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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,第六章,不等式,第1页,1,6.2,均值不等式,考点,搜索,利用基本不等式证实不等式,利用主要不等式求最值,主要不等式在实际问题中应用,高考,猜测,在求函数最值和实际问题中利用主要不等式，选择题、填空题或解答题中均可能作为工具出现.,第2页,2,一、算术平均数与几何平均数定理,1.,若,a,0,，,b,0,，则称,_,为两个正数算术平均数，称,_,为两个正数几何平均数,.,2.,假如,a,、,b,为实数，那么,a,2,+,b,2,2,ab,ab,_,，当且仅当,a,=,b,时取“,=”,号,.,3.,假如,a,、,b,为正实数，那么,_,，当且仅当,a,=,b,时取等号,.,第3页,3,假如,a,+,b,为定值,P,那么,ab,有最,_,值，为,_;,假如,ab,为定值,S,那么,a,+,b,有最,_,值,为,_.,这一结论称为均值定理,.,其应用三个条件依次为,_,、,_,、,11,_.,二、不等式恒成立问题,不等式,a,f,(,x,),恒成立，,f,(,x,),max,存在,12,_,，不等式,a,f,(,x,),恒成立，,f,(,x,),min,存在,13,_.,大,小,一正,二定,三相等,a,f,(,x,),max,a,f,(,x,),mix,第4页,4,盘点指南：,;,大；,;,小；,;,一正；二定；三相等；,11,a,f,(,x,),max,;,12,a,f,(,x,),min,第5页,5,若,x,y,且,x,+,y,=,s,xy,=,p,则以下命题中正确是,(),A.,当且仅当,x,=,y,时，,s,有最小值,B.,当且仅当,x,=,y,时，,p,有最大值,C.,当且仅当,p,为定值时，,s,有最小值,D.,若,s,为定值，则当且仅当,x,=,y,时，,p,有最大值,解：,由均值不等式易得答案为,D.,D,第6页,6,若,x,y,x,+,y,4,则以下不等式中成立是,(),解：,故选,B.,B,第7页,7,设,a,0,，,b,0,，则以下不等式中不成立是,(),解法,1,：,因为是选择题，可用特值法，如取,a,=4,b,=1,代入各选项中不等式,易判断,不成立,.,解法,2,：,可逐项使用均值不等式判断,不等式成立,;,第8页,8,B.,因为 相乘得,成立,;,C.,因为,又由 得,所以 成立,;,D.,因为 ，所以,所以 即 不成立,故选,D.,第9页,9,1.,今有一台坏天平,两臂长不等,其余均准确,.,有些人说要用它称物体重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果和二分之一就是物体真实重量,这种说法对吗,?,并说明你理由,.,解：,不对,.,设左、右臂长分别是,l,1,l,2,物体放在左、右托盘称得重量分别为,a,b,，真实重量为,G,.,题型,1,利用均值不等式比较代数式大小,第10页,10,则由杠杆平衡原理有：,l,1,G,=,l,2,b,，,l,2,G,=,l,1,a,.,得,G,2,=,ab,所以,.,因为,l,1,l,2,，故,a,b,由均值不等式 知说法不对,真实重量是两次称量结果几何平均值,.,点评：,本题考查均值不等式,杠杆平衡原理知识及分析问题、处理问题能力，属跨学科,(,数学、物理,),创新问题,.,均值不等式应用条件是“一正二定三相等”，即两个数都为正数，两个数和或积是定值，有相等可取值,.,第11页,11,已知,a,、,b,、,c,都是正数，且,a,+,b,+,c,=1.,求证：,证实：,因为,所以,同理，有,所以,但因为,3,a,+21,，所以上式不能取等号,.,所以,第12页,12,2.(1),已知,x,0,y,0,且 求,x,+,y,最小值,;,(2),已知,x,0,y,0,所以,题型,2,求函数或代数式最值,第13页,13,当且仅当 即,y,=3,x,时,上式等号成立,.,又 所以,x,=4,y,=12,时，,(,x,+,y,),min,=16.,(2),因为,x,0,所以,当且仅当 即,x,=1,时,上式等号成立,故当,x,=1,时，,y,max,=1.,第14页,14,(3),由,2,x,+8,y-xy,=0,，得,2,x,+8,y,=,xy,，所以,所以,x+y,=(,x+y,)()=10+,=10+2()10+22 =18,当且仅当 ，即,x,=2,y,时取等号,.,又,2,x,+8,y,-,xy,=0,，所以,x,=12,y,=6,所以当,x,=12,y,=6,时，,x,+,y,取最小值,18.,第15页,15,点评：,第,(2),小题是一类应用均值不等式求分式型函数最值题型，这类问题求解中注意变形配凑成两个正数和式,(,或积式,),，且它们积,(,或和,),式为定值形式，然后看能否有相等条件，若有再利用均值不等式得出函数最值；若没有，则利用函数单调性求解,.,第,(1)(3),小题可利用已知条件转化为,(2),形式,.,第16页,16,第17页,17,第18页,18,3.,若对任意正实数,x,、,y,不等式 恒成立，则,a,最小值是,.,解：,若不等式恒成立,则 恒成立,.,所以,因为,所以 当且仅当,x=y,时取等号,.,所以,a,，故,a,min,=.,题型,3,用均值不等式求解不等式中,恒成立问题,第19页,19,点评：,求恒成立中问题方法比较多，本题利用是分离变量法：即一边为所求参数,a,；另一边是其它参数式子，然后求其式子最值,.,从填空题角度来思索，本题也能够利用对称式特点取,x=y,=1,，由此猜测,a,值,.,第20页,20,第21页,21,已知,a,、,b,、,c,R,求证：,证实：,因为,所以,同理,三式相加得,第22页,22,1.,均值不等式含有将“和式”转化为“积式”及将“积式”转化为“和式”放缩功效,.,2.,a,2,+,b,2,2,ab,成立条件是,a,，,b,R,，而,成立，则要求,a,0,且,b,0.,使用时，要明确定理成立前提条件,.,3.,均值不等式有,a,2,+,b,2,2,ab,，,a,+,b,等形式，解题时要依据问题特点适当选取,.,第23页,23,
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