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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等数学课件,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,第三节,两类问题:,在收敛域内,和函数,求 和,展 开,本节内容:,一、泰勒(Taylor)级数,二、函数展开成幂级数,展开函数为幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十二章,1/23,3/10/2025,高等数学课件,一、泰勒(Taylor)级数,其中,(,在,x,与,x,0,之间),称为,拉格朗日余项,.,则在,若函数,某邻域内含有,n,+1 阶导数,此式称为,f,(,x,),n,阶泰勒公式,该邻域内有:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2/23,3/10/2025,高等数学课件,为,f,(,x,),泰勒级数.,则称,当,x,0,=0,时,泰勒级数又称为,麦克劳林级数,:,反例:,设,若函数,某邻域内含有任意阶导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为,则对应麦氏级数为,3/23,3/10/2025,高等数学课件,定理1,.,各阶导数,则,f,(,x,)在该邻域内能展开成泰勒级数,条件,是,f,(,x,)泰勒公式中余项满足:,证实:,令,设函数,f,(,x,)在点,x,0,某一邻域,内含有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（泰勒中值公式）,充要,4/23,3/10/2025,高等数学课件,定理2.,若,f,(,x,)能展成,x,幂级数,则这种展开式是,唯一,且与它麦克劳林级数相同.,证:,设,f,(,x,)所展成幂级数为,则,显然结论成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5/23,3/10/2025,高等数学课件,二、函数展开成幂级数,1.直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在,x,=0 处值;,第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径,R,;,第三步 判别在收敛区间(,R,R,)内,是否,骤以下:,展开方法,直接展开法,利用泰勒公式,间接展开法,利用已知其级数展开式,为0.,函数展开,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6/23,3/10/2025,高等数学课件,例1.,将函数,展开成,x,幂级数.,解,:,其收敛半径为,对任何有限数,x,其余项满足,故,(,在0与,x,之间),故得级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7/23,3/10/2025,高等数学课件,例2.,将,展开成,x,幂级数.,解:,得级数:,其收敛半径为,对任何有限数,x,其余项满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8/23,3/10/2025,高等数学课件,类似可推出:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9/23,3/10/2025,高等数学课件,例3.,将函数,展开成,x,幂级数,其中,m,为任意常数.,解:,易求出,于是得级数,因为,级数在开区间(1,1)内收敛.,所以对任意常数,m,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/23,3/10/2025,高等数学课件,推导,则,推导 目录 上页 下页 返回 结束,为防止研究余项,设此级数和函数为,11/23,3/10/2025,高等数学课件,称为,二项展开式,.,说明：,(1),在,x,1,处收敛性与,m,相关.,(2)当,m,为正整数时,级数为,x,m,次多项式,上式,就是代数学中,二项式定理,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由此得,12/23,3/10/2025,高等数学课件,对应,二项展开式分别为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13/23,3/10/2025,高等数学课件,2.间接展开法,利用一些已知函数展开式及幂级数运算性质,例4.,将函数,展开成,x,幂级数.,解:,因为,把,x,换成,得,将所给函数展开成 幂级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,14/23,3/10/2025,高等数学课件,例5.,将函数,展开成,x,幂级数.,解:,从 0 到,x,积分,得,定义且连续,区间为,利用此题可得,上式右端幂级数在,x,1,收敛,所以展开式对,x,1,也是成立,于是收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,15/23,3/10/2025,高等数学课件,例6.,将,展成,解:,幂级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16/23,3/10/2025,高等数学课件,例7.,将,展成,x,1 幂级数.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,17/23,3/10/2025,高等数学课件,内容小结,1.函数幂级数展开法,(1)直接展开法,利用泰勒公式;,(2)间接展开法,利用幂级数性质及已知展开,2.惯用函数幂级数展开式,式函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18/23,3/10/2025,高等数学课件,当,m,=1,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,19/23,3/10/2025,高等数学课件,思索与练习,1.函数,处“,有泰勒级数,”与“,能展成泰勒级,数,”有何不一样?,提醒:,后者必需证实,前者无此要求.,2.怎样求,幂级数?,提醒:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,20/23,3/10/2025,高等数学课件,例3 附注,21/23,3/10/2025,高等数学课件,补充题,1.,将以下函数展开成,x,幂级数,解:,x,1 时,此级数条件收敛,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22/23,3/10/2025,高等数学课件,2.,将,在,x,=0处展为幂级数.,解:,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,23/23,3/10/2025,高等数学课件,
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