所有相邻像素值的最小值，二值图像中，如果任何相邻像素的值为0，则输出像素的值设置为0

6.3 开
先腐蚀后膨胀称为开(open)，即OPEN(X)=D(E(X))。
让我们来看一个开运算的例子(见图6.16)：

图6.16开运算
在图16上面的两幅图中，左边是被处理的图象X(二值图象，我们针对的是黑点)，右边是结构元素B，下面的两幅图中左边是腐蚀后的结果；右边是在此基础上膨胀的结果。可以看到，原图经过开运算后，一些孤立的小点被去掉了。一般来说，开运算能够去除孤立的小点，毛刺和小桥(即连通两块区域的小点)，而总的位置和形状不变。这就是开运算的作用。要注意的是，如果B是非对称的，进行开运算时要用B的对称集Bv膨胀，否则，开运算的结果和原图相比要发生平移。图6.17和图6.18能够说明这个问题。

图6.17 用B膨胀后，结果向左平移了

图6.18   用Bv膨胀后位置不变
图6.17是用B膨胀的，可以看到，OPEN(X)向左平移了。图18是用Bv膨胀的，可以看到，总的位置和形状不变。
图6.19为图6.11经过开运算后的结果。

图6.19   图6.11经过开运算后的结果
形态学开运算完全删除了不能包含结构元素的对象区域，平滑了对象的轮廓，断开了狭窄的连接，去掉了细小的突出部分。
6.4 闭
先膨胀后腐蚀称为闭(close)，即CLOSE(X)=E(D(X))。
让我们来看一个闭运算的例子(见图6.20)：

图6.20   闭运算
在图6.20上面的两幅图中，左边是被处理的图象X(二值图象，我们针对的是黑点)，右边是结构元素B，下面的两幅图中左边是膨胀后的结果，右边是在此基础上腐蚀的结果可以看到，原图经过闭运算后，断裂的地方被弥合了。一般来说，闭运算能够填平小湖(即小孔)，弥合小裂缝，而总的位置和形状不变。这就是闭运算的作用。同样要注意的是，如果B是非对称的，进行闭运算时要用B的对称集Bv膨胀，否则，闭运算的结果和原图相比要发生平移。
图6.21为图6.11经过闭运算后的结果。

图6.21   图.611经过闭运算后的结果
你大概已经猜到了，开和闭也是对偶运算，的确如此。用公式表示为(OPEN(X))c=CLOSE((Xc))，或者(CLOSE(X))c =OPEN((Xc))。即X 开运算的补集等于X的补集的闭运算，或者X 闭运算的补集等于X的补集的开运算。这句话可以这样来理解：在两个小岛之间有一座小桥，我们把岛和桥看做是处理对象X，则X的补集为大海。如果涨潮时将小桥和岛的外围淹没(相当于用尺寸比桥宽大的结构元素对X进行开运算)，那么两个岛的分隔，相当于小桥两边海域的连通(对Xc做闭运算)。
形态学闭运算，将狭窄的缺口连接起来形成细长的碗口，并填充比结构元素小的洞。
在matlab中创建结构元素，使用strel函数；
strel(‘diamond’) 菱形结构元素；‘disk’圆形结构元素；
‘line’，线性结构元素；‘octagon’八角形结构元素等。

膨胀图像：使用imdilate函数。该函数接受两个主要变量：
(1) 要处理的输入图像(灰度图像，二值图像)
(2) 由strel函数返回的结构元素对象或定义结构元素领域的二值图像
例 bw=zeros(9,10);
Bw(4:6,4:7)=1
Se=strel(‘square’,3)
Bw2=imdilate(bw,se)

腐蚀图像使用imerode函数
例bw1=imread(‘circbw.tif’);
Se=strel(‘arbitrary’,eye(5));
Bw2=imerode(bw1,se)
Imshow(bw1)
Figure,imshow(bw2)

开运算：先腐蚀后膨胀，使用imopen函数。
开运算可以从图像中删除小对象，同时保持图像中大对象的形状和大小不变
例 i=imread(‘snowflakes.png’)
Se=strel(‘disk’,5)
I_open=imopen(I,se)
Imshow(i_open,[])

闭运算：使用imclose 函数
I=imread(‘circles.png’);
Se=strel(‘disk’,10)
I_close=imclose(I,se);
Imshow(I_close)

骨架提取：使用bwmorph函数，在不改变图像基本结构的情况下，将图像中的所有对象简化为线条表示。
Bw1=imread(‘circbw.tif’);
Bw2=bwmorph(bw1,’skel’,inf);
Imshow(bw2)