实变函数课程教学大纲.doc

《实变函数》课程教学大纲
 课程类型：学科专业必修课
总 学 时： 72                　学    分：4
适用对象：数学与应用数学专业本科生
先修课程：数学分析，复变函数
使用教材：《实变函数与泛函分析基础》，程其襄、张奠宙等编， 北京：高等教育出版社(第二版)，2003
参考书
1、周民强编，实变函数论，北京：北京大学出版社，2001
2、江泽坚、吴智泉，实变函数论，北京：人民教育出版社，1961.
3、郑维行、王声望编，实变函数与泛函分析概要（上册），北京：高等教育出版社，1980
课程性质、目的和任务
《实变函数论》是大学数学系的重要专业基础课之一，它是数学分析的延续和发展，它主要应用点集分析的方法建立n维欧氏空间中点集的Lebesgue测度理论和点集上定义的Lebesgue积分理论。通过这门课程的教学应使学生掌握近代抽象分析的基本思想，系统掌握Lebesgue测度和Lebesgue 积分理论，着重培养学生的思维能力和逻辑推理能力， 为进一步钻研现代数学数学理论打下基础。
二、教学基本要求
通过这门课程的教学应使学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论及其推导过程。 系统掌握Lebesgue测度和Lebesgue 积分理论，使学生能够以更高的视角看积分与微分，了解和掌握逐步深入地分析问题和解决问题的方法，提高分析问题和解决问题的能力, 培养抽象的思维能力，为进一步钻研现代数学数学理论打下基础。
三、教学内容及要求
第一章  集合
1．主要内容
   集合及其运算。集合的对等及其基数。可数集与不可数集。
2．基本要求
理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。掌握集之间的交、差、余运算。掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。理解集列的收敛、单调集列的概念。掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。理解伯恩斯坦定理，能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。
第二章  点集
1．主要内容
度量空间、n维欧氏空间。聚点、内点、界点。开集、闭集、完备集。直线上的开集、闭集及完备集的构造。
2．基本要求
理解n维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极限理论中的作用。理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。理解直线上开集、闭集、完备集的构造。理解康托集的构造、特性。
第三章  测度论
1．主要内容
外测度及其性质。Lebesgne可测集及其性质。可测集类。
2．基本要求
理解测度的意义。理解外测度的意义，掌握其有关性质。理解可测集的定义，掌握可测集的性质。了解并掌握不可测集的存在性这一结论。
第四章  可测函数
1． 主要内容
可测函数及其性质。叶果洛夫定理。可测函数的构造。依测度收敛。
2．基本要求
掌握可测函数的定义及等价定义。掌握可测函数的有关性质。理解简单函数的定义，掌握可测函数与简单函数的关系。掌握可测函数列的收敛点集和发散点集的表示方法。掌握叶果洛夫定理，鲁津定理。理解依测度收敛的意义，掌握依测度收敛与a·e收敛的联系与区别。
（五）积分论
1．主要内容
黎曼积分的简单回顾。勒贝格积分的建立和性质。积分的极限定理。乘积空间的测度，富比尼定理。有界变差函数。不定积分与绝对连续函数。
2．基本要求
了解黎曼可积的充要条件是被积函数几乎处处连续。理解勒贝格积分的定义及其建立过程。理解R积分与L积分的关系。理解L积分的性质，掌握L积分的绝对可积性和绝对连续性。掌握勒贝格控制收敛定理、列维定理、逐项积分定理、积分的可数可加性定理，法都引理。了解富比尼定理
四、学时分配
章节
内        容
学时
 1
集合（含习题课，下同）
6
 2
点集
10
 3
测度论
12
 4
可测函数
12
 5
积分论
14
 五、考核方式：闭卷考试。

教研室主任：　　　　　　　（签名）

分管系主任：　　　　　　　（签名）