圆锥曲线 2全.doc

§8.圆锥曲线方程 知识要点
一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义：
⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上：.
ii. 中心在原点，焦点在轴上：.
②一般方程：.
③椭圆的标准方程：的参数方程为（一象限应是属于）.
⑵①顶点：或.
②轴：对称轴：x轴，轴；长轴长，短轴长.
③焦点：或.
④焦距：.
⑤准线：或.
⑥离心率：.
⑦焦点半径：
i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则
ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则
由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”.
注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆.
⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和
⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.
⑸若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）. 若是双曲线，则面积为.

二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义：
⑴①双曲线标准方程：.
一般方程：.
⑵①i. 焦点在x轴上：
顶点： 焦点： 准线方程 渐近线方程：或
ii. 焦点在轴上：
顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .
②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c.
③离心率.
④准线距（两准线的距离）；通径.
⑤参数关系.
⑥焦点半径公式：对于双曲线方程
（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）
构成满足

⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.
⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.
.
⑺若P在双曲线，则常用结论
1：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
2：P到焦点的距离为m =;n，则P到两准线的距离比为m︰n. 简证： = .
三、抛物线方程.
3. 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：

图形

焦点

准线

范围

对称轴
轴
轴
顶点
（0，0）
离心率

焦点

注：①顶点.
②则焦点半径;则焦点半径为.
③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
④（或）的参数方程为（或）（为参数）.

(2006上海卷)已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。

解：.(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为
(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),
由
x=
得

x0=2x－1
y=
y0=2y－
由,点P在椭圆上,得,
∴线段PA中点M的轨迹方程是.
(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.
当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,
解得B(,),C(－,－),
则,又点A到直线BC的距离d=,
∴△ABC的面积S△ABC=
于是S△ABC=
由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.
∴S△ABC的最大值是.

双曲线
1..中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3：7。求这两条曲线的方程。

解：.设椭圆的方程为，双曲线得方程为，半焦距c＝
由已知得：a1－a2＝4
，解得：a1＝7，a2＝3
所以：b12＝36，b22＝4，所以两条曲线的方程分别为：
，

2．已知直线与双曲线交于、点。
（1）求的取值范围；（2）若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值；
（3）是否存在这样的实数，使、两点关于直线对称？若存在，
请求出的值；若不存在，说明理由。
解：（1）由消去，得（1）
依题意即且（2）
（2）设，，则
∵ 以AB为直径的圆过原点 ∴ ∴
但
由（3）（4），，
∴ 解得且满足（2）
（3）假设存在实数，使A、B关于对称，则直线与垂直
∴ ，即 直线的方程为
将代入（3）得
∴ AB中点的横坐标为2 纵坐标为
但AB中点不在直线上，即不存在实数，使A、B关于直线对称。

抛物线

例1 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标
解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=, y=,
又设点A，B，M在准线:x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，
则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,
∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)³(|AB|─)=
等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─)
由得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0
依题意|AB|=|x1─x2|=×==3,
∴k2=1/2, 此时x=(x1+x2)==
∴y= ±即M(,), N(,─)
一、一般弦长计算问题：
例1、已知椭圆，直线被椭圆C截得的弦长为，且，过椭圆C的右焦点且斜率为的直线被椭圆C截的弦长AB，
⑴求椭圆的方程；⑵弦AB的长度.
思路分析：把直线的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解.
解析：⑴由被椭圆C截得的弦长为，得，………①
又，即，所以………………………….②
联立①②得，所以所求的椭圆的方程为.
⑵∴椭圆的右焦点，∴的方程为：，
代入椭圆C的方程，化简得，
由韦达定理知，
从而，
由弦长公式，得，
即弦AB的长度为
点评：本题抓住的特点简便地得出方程①，再根据得方程②，从而求得待定系数，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。
二、中点弦长问题：
例2、过点作抛物线的弦AB，恰被点P平分，求AB的所在直线方程及弦AB的长度。
思路分析：因为所求弦通过定点P，所以弦AB所在直线方程关键是求出斜率，有P是弦的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长.
解法1：设以P为中点的弦AB端点坐标为，
则有，两式相减，得
又
则，所以所求直线AB的方程为，即.
解法2：设AB所在的直线方程为
由，整理得.
设，由韦达定理得，
又∵P是AB的中点，∴，∴
所以所求直线AB的方程为.
由 整理得，，则
有弦长公式得，.
点评：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长.
三、焦点弦长问题：
例3、（同例1、⑵）
另解：⑵∴椭圆的右焦点，∴的方程为： ，
代入椭圆C的方程，化简得，
由韦达定理知，
由过右焦点，有焦半径公式的弦长为.
即弦AB的长度为
点评：在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，通常应用韦达定理与弦长公式，若涉及到焦点弦长问题，则可利用焦半径公式求解，可大大简化运算过程.

焦点半径：
i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则
ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则
由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”.

例1. 已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．

解：设所求直线方程为．代入椭圆方程，整理得
　①
设直线与椭圆的交点为，，则、是①的两根，∴
∵为中点，∴，．∴所求直线方程为．

例2. 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．

解：如图所示，椭圆的焦点为，．
点关于直线的对称点的坐标为（－9，6），直线的方程为．
解方程组得交点的坐标为（－5，4）．此时最小．
所求椭圆的长轴：，∴，又，
∴．因此，所求椭圆的方程为．

例3. 已知椭圆及直线．
（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．

解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ，
即．，解得．
（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．
根据弦长公式得 ：．解得．方程为．