用数学软件Mathematica做微积分.doc

用数学软件Mathematica做微积分

作者：徐小湛

四川大学数学学院

xuxzmail@

目 录
前言
极限 函数极限 单侧极限 单向极限 无穷大的极限 数列极限
递归定义的数列的极限

导数 显函数的导数 单侧导数 高阶导数 参数方程的导数 隐函数的导数
导数的应用 微分中值定理 洛必达法则 切线和法线 求方程的根
单调区间和极值 凹凸区间和拐点

积分 不定积分 定积分 广义积分 积分变限函数的导数
定积分的几何应用 面积 旋转体体积 弧长 旋转曲面面积

空间解析几何 数量积 向量积 混合积 向量的模和单位化 两点的距离

多元微分学 偏导数 高阶偏导数 全微分 隐函数的偏导数
多元微分学的应用 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线
梯度与方向导数 二元函数的极值

重积分 二重积分 极坐标计算二重积分
三重积分 柱面坐标计算三重积分 球面坐标计算三重积分
重积分的应用 曲面的面积 体积

曲线积分 第一类曲线积分 第二类曲线积分
曲面积分 第一类曲面积分 第二类曲面积分
高斯公式与散度 斯托克斯公式与旋度

无穷级数 常数项级数 幂级数的收敛半径与收敛域 幂级数的和函数
函数展开成幂级数 泰勒级数 傅里叶级数

微分方程 一阶微分方程 可分离变量方程 一阶线性方程 高阶微分方程
高阶线性微分方程 欧拉方程

图形
平面图形 显函数的图形 二元方程的图形 隐函数曲线 参数曲线
极坐标曲线 导数的图形 积分变限函数的图形 平面区域的图形
空间图形 显函数曲面 参数曲面 三元方程的图形 隐函数曲面
空间曲线 空间区域

数学家 欧拉 牛顿 莱布尼茨 拉格朗日 阿贝尔 泰勒 麦克劳林 柯西
斯托克斯 高斯 傅里叶 笛卡儿 狄利克雷

参考文献

前 言

Mathematica是著名的数学软件，具有强大的的数学运算能力和绘图功能。
本文档用Mathematica来计算微积分中的各种习题,并绘制了很多图形。
本文档中所有的例子都是用Mathematica 7编程和计算的，有的命令在版本较低的Mathematica可能无法执行。
另外，有的运算结果拷贝到Word时，格式有些变化，但是在Mathematica中的输出格式没有问题。
如有对本文档中的内容任何问题，请发邮件到与作者讨论。
邮箱：xuxzmail@

xuxz
2010-9-1

返回目录

极限

函数极限

自变量趋于有限值的极限
例 求极限
解 输入：
f[x_]:=Sin[x]/x;
Limit[f[x],x®0]

输出：1

例 求极限 （同济6版，139页）
f[x_]:=(1+a/x)^x;
Limit[f[x],x®Infinity]

输出：ã （错误答案，原因是没有给a赋值）

a:=a
f[x_]:=(1+a/x)^x;
Limit[f[x],x®Infinity]
输出：ãa（对了！）

单侧极限

例 求左极限
解 输入：
f[x_]:=Exp[1/x];
Limit[f[x],x®0,Direction®1]

输出：0
例 求右极限
解 输入：
f[x_]:=ArcTan[1/x];
Limit[f[x],x®0,Direction®-1]

输出：p/2

返回目录

自变量趋于无穷大的极限
例 求极限
解 输入：
f[x_]:=x^2Sin[3/x^2];
Limit[f[x],x®Infinity]

输出：3

单向极限

例 求极限
解 输入：
f[x_]:=ArcTan[x];
Limit[f[x],x®Infinity]

输出：p/2

例 求极限
解 输入：
f[x_]:=ArcTan[x];
Limit[f[x],x®-Infinity]

输出：-(p/2)

无穷大的极限

例 求极限
解 输入：
f[x_]:=Exp[1/x];
Limit[f[x],x®0,Direction®-1]

输出：¥

返回目录

数列的极限

数列极限
例 求极限
解 输入：
f[n_]:=(1+1/n)^n;
Limit[f[n],n®Infinity]

输出：ã

递归定义的数列的极限

例 设 ，求
解 输入：
f[1]=Sqrt[2];
f[n_]:=Sqrt[2+f[n-1]];
f[10]
不成功！

f[1]=N[Sqrt[2],10];
f[n_]:=N[Sqrt[2+f[n-1]],10];
f[10]

结果：1.999997647

作图观察数列的极限
f[1]=Sqrt[2];
f[n_]:=Sqrt[2+f[n-1]];
xn=Table[f[n],{n,1,10}];
ListPlot[xn,PlotStyle®{Red,PointSize[Large]},Filling®Axis]

列表观察数列的极限

f[1]=N[Sqrt[2],10];
f[n_]:=N[Sqrt[2+f[n-1]],10];
Do[Print[n," ",f[n]],{n,10}]
结果：
1 1.414213562
2 1.847759065
3 1.961570561
4 1.990369453
5 1.997590912
6 1.999397637
7 1.999849404
8 1.999962351
9 1.999990588
10 1.999997647

返回目录

导数

显函数的导数

求导函数
例 设 ，求导数
f[x_]:=Sin[2x^2+2];
f'[x] 或 D[f[x],x]

结果：4 x Cos[2+2 x2]

求某一点的导数
例 设 ，求导数
f[x_]:=(2x^2+3)Sin[x];
f'[3]
或 D[f[x],x]/.x®3

结果：
21 Cos[3]+12 Sin[3]
21 Cos[3]+12 Sin[3]

用定义求导数

导数的定义： 或

例 设 ，求左导数
f[x_]:=Which[x<0,x,x>=0,Sin[x]] （定义分段函数）
a=0;
Direvative=Limit[(f[x+a]-f[a])/(x-a),x®a]

结果：1

单侧导数

例 设 ，求左导数和右导数

用定义求导
f[x_]:=Which[x<0,x,x>=0,Sin[2x]] （定义分段函数）
a=0;
Left_Direvative=Limit[(f[x+a]-f[a])/(x-a),x®a,Direction®1]
Right_Direvative=Limit[(f[x+a]-f[a])/(x-a),x®a,Direction®-1]

结果：
1（左导数）
2（右导数）

返回目录

高阶导数

例 设 ，求二阶导数和三阶导数
二阶导数
f[x_]:=Sin[2x^2+3];
f''[x]
或 D[f[x],{x,2}]

结果：
4 Cos[3+2 x2]-16 x2 Sin[3+2 x2]
4 Cos[3+2 x2]-16 x2 Sin[3+2 x2]

三阶导数
f[x_]:=Sin[2x^2+3];
f'''[x]
D[f[x],{x,3}]

结果：
-64 x3 Cos[3+2 x2]-48 x Sin[3+2 x2]
-64 x3 Cos[3+2 x2]-48 x Sin[3+2 x2]

例 设 ，求二阶导数
f[x_]:=Exp[x]Cos[2x^2];
f''[1]
或 D[f[x],{x,2}]/.x®1

结果：
-15 ã Cos[2]-12 ã Sin[2]
ã Cos[2]+ã (-16 Cos[2]-4 Sin[2])-8 ã Sin[2]

例 设 ，求0~10阶导数
f[x_]:=1/(x+1);
Do[Print[n," ",D[f[x],{x,n}]],{n,0,10}]

结果：
0 1/(1+x)
1 -(1/(1+x)2)
2 2/(1+x)3
3 -(6/(1+x)4)
4 24/(1+x)5
5 -(120/(1+x)6)
6 720/(1+x)7
7 -(5040/(1+x)8)
8 40320/(1+x)9
9 -(362880/(1+x)10)
10 3628800/(1+x)11

或
f[x_]:=1/(x+1);
Table[D[f[x],{x,n}],{n,0,10}]

结果：
{1/(1+x),-(1/(1+x)2),2/(1+x)3,-(6/(1+x)4),24/(1+x)5,-(120/(1+x)6),720/(1+x)7,-(5040/(1+x)8),40320/(1+x)9,-(362880/(1+x)10),3628800/(1+x)11}

例 求函数在x=0处的0~10阶导数
f[x_]:=1/(x+1);
Do[Print[n," ",D[f[x],{x,n}]/.x®0],{n,0,10}]

结果：
0 1
1 -1
2 2
3 -6
4 24
5 -120
6 720
7 -5040
8 40320
9 -362880
10 3628800

或
f[x_]:=1/(x+1);
Table[D[f[x],{x,n}]/.x®0,{n,0,10}]

结果：
{1,-1,2,-6,24,-120,720,-5040,40320,-362880,3628800}

返回目录

参数方程的导数

参数方程的导数：；二阶导数：
例 设 ，求导数
x[t_]:=2t^2;y[t_]:=Sin[t];
Dx=x'[t] 
Dy=y'[t]
DyDx=y'[t]/x'[t]

结果：
4 t
Cos[t]
Cos[t]/(4 t)

或
x[t_]:=2t^2;y[t_]:=Sin[t];
Dx=D[x[t],t]
Dy=D[y[t],t]
DyDx=Dy/Dx

4 t
Cos[t]
Cos[t]/(4 t)

例 设 ， , 求
x[t_]:=Exp[t]*Sin[t];
y[t_]:=Exp[t]*Cos[t];
f[t_]:=y'[t]/x'[t];
f[Pi/3]
Simplify[%]
(ãp/3/2-1/2 ãp/3)/(ãp/3/2+1/2 ãp/3)
-2+

例 设 ，求一阶和二阶导数
x[t_]:=2t^2;y[t_]:=Sin[t];
Dx:=D[x[t],t]
Dy:=D[y[t],t]
Yijie=Dy/Dx
Y[t_]:=Dy/Dx
Erjie=D[Y[t],t]/D[x[t],t];
Simplify[%]

结果：
Cos[t]/(4 t) （一阶导数）
-((Cos[t]+t Sin[t])/(16 t3)) （二阶导数）

例 设 ，求一阶、二阶、三阶导数
x[t_]:=2t^2;y[t_]:=Sin[t];
Dx:=D[x[t],t]
Dy:=D[y[t],t]
Yijie=Dy/Dx
Y[t_]:=Dy/Dx
Erjie=D[Y[t],t]/D[x[t],t];
Simplify[%]
Er[t_]:=D[Y[t],t]/D[x[t],t]
Sanjie=D[Er[t],t]/D[x[t],t];
Simplify[%]

结果：
Cos[t]/(4 t) （一阶导数）
-((Cos[t]+t Sin[t])/(16 t3)) （二阶导数）
(-(-3+t2) Cos[t]+3 t Sin[t])/(64 t5) （三阶导数）

返回目录

隐函数的导数

例 设 ，求
方法一 利用公式：（同济6版下册84页）
F[x_,y_]:=1-x Exp[y]-y;
Fx=D[F[x,y],x]
Fy=D[F[x,y],y]
-Fx/Fy
Simplify[%]

结果：
-ãy
-1-ãy x
ãy/(-1-ãy x)
-(ãy/(1+ãy x))

方法二 直接求导
D[y[x]==1-x Exp[y[x]],x] （方程两边对x求导）
Solve[%,y'[x]] (解出导数)

结果：
y¢[x]Š-ãy[x]-ãy[x] x y¢[x]
{{y¢[x]®-(ãy[x]/(1+ãy[x] x))}}

或
F[x_,y_]:=1-x Exp[y]-y
D[F[x,y[x]]Š0,x]
Solve[%,y'[x]]

结果：
-ãy[x]-y¢[x]-ãy[x] x y¢[x]Š0
{{y¢[x]®-(ãy[x]/(1+ãy[x] x))}}

方法二 微分法
F[x_,y_]:=1-x Exp[y]-y
Dt[F[x,y]Š0,x] （方程两边对x微分）
Solve[%,Dt[y,x]] （解出dy/dx）

结果：
-ãy-Dt[y,x]-ãy x Dt[y,x]Š0
{{Dt[y,x]®-(ãy/(1+ãy x))}}

返回目录

导数的应用

微分中值定理

例 在区间上对函数验证拉格朗日中值定理的正确性（同济6版，134页）
解 即验证存在，使得
f[x_]:=4x^3-5x^2+x-2;
a=0;b=1;
Solve[f'[x]Š(f[b]-f[a])/(b-a),x]

结果
{{x®1/12 (5-)},{x®1/12 (5+)}} 得到两个解

判断这两个解是否在(0,1)内：
0<(5-Sqrt[13])/12<1
0<(5+Sqrt[13])/12<1

结果：
True
True 这两个解都在在(0,1)内

例 在区间上对函数和验证柯西中值定理的正确性（同济6版，134页）
解 即验证存在，使得
f[x_]:=Sin[x];
F[x_]:=x+Cos[x];
a=0;b=Pi/2;
Solve[f'[x](F[b]-F[a])==F'[x](f[b]-f[a]),x]

结果
Solve::ifun: Inverse functions are being used by \[NoBreak]Solve\[NoBreak], so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. ‡
{{x®p/2},{x®ArcCos[(-8+4 p)/(8-4 p+p2)]}}

判断第二个解是否在(0,Pi/2)内：
ArcCos[(4Pi-8)/(8-4Pi+Pi^2)]//N
0<ArcCos[(4Pi-8)/(8-4Pi+Pi^2)]<Pi/2
0.533458
True (第二个解在(0,Pi/2)内)

返回目录

洛必达法则

由于Mathematica直接计算极限，因此洛必达法则已无必要。见函数极限部分。

切线和法线

1．显函数曲线的切线和法线
曲线 y = f(x) 在点 P(x0, f(x0) )处的切线方程：
曲线 y = f(x) 在点 P(x0, f(x0) )处的法线方程：
（同济6版，84页）

例 求在处的切线和法线方程
f[x_]:=x^2
x0=1;
y-f[x0]==f'[x0] (x-x0) （切线）
y-f[x0]Š-(1/f'[x0]) (x-x0) （法线）

结果：
-1+yŠ2 (-1+x)
-1+yŠ(1-x)/2

例 求在处的切线和法线方程，并作图

f[x_]:=Sin[x]
x0=1;
y==f[x0]+f'[x0] (x-x0)
y==-f[x0]-(1/f'[x0]) (x-x0)
Plot[{f[x],f[x0]+f'[x0] (x-x0),f[x0]+-(1/f'[x0]) (x-x0)},{x,-3,3},AspectRatio®Automatic,PlotRange®{-2,3}]

结果：
yŠ(-1+x) Cos[1]+Sin[1]
yŠ-(-1+x) Sec[1]-Sin[1]

2. 参数曲线的切线和法线
参数曲线在点P(x(t0), y( t0)) 处的
切线方程： 法线方程：

例 求在处的切线和法线方程
公式：切线：
法线
x[t_]:=t^2
y[t_]:=Sin[t]
t0=1;
yŠy[t0]+(y'[t0]/x'[t0]) (x-x[t0])
yŠy[t0]-(x'[t0]/y'[t0]) (x-x[t0])
quxian=ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,-3,3}];
qiexian=ParametricPlot[{x[t0]+x'[t0]t,y[t0]+y'[t0] t},{t,-3,3}];
faxian=ParametricPlot[{x[t0]+y'[t0]t,y[t0]-x'[t0] t},{t,-3,3}];
Show[quxian,qiexian,faxian,AspectRatio®Automatic,PlotRange®{{-5,6},All}]

结果：
yŠ1/2 (-1+x) Cos[1]+Sin[1]
yŠ-2 (-1+x) Sec[1]+Sin[1]

或用公式：切线： 法线
x[t_]:=t^2
y[t_]:=Sin[t]
t0=1;
(x-x[t0])/x'[t0] ==(y-y[t0])/y'[t0]
x'[t0](x-x[t0])+y'[t0](y-y[t0])==0

结果：
1/2 (-1+x)ŠSec[1] (y-Sin[1])
2 (-1+x)+Cos[1] (y-Sin[1])Š0

3．一般方程 (隐函数) 曲线的切线和法线

例 求曲线在处的切线和法线方程，并作图
F[x_,y_]:=3-2x^2-y^2;
x0=1;
y0=1;
m=-D[F[x,y],x]/D[F[x,y],y]/.{x®x0,y®y0};

yŠy0+m (x-x0)
yŠy0-(1/m) (x-x0)
quxian=ContourPlot[F[x,y]==0,{x,-2,2},{y,-2,2}];
qiexian=Plot[y0+m (x-x0),{x,-2,2}];
faxian=Plot[y0-(1/m) (x-x0),{x,-2,2}];
Show[quxian,qiexian,faxian,Axes->True,Frame->False,Ticks->{Range[-2,2,1],Range[-2,2,1]}]
结果：
yŠ1-2 (-1+x)
yŠ1+1/2 (-1+x)

或利用公式：
曲线在点P(x0, f(x0) ) 处的
切线方程： 法线方程：

F[x_,y_]:=3-2x^2-y^2;
x0=1;
y0=1;
Fx=D[F[x,y],x]/.{x®x0,y®y0}
Fy=D[F[x,y],y]/.{x®x0,y®y0}
Fx (x-x0)+Fy (y-y0)Š0
Fy (x-x0)- Fx (y-y0)Š0
quxian=ContourPlot[F[x,y]Š0,{x,-2,2},{y,-2,2}];
qiexian=ContourPlot[Fx (x-x0)+Fy (y-y0)Š0 ,{x,-2,2},{y,-2,2}];
faxian=ContourPlot[Fx (y-y0)- Fy (x-x0)Š0 ,{x,-2,2},{y,-2,2}];
Show[quxian,qiexian,faxian,Axes®True,Frame®False,Ticks®{Range[-2,2,1],Range[-2,2,1]}]

结果：
-4
-2
-4 (-1+x)-2 (-1+y)Š0
-2 (-1+x)+4 (-1+y)Š0

返回目录

求方程的根

例 求方程的实根（同济6版，179页），并作图
f[x_]:=x^3+1.1x^2+0.9x-1.4;
Solve[f[x]==0,x]
Plot[f[x],{x,-2,2}]

结果：
{{x®-0.885329-1.1418 ä},{x®-0.885329+1.1418 ä},{x®0.670657}}（最后一个为实根）

以下方式求 1 附近的实根：
f[x_]:=x^3+1.1x^2+0.9x-1.4;
FindRoot[f[x]==0,{x,1}]

结果：
{x®0.670657}

返回目录

单调区间和极值

例 求函数的单调区间，并作图
f[x_]:=x^3-2x+3;
Plot[f[x],{x,-2,3}] （作图）
Solve[f'[x]Š0,x] （求驻点）

结果：
{{x®-},{x®}}

例 求函数的单调区间、极值，并作图
f[x_]:=x/(x^2+2);
Plot[f[x],{x,-5,5}]
Solve[f'[x]Š0,x]

结果：{{x®-},{x®}}

f''[-Sqrt[2]]
f''[Sqrt[2]]
f[-Sqrt[2]]
f[Sqrt[2]]

1/(4 )
-(1/(4 ))
-(1/(2 )) （极小值）
1/(2 ) （极大值）

例 求函数在内的极值，并作图
f[x_]:=2Sin[2x]^2-(5/2)Cos[x/2]^2;
Plot[f[x],{x,0,Pi},Ticks®{Range[0,Pi,Pi/4]}]

求三个驻点
d1=FindRoot[f'[x]==0,{x,Pi/4}]
d2=FindRoot[f'[x]==0,{x,Pi/2}]
d3=FindRoot[f'[x]==0,{x,3Pi/4}]
结果：
{x®0.844344}
{x®1.4916}
{x®2.40884}

求极值：
f[x]/.d1
f[x]/.d2
f[x]/.d3
结果：
-0.107946
-1.29913
1.65708

返回目录

凹凸区间和拐点

例 求函数的凹凸区间，并作图
f[x_]:=x^3-2x+3;
Plot[f[x],{x,-3,3}]
Solve[f''[x]Š0,x] 求二阶导数的零点

结果：{{x®0}}

例 求函数的凹凸区间和拐点，并作图

f[x_]:=x/(x^2+2);
Plot[f[x],{x,-6,6}]
Solve[f''[x]==0,x]求二阶导数的零点

结果：
{{x®0},{x®-},{x®}} （二阶导数的零点）
{0,f[0]}
{0,f[-Sqrt[6]]}
{0,f[Sqrt[6]]}

{0,0} （拐点）
{0,-(/4)} （拐点）

{0,/4} （拐点）

返回目录

积分

不定积分

求不定积分（原函数）
例 求函数的原函数
f[x_]:=x^2+Sin[x]+1;
Integrate[f[x],x]

结果：
x+x3/3-Cos[x]

例 求不定积分：
f[x_]:=x ArcTan[x];
Integrate[f[x],x]

结果：
-(x/2)+ArcTan[x]/2+1/2 x2 ArcTan[x]

返回目录

定积分

牛顿-莱布尼茨公式：

例 求函数的定积分：
f[x_]:=x^2+Sin[x]+1;
Integrate[f[x],{x,0,1}]

结果：
7/3-Cos[1]

例 求定积分：
f[x_]:=1/Sqrt[1-x^2];
Integrate[f[x],{x,0,1/2}]

结果：p/6

返回目录

广义积分

例 求广义积分：
f[x_]:=x Exp[-2x];
Integrate[f[x],{x,0,Infinity}]

结果：
1/4

例 求广义积分：
f[x_]:=1/(x^2+1);
Integrate[f[x],{x,-Infinity,2}]

结果：
p/2+ArcTan[2]

例 求广义积分：

f[x_]:=1/(x^2+3);
Integrate[f[x],{x,-Infinity,Infinity}]

结果：
p/

返回目录

积分变限函数的导数

例 求导数：

f[x_]:=x Exp[-x]
F[x_]:=Integrate[f[t],{t,0,x}];
D[F[x],x]
D[F[x],x]//Simplify

结果：
-ã-x+ã-x (1+x)
ã-x x

例 求导数：

f[x_]:=x Exp[-x]
F[x_]:=Integrate[f[t],{t,Log[x],x^2}];
D[F[x],x]
D[F[x],x]//Simplify

结果：
1/x2-2 x+2 x (1+x2)-(1+Log[x])/x2
2 x3-Log[x]/x2

返回目录

定积分的几何应用

面积
曲线和轴之间的曲边梯形的面积为：

例 求曲线与x所围成的图形的面积，并作图
f[x_]:=x^3-2x
Plot[f[x],{x,-2,2},PlotStyle®Red,Filling®Axis]
Solve[f[x]Š0,x]

交点坐标：
{{x®0},{x®-},{x®}}
{{x®0},{x®-},{x®}}

A=Integrate[Abs[f[x]],{x,-Sqrt[2],Sqrt[2]}]
面积：
2

设，则曲线和之间的图形的面积为：

例 求两曲线所围成的图形的面积，并作图
f[x_]:=x^2
g[x_]:=x^3
Plot[{f[x],g[x]},{x,-1,1.2},PlotStyle®{Red,Blue},Filling->{1}]
Solve[f[x]Šg[x],x]

交点坐标：
{{x®0},{x®0},{x®1}}

A=Integrate[f[x]-g[x],{x,0,1}]
面积：
1/12

曲线和之间的图形的面积为：

例 求两曲线（）所围成的图形的面积，并作图
f[x_]:=Sin[x]
g[x_]:=Cos[2x]
Plot[{f[x],g[x]},{x,0,Pi},PlotStyle®{Red,Blue},Filling®{1}]
A=Integrate[Abs[f[x]-g[x]],{x,0,1}]
N[A]

面积：
1/2 (-2+3 -2 Cos[1]-Sin[2])
0.603125

返回目录

旋转体体积

曲线和轴之间的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积为：（圆片法）

例 （圆片法）求曲线（）与x所围成的图形绕x轴的旋转体体积，并作图
f[x_]:=Sin[x]
Plot[f[x],{x,0,2},PlotStyle®{Red,Thickness[0.005]},Filling->Axis]
V = Pi Integrate[f[x]^2, {x, 0, 2}] 体积

体积：
p (1-Sin[4]/4)

f[x_]:=Sin[x]
r1=Plot[f[x],{x,0,2},PlotStyle®Red,Filling®Axis];
r2=Plot[-f[x],{x,0,2},PlotStyle®Red,Filling®Axis];
r3=ParametricPlot[{2+0.1Cos[t],Sin[2]Sin[t]},{t,0,2Pi},PlotStyle®Red];
Show[r1,r2,r3,PlotRange®All,AspectRatio®1]（下左图）

f[x_]:=Sin[x];
quxian=ParametricPlot3D[{0,y,f[y]},{y,0,2},PlotStyle®{Red,Thickness[0.01]}];
quxian1=ParametricPlot3D[{0,y,f[y]},{y,0,3},PlotStyle®Thickness[0.003]];

x[u_,t_]:=f[u] Cos[t];z[u_,t_]:=f[u]Sin[t];y[u_,t_]:=u;
Qumian1=ParametricPlot3D[{x[u,t],y[u,t],z[u,t]},{u,0,2},{t,0,2 Pi}];
x[u_,t_]:=g[u] Cos[t];z[u_,t_]:=g[u]Sin[t];y[u_,t_]:=u;
Qumian2=ParametricPlot3D[{u Cos[t],2,u Sin[t]},{u,0,Sin[2]},{t,0,2 Pi},Mesh®0,PlotStyle®LightBlue];
X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-1,3},PlotStyle®AbsoluteThickness[2]];
Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-0.3,2.5},PlotStyle®AbsoluteThickness[2]];
Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-1,1},PlotStyle®AbsoluteThickness[3]];
XYZ=Show[Z,Y];
Show[Qumian1,Qumian2,quxian,quxian1,XYZ,PlotRange®{{-1,1},{-0.3,2.5},{-1,1}},Boxed®False,Axes®False,ViewPoint®{1,2,2}]（上右图）

设，则曲线和之间的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积为： (垫圈法)

例 （垫圈法）求两曲线所围成的图形绕x轴的旋转体体积，并作图
f[x_]:=x^2
g[x_]:=x^3
Plot[{f[x],g[x]},{x,-1,1.2},PlotStyle®{Red,Blue},Filling->{1}]
Solve[f[x]Šg[x],x]

曲线交点：
{{x®0},{x®0},{x®1}}

V=Pi Integrate[f[x]^2-g[x]^2,{x,0,1}] （体积）
体积： (2 p)/35

f[x_]:=x^2
g[x_]:=x^3
r1=Plot[{f[x],g[x]},{x,0,1},PlotStyle®{Red,Blue},Filling®{1}];
r2=Plot[{-f[x],-g[x]},{x,0,1},PlotStyle®{Red,Blue},Filling®{1}];
r3=ParametricPlot[{1+0.05Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi},PlotStyle®Red];
Show[r1,r2,r3,PlotRange®All,AspectRatio®1](下左图)

f[x_]:=x^2
g[x_]:=x^3
Plot[{f[x],g[x]},{x,0,1},PlotStyle®{Red,Blue},Filling®{1}]
x[u_,t_]:=f[u] Cos[t];z[u_,t_]:=f[u]Sin[t];y[u_,t_]:=u;
Qumian1=ParametricPlot3D[{x[u,t],y[u,t],z[u,t]},{u,0,1},{t,0,2 Pi}];
x[u_,t_]:=g[u] Cos[t];z[u_,t_]:=g[u]Sin[t];y[u_,t_]:=u;
Qumian2=ParametricPlot3D[{x[u,t],y[u,t],z[u,t]},{u,0,1},{t,0,2 Pi}];
X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-1,1},PlotStyle®AbsoluteThickness[2]];
Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-0.3,1},PlotStyle®AbsoluteThickness[2]];
Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-1,1},PlotStyle®AbsoluteThickness[3]];
XYZ=Show[X,Y,Z];
Show[Qumian1,Qumian2,XYZ,PlotRange®{{-1,1},{-.1,1},{-1,1}},Boxed®False,Axes®False,ViewPoint®{6,1,1}]（上右图）

例 （垫圈法）（圆环体体积）求圆盘 绕x轴旋转的旋转体体积，并作图
f[x_]:=3+Sqrt[1-x^2]
g[x_]:=3-Sqrt[1-x^2]
Plot[{f[x],g[x]},{x,-1,1},PlotStyle®{Red,Blue},Filling®{1},AxesOrigin®{0,0},AspectRatio®Automatic]
V=Pi Integrate[f[x]^2-g[x]^2,{x,-1,1}]

体积：6 p2

r[t_]:={Cos[t],3+Sin[t],0};
xuanzhuan[s_]:={{1,0,0},{0,Cos[s],-Sin[s]},{0,Sin[s],Cos[s]}}
quxian=ParametricPlot3D[r[t],{t,0,2Pi},PlotStyle->{Red,Thickness[0.01]}]