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滚珠丝杠进给驱动的建模

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摘要：滚珠丝杠进给驱动是为高速机床提供线性运动最常用的机构，这种驱动系统的位置精度和可实现的闭环带宽通常受限于机械部件的结构振动模式。更高的订单工厂模型能够更好地了解系统动力学,改进进给驱动的设计过程并且对于先进的控制策略的发展至关重要。这项工作提出了明确的安排和通用的模型,能够表达滚珠丝杠进给驱动的相关动态。
关键词：机床∙仿真∙滚珠丝杠∙可塑性

Introduction
Dynamical feed drives commonly used in machine tools and production units represent complex mechanical structures with multiple degrees of freedom (DOF) and various eigenmodes. Numerous scientific works have dealt with the simulation of such drive systems, using Finite-Element-Methods (FEM) and complex modeling techniques in order represent the dynamical behavior as detailed as possible[1-3] . In contrary the approach presented in this paper aims at finding an intuitive and easy to use model, capable of expressing the most relevant characteristics of a ball screw feed drive with respect to their application in machine tools. Generally spoken a ball screw drive can be characterized as a system with three different types of eigenmodes: axial, rotational and flexural modes . Typically the first axial and rotational mode of the ball screw show a dominant influence on the overall dynamics while the relevance of higher order modes for most technical applications is rather small. The excitation of the flexural modes[4] and their effect on the feed motion greatly depend on fabrication and mounting tolerances as well as on the operating conditions of the drive system. Presuming proper mounting and operating conditions, the excitation of the flexural modes are considerably small and therefore will be neglected in the course of this paper. The two dominant vibrational degrees of freedom, namely the axial and rotational mode, are primarily influenced by the geometrical dimensions and the pitch of the ball screw shaft. Depending on the transmission ratio as well as on the operating conditions the system can behave qualitatively and quantitatively very different. In most cases however, the configuration of a feed drive allows for a simple approximation of the systems characteristics. In the following a practical and application-oriented modeling technique for ball screw feed drives will be derived and verified by measurement results.
Ball screw feed drives for Machine Tools
Figure 1 shows a typical ball screw assembly with its relevant components. In this case servomotor and bearings are fixed to the machine base and the torque of the servomotor is transmitted through an elastic coupling onto the ball screw shaft. Not depicted in figure 1 are the linear guideways constraining the movement of the machine table in axial direction. The transformation from the rotational into the linear motion is realized by the ball screw system with its transmission ratio I, defined as the distance of travel h during one revolution of the shaft.
i=h/2π
(1)
Fig. 1 Schematic configuration of a ball screw feed drive.
The dynamical behavior of such a drive system is greatly influenced by the physical dimensions of the ball screw shaft. Diameter and length of the shaft have a decisive impact on the overall rigidity and therefore on the dynamical behavior of the drive system. Figure 2 shows a measured frequency response of a ball screw drive, derived from the comparison of motor and machine table velocity.
Fig. 2 Measured frequency response of a ball screw feed drive
介绍
在机床和生产单位中常用动力进给驱动代表具有多个自由度（DOF）和各种本征模式的复杂机械结构。许多科学著作已经介绍过这样的驱动系统的仿真，采用有限元法（FEM）和合理的复杂建模技术尽可能详细得阐述动力学形态。相反本文介绍的方法致力于寻找一个直观和易于使用的模型，能够表达滚珠丝杠进给驱动相对于他们的机床应用最相关的特性。一般讲滚珠丝杠进给驱动可被描述为具有三种不同类型的本征模式的一个系统：轴向，旋转和弯曲模式。典型地，滚珠丝杠的第一种轴向和旋转模式表现出了对整体动力学的主导影响而高阶模的相关性对于大部分技术应用是相当小的。弯曲模式的激励和其对进给运动的影响很大程度上取决于制造和装配公差以及驱动系统的操作条件。假定在正确的安装和运行条件下，弯曲模式的激励是相当小的，因此将在本文的条件下被忽略。两个主要的振动自由度，即在轴向和旋转模式的，主要是由滚珠丝杠轴的几何尺寸和间距所影响。取决于系统的传动比，以及操作条件是否表现定性和定量非常不同。然而，在大多数情况下，进给驱动的配置也要顾及到系统特性的简单近似。在下文中，一种关于滚珠丝杠进给驱动的实际应用为导向的建模技术将会得出并用测量结果进行验证。

机床中的滚珠丝杠进给驱动
图1示出一个典型的滚珠丝杠结构及其相关组件。在这种情况下，伺服电机和轴承被固定在机座上并且伺服电动机的转矩通过弹性联轴器传递到滚珠丝杠轴上。图1中未显示出的是能将机台的运动约束在轴向方向上的直线导轨。从转动转变成线性运动是由滚珠丝杠系统以其传动比i（轴旋转一周所推进的行程h）实现的。
i=h/2π
(1)
厂商提供了各种各样的具有不同结构设计、尺寸和传动比的滚珠丝杠系统。当前可用的节距介于0.05和3倍的滚珠丝杠直径之间，但在机床的应用中最常用的是0.25至1倍的。

Fig. 1滚珠丝杠进给驱动的示意性配置。

这种驱动系统的动力学行为在很大程度上受滚珠丝杠轴的物理尺寸的影响。直径与所述轴的长度对总刚度和驱动系统的动力学行为产生决定性的影响。图2显示出一个测得的滚珠丝杠驱动的频率响应，从电机和机械表的速度的比较而得。

图2 测得的滚珠丝杠进给驱动频率响应

对于滚珠丝杆进给驱动器的特征来说，显而易见的是两个主要的的特征频率f1和f2。图2中的第一本征频率表示一个机器工作台的轴向振动，而第二本征频率可以主要归因于转动的角偏转系统。尽管每个模式是轴向和角变形的结果,根据主要的变形将轴向和转动模式分类是很方便的。在这两种情况下滚珠丝杆轴的弹性对本征频率的绝对值有很大的影响。这是由于这样的事实:轴代表了驱动系统中硬度最低的组件[5]。此外滚珠螺杆轴的性能不是常数而是在机床工作台的行程范围内改变。此时需要注意的是,对于大多数技术应用，轴向模式的本征频率清晰的小于旋转模式。因为这个原因轴向模式通常被称为滚珠丝杠进给驱动的第一本征频率。当考虑到位置控制进给驱动的动力学行为时，机械系统的结构振动模式是特别重要的。特别是在高速应用、高加速度和跳动量可以激发机械结构时,因此必须考虑优化控制器。当使用级联P-position PI-velocity控制器,闭环带宽和进给驱动的跟踪精度直接受限于机械系统的第一本征频率[6、7]。在类似的外部激励如切削力会导致不必要的振动和稳定性问题。更复杂的控制策略使用工厂模式打算补偿这些负面影响,要求机械系统的详细信息和更好的理解(8、9)。
因此对更高动力、更好的跟踪精度的机床的需求伴随着高效和准确的进给驱动模型出现了。

两种不同建模技术的比较
为了检查轴对滚珠丝杠传动的整体动力学行为的影响，两种拥有不同复杂度的简化模型被引入并与另一个相比较。第一个模型是在FEM用弹簧，减震器，大量元素和铁木辛哥梁单元的组合建立的。我们称这种模式为混合模式，因为我们使用的离散和连续配方元素。系统的相关轴向和旋转弹性，即固定轴承（包括安装轴承）的轴向刚性Kbearing，滚珠丝杠螺母的刚性Knut和耦合的扭转刚性被表示为线性弹簧。个人阻尼值被视为在同等程度。该轴包括相关的轴向和扭转特性，以铁木辛柯梁元件来建模并且与周围弹簧和减震器相耦合。这提供了在轴的结构性能和其对整体动力学行为影响的精确检验的可能性。为了与真正的机械系统保持一致，旋转和轴向运动通过传动比i联接在一起，这是使用约束方程的参与自由度模型耦合。图3描述了这种混合模式的组合物。

图3 滚珠丝杠驱动的混合模型

第二个模型，完全使用集总的物理特性，被称为一个离散模型。由于它的简单，可以直接通过CACE-工具（计算机辅助控制工程工具）建模，利用现有的类似榫眼、积分器和基本的数学运算的标准块。在这种情况下，轴的特征分离成两个不同的分支，轴向分支和转动分支。因为所有组件是由分立的弹簧和减震器表示，轴，联轴器和轴承的刚度值被组合到一个整体的轴向值Kax和旋转值Krot：

图4表示建立离散模型的原理。在每个模型中的各个参数，如机械表的质量，滚珠丝杠轴的质量，轴和电机的转动惯量，以及刚性和对应于它们物理值的阻尼因子。

图. 4 滚珠丝杠进给驱动的离散模型
这种方法的前提条件是对所述轴的轴向和旋转刚度值两者之一有足够的定义。为了这个目的，轴被认为作为实心钢棒（杨氏模量，剪切模量，密度）。滚珠丝杠的尺寸，即等效直径，长度和有效长度，轴的轴向和旋转刚度值，并可以使用等式4至6来近似。

Experimental Verification of the model

注意，轴的备选转动刚性与已使用的固体的本征频率fs近似，在一侧上的固定杆，可根据[10]利用公式6进行计算。采用这种方法，轴的轴向刚性依赖于有效长度Leff而转动刚度被认为是贯穿于整个机台行程范围的常数。在下面的两个模型已根据表1检测具有相同的参数集。

表1 模拟得出的参数值

是进一步应该注意的是，确切的当量直径取决于滚珠丝杠的所有几何参数，包括螺距。在[11]中示出，该主轴螺距可以影响滚珠丝杠轴向和扭转刚度高达15％。为简单起见，在此工作的滚珠丝杠直径被选择为恒定。
模拟结果，，即该进给驱动的前两个本征频率，列于表2。

表2 不同质量、螺距和工作台位置下的滚珠丝杠驱动模型的第一和第二本征频率。

正如预期的第一特征频率的值很大程度上取决于质量和机床工作台的位置：质量越大，机床工作台和固定轴承之间的距离越远，第一特征频率的值越小。相比，第二本征频率在不同的工作条件下似乎改变得不是特别明显。两种型号都表明，旋转模式仍然是在一个很大的参数范围内几乎保持不变。在图5中表现出的混合模型和离散模型之间的差异可以归因于在离散模型的轴的简化表示。

图5滚珠丝杠驱动的混合模型和离散模型之间的部分不同

从图5可以看出,绝对的区别以及本征频率的参数敏感性很大程度上取决于轴向和转动之间的交互模式,决定于滚珠丝杆的传动比。随着传动比的增加，轴的转动刚度对整个轴向刚度的影响增加。位置的依赖,有效轴向刚度可以表示如下。

然而,在许多情况下由于滚珠丝杆的传动比，轴的转动刚度对轴向模式的影响可以被忽视。有效轴向刚度和转动模式的一致性知识,这两种滚珠丝杠驱动典型本征频率可以使用方程8和9近似计算。

尽管选择的简化离散模型显示了滚珠丝杠系统前两个本征频率的好的结果。这考虑到一个直观、清楚的对动态行为的计划模拟,大范围的参数有效并且适用于大多数实际应用。在接下来的一章离散模型的仿真结果如图4所示将与一个实际的机床进给驱动测量值相比较。

模型的实验验证
斯图加特大学的机床和制造设备控制工程研究所(ISW)拥有各种各样的具有不同尺寸滚珠丝杠和不同的传动比的测试平台。虽然这个主题的研究是基于不同的滚珠丝杠类型的实验, 根据表格3中的规格，以下测量集中在一个典型为机床设置的滚珠丝杠。用于仿真的参数符合试验装置。刚度和质量的值是基于制造商的数据而阻尼因素与经验值是一致的。

表3.测试台规格

给定进给驱动各种测量进行并比较了离散模型的仿真结果。图6和7示范性的展示了在不同的操作条件下给定的进给驱动模拟和测量的频率响应。

图6在不同机床工作台位置的进给驱动模拟和测量的频率响应。

图7在不同的机床工作台质量下模拟和测量的频率响应。

离散模型用于描述机械系统显示了与实际的进给驱动行为良好的一致性。尽管选择简化和不精确的制造商的数据,可以实现良好的可预见性。此外，从属于本征频率的预测参数是通过测量结果确定的。轴向模式的频率变化取决于机床工作台的质量和位置，而滚珠丝杠传动的转动模式（的频率）几乎保持不变。旋转模式的不变性有利于操作环境,已经在上述仿真中被察觉,可以通过机械系统的低通特性来解释。在第一个系统的本征频率的振幅经历20 dB /decade急剧下降后。因此伺服传动装置施加的能量在更高的频率仅仅是转换到机床工作台上。在第二个本征频率上工作台的轴向运动因此非常小。由于运动学耦合、轴的角度偏转仍将导致轴向位移,在这种情况下,主要是由轴的偏转,轴承和安装起主要作用。考虑到滚珠丝杠系统旋转模式工作台位置的细微改变,可以理解无论是质量还是工作台的有效位置都会对振荡系统的第二本征频率产生相关影响。滚珠丝杠驱动占主导地位的本征频率的可预测性和仿真及其对不同操作条件的从属提供了对系统动力学更好的理解并且有利于机械部件的设计过程以及实施足够的反馈控制器。特别是转动固有模式的一致性非常有利于振动抑制和控制算法（如陷波滤波器）的设计。

总结
本文介绍了滚珠丝杆进给驱动的两种结构良好、组织清晰的模型：离散模型和混合(discrete-continuum)模型。通过将轴的物理特征分解为轴向和转动系统,滚珠丝杆驱动可以仅仅使用Matlab / Simulink中的离散模块建模。通过与更复杂的混合模型相比较，可以发现简化的离散模型很适合通过大范围的参数预测伺服驱动最相关的本征频率。仿真结果表明滚珠丝杠轴对于这样一个驱动系统的整体动态具有决定性影响。而且第二个相关的本征频率被证明是对于工作台质量和位置不敏感的。最后，仿真结果是被机床进给轴的测量结果验证过的。使用机器零件的实际物理参数的成熟的仿真模型显示出了测量结果与实际机械传动良好的一致性。模型的简单和直观的构成允许快速模拟，对于大多数实际应用严谨足够高。