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用射影面积法求二面角
立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现. 求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径.
定理 已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为，平面和平面所成的二面角的大小为，则.
本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证.

A
B D C

证明：如图，平面内的△ABC在平面的射影为△，作于D，连结AD.
于，，
在内的射影为.
又，
（三垂线定理的逆定理）.
为二面角—BC—的平面角.
设△ABC和△的面积分别为S和，，则.
.
A B
D1 C1
D C
A1 B1

E
练习
1 如图, 已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是A A1棱的中点，则
面BE C1与面AC所成的二面角的余弦值( )
A. B. C. D.

2如图, 已知四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形, SD⊥面AC, SB = .
A B
D C
S B
M B
D
(1) 求证:BC⊥SC;
(2) 求面ASD与面BSC所成的二面角的大小;
(3) 设棱SA的中点为M, 求异面直线DM与SB所成的角的大小.

D A
M
C B
E
F
3如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面
互相垂直，AB = ，AF = 1，M是线段EF的中点.
(1) 求证：AM∥平面BDE；
(2) 求证：面AE⊥平面BDF；
(3) 求二面角A—DF—B的大小.

P
A D
B C

4如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩
形，已知AB = 3，AD = 2，PA = 2，.
（1）证明：AD⊥平面PAB；
（2）求异面直线PC与AD所成的角的大小；
（3）求二面角P—BD—A的余弦值.

V
D C
A B
5.如图，在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.
（1）证明：AB⊥平面VAD；
（2）求面VAD与面VDB所成二面角的余弦值.

C B
A
D
E

6.如图，在直三棱柱ABC—中，AB = BC ，D、E分别为、的中点.
（1）证明：ED为异面直线和的公垂线；
（2）设，求二面角的大小.

E
B C
A D
P
7.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，，PA⊥平面ABCD，PA = 4，AD = 2，，BC = 6.
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角A—PC—D的余弦值.

S
A B
D C
E
8.如图，四棱柱S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD = AD = a ，点E是SD上的点，且（0＜）.
（1）求证：对任意，都有AC⊥BE；
（2）若二面角C—AE—D的大小为，求的值.

4