高中数学推理与证明14数学归纳法141数学归纳法北师大版.pptx

第1 1课时数学归纳法1.理解数学归纳法的原理.2.掌握数学归纳法在证明与正整数有关的数学命题时的操作步骤.3.掌握归纳、猜想、证明等探求数学问题的方法.1.数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.2.数学归纳法的证明步骤与基本原理(1)证明步骤:验证:当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时,命题成立;在假设当n=k(kN+,kn0)时命题成立的前提下,推出当n=k+1时,命题成立.根据可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.(2)基本原理:数学归纳法能保证命题对所有的正整数都成立.因为根据,验证了当n=1时命题成立;根据可知,当n=1+1=2时命题成立.由于n=2时命题成立,再根据可知,当n=2+1=3时命题也成立,这样递推下去,就可以知道当n=4,5,时命题成立,即命题对任意正整数n都成立.A.1B.2C.3D.4解析:数学归纳法的基本思想是先验证使结论有意义的最小的正整数n0,而不是直接取n0=1,在这里使结论有意义的最小的正整数n为3,故选C.答案:C题型一题型二题型三【例1】证明12-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(nN+).分析:用数学归纳法证明等式时要注意等式两边的项数随n怎样变化,即由n=k到n=k+1时,左右两边各增添哪些项.题型一题型二题型三证明:(1)当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-1(21+1)=-3,故左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(k1,kN+)时等式成立,即12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)成立,则当n=k+1时,左边=12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2+2(k+1)-12-2(k+1)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=(2k+1)(k+1)-4(k+1)2=(k+1)2k+1-4(k+1)=(k+1)(-2k-3)=-(k+1)2(k+1)+1,故当n=k+1时等式成立.根据(1)和(2),可知等式对任意正整数n都成立.题型一题型二题型三反思反思用数学归纳法证明恒等式时,关键要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关.由n=k到n=k+1时等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.题型一题型二题型三变式训练1】求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN+).证明:(1)当n=1时,左边=1+1=2,右边=211=2,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(k1,kN+)时等式成立,即(k+1)(k+2)(k+k)=2k13(2k-1),则当n=k+1时,左边=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=2k13(2k-1)(2k+1)2=2k+113(2k-1)2(k+1)-1=右边,故当n=k+1时等式成立.根据(1)和(2),可知等式对任意正整数n都成立.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思反思解决此类问题的基本思路是:先从观察入手,发现问题的特点,以形成解决问题的初步思路,再用归纳的方法进行试探,提出猜想,最后用数学归纳法给出证明.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三错因分析:本题证明形式上是数学归纳法,实际不是.因为在第二步的证明过程中没有利用归纳假设,而是直接利用等差数列的前n项和公式加以求解,这是不正确的.正解:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,命题成立.(2)假设当n=k(k1,kN+)时,命题成立,即1+5+9+(4k-3)=k(2k-1).则当n=k+1时,1+5+9+(4k-3)+(4k+1)=k(2k-1)+(4k+1)=2k2+3k+1=(2k+1)(k+1)=2(k+1)-1(k+1),故当n=k+1时命题成立.根据(1)和(2),可知命题对一切nN+都成立.1 2 3 4 51用数学归纳法证明1+a+a2+an+1 ,验证当n=1时等式的左边为()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3答案:C1 2 3 4 52.用数学归纳法证明12+32+52+(2n-1)2=n(4n2-1)的过程中,由n=k递推到n=k+1时,不等式左边增加的项为()A.(2k)2B.(2k+3)2C.(2k+2)2D.(2k+1)2答案:D 1 2 3 4 5A.当n=k+1时等式成立B.当n=k+2时等式成立C.当n=2k+2时等式成立D.当n=2(k+2)时等式成立解析:因为假设n=k(k2,且为偶数),所以下一个偶数为k+2,故选B.答案:B1 2 3 4 54用数学归纳法证明关于正整数n的恒等式时,当n=k时,表达式为14+27+k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时,需证的表达式为.解析:当n=k+1时,应将表达式14+27+k(3k+1)=k(k+1)2中的k更换为k+1.答案:14+27+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)21 2 3 4 5