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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,习题课,一、曲线积分计算法,二、曲面积分计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲线与曲面积分计算,第五章,第1页,一、曲线积分计算法,1.基本方法,曲线积分,第一类(对弧长),第二类(对坐标),(1)统一积分变量,转化,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2)确定积分上下限,第一类:下小上大,第二类:下始上终,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第2页,(1)利用对称性简化计算;,(2)利用积分与路径无关,等价条件,;,(3)利用格林公式(注意,加辅助线技巧,);,(4)利用斯托克斯公式;,(5)利用两类曲线积分联络公式.,2.基本技巧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第3页,二、曲面积分计算法,1.基本方法,曲面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),转化,二重积分,(1)统一积分变量 代入曲面方程,(2)积分元素投影,第一类:一直非负,第二类:有向投影,(3)确定二重积分域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第4页,2.基本技巧,(1)利用对称性简化计算,(2)利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面技巧,(辅助面普通取平行坐标面平面),(3)两类曲面积分转化,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第5页,1.计算,其中,L,为圆周,方法1:,用参数方程计算,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式=,第6页,1.计算,其中,L,为圆周,方法2:,利用极坐标,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第7页,例2.,计算,其中,为曲线,解:,利用轮换对称性,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第8页,其中,L,为摆线,上对应,t,从 0 到 2,一段弧.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.计算,第9页,其中,由平面,y=z,截球面,解:,曲线,参数方程,故,原式=,从,z,轴正向看沿逆时针方向.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.计算,第10页,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第11页,例5.,验证,在右半平面(,x,0,)内存在原函,数,并求出它.,证:,令,则,由,定理 2,可知存在原函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第12页,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第13页,思索与练习,1.设,且都取正向,问以下计算是否正确?,提醒:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第14页,2.设,提醒:,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,第15页,例6.,计算,其中,L,是沿逆,时针方向以原点为中心,解法1,令,则,这说明积分与路径无关,故,a,为半径上半圆周.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第16页,解法2,它与,L,所围区域为,D,(利用格林公式),则,添加辅助线段,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第17页,7.计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,顺时针方向。,其中,L,为以原点为中心,a,为半径上半圆周,解法,第18页,计算,其中,L,为上半圆周,解:,沿逆时针方向.,8.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第19页,求力,沿有向闭曲线,所作,功,其中,为平面,x+y+z=,1,被三个坐标面所截成三角形整个,提醒:,方法1,边界,从,z,轴正向看去沿,顺时针方向,.,利用轮换对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9.,第20页,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第21页,斯托克斯(Stokes)公式,第22页,设三角形区域为,方向取,上侧,则,方法2,利用斯托克斯公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第23页,思 考 题,1)二重积分是哪一类积分?,答:,第一类曲面积分特例.,2)设曲面,问以下等式是否成立?,不对!,对坐标积分与,侧相关,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第24页,其中,为柱面,得位于第一卦线部分,.,解:,外侧,被平面,z=,0,z=,3,所截,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,计算,：,外侧，垂直于,oxy,面,：,为前侧,第25页,故,第26页,其中,为圆柱面,被平面,x+z,=2 和,z,=0所截出部分。,解:,2.计算,作辅助面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第27页,其中,为下半球面,上侧。,解:,3.计算,作辅助面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第28页,其中,为锥面,介于,z=,0 及,z=h,之间部分,下侧.,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法1,取,例4.4,利用Gauss 公式计算积分,上侧,所围区域为,第29页,而,利用对称性注意,第30页,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第31页,其中,为锥面,介于,z=,0 及,z=h,之间部分,下侧.,则法向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2,例4.4,利用Gauss 公式计算积分,为下侧,第32页,第33页,设,为曲面,取上侧,求,解,:,取 下侧,用柱坐标,用极坐标,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.5.,第34页,6,设,是一光滑闭曲面,所围立体,体,是 外法线向量与点(,x,y,z,)向径,试证,证:,设,单位外法向量为,则,夹角,积为,V,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第35页,内容小结,1.高斯公式及其应用,公式:,应用:,(1)计算曲面积分,(非闭曲面时注意添加辅助面技巧),(2)推出闭曲面积分为零充要条件:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第36页,思索与练习,所围立体,判断以下演算是否正确?,(1),(2),为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第37页,例7.,设,是曲面,解:,取足够小正数,作曲面,取下侧,使其包在,内,为,xoy,平面上夹于,之间部分,且取下侧,取上侧,计算,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第38页,第二项添加辅助面,再用高斯公式,计算,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第39页,例8.,计算曲面积分,其中,解:,思索:,本题,改为椭球面,时,应怎样,计算?,提醒:,在椭球面内作辅助小球面,内侧,然后用高斯公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第40页,例9.,证实:,设,(常向量),则,单位外法向向量,试证,设,为简单闭曲面,a,为,任意固定,向量,n,为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第41页,例10.,计算曲面积分,中,是球面,解:,利用对称性,用重心公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第42页,*例11.,置于原点,电量为,q,点电荷产生场强为,解:,计算结果与仅原点有点电荷事实相符.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第43页,例12.,设,L,是平面,与柱面,交线,从,z,轴正向看去,L,为逆时针方向,计算,解:,记,为平面,上,L,所围部分上侧,D,为,在,xoy,面上投影.,由,斯托克斯公式,公式 目录 上页 下页 返回 结束,第44页,D,形心,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第45页,高斯,(1777 1855),德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列伟大数学家,他数学成就遍布各个领域,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面都有一系列开创,性贡献,他还十分重视数学应用,地测量学和磁学研究中创造和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等.,他在学术上十分慎重,标准:,代数、非欧几何、微分几何、超几何,在对天文学、大,恪守这么,“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.,第46页,设在右半平面,x,0 内,力,组成力场,其中,k,为常数,证实在此力场中,场力所作功与所取路径无关.,提醒:,令,易证,F,沿右半平面内任意有向路径,L,所作功为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7,.,第47页,
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