画法几何的任务.doc

第一章 绪论
第一节 画法几何的任务

1．画法几何是一面古老的学科，一直在工程教育方面起着特殊的作用。通过系统的学习画法几何，使读者具有一种能力，即能够把三维的几何信息，明显而准确地表现在图纸上，成为二维的几何信息。人们在构思一个建筑设计，即在思维中运用所学的专业知识生成大量的相互联系的三维几何信息。着使用语言和文字使无法表达清楚的，必须在图纸上把它们画出来，成为二维几何信息，使人们借助于图纸把所设计的建筑物建造出来。
2．图纸是平面的，而建筑物是立体的，从尺度概念说，它们似乎不等价，这就产生了矛盾。画法几何就是为了解决这个矛盾，在人们长期生产实践活动中，所积累起来的经验的科学总结。
画法几何的主要任务是：
A.研究在平面上表达空间形体的图示法；
B.研究在平面上解答空间几何问题的图解法。
n 画法几何的理论和方法为学习其他许多课程所必需。这里特别要指出的是工程制图。画法几何与工程制图的关系，可以这样比喻：工程制图是工程界的技术语言，而画法几何是这种语言的文法。
n 画法几何除了它的图示法和图解法服务于工程技术以外，也是人们认识物质空间形式的一种工具。它利用物体在平面上的图形来研究物体的形状，大小和位置等几何性质。因此，画法几何还有一个显著的作用，就是促进人们空间概念和空间想象力的发展。

第二节 投影法的本质

把空间形体表现在平面上，是以投影法为基础的。投影法源于日常生活中光的投射成影这个无论现象。
投影法分为两大类：中心投影和平行投影。其几何意义如下：
1． 中心投影。
设空间有一个平面P叫做投影面。取不在平面P内的任意一点S叫做投影中心，从投影中心引出投影线（如点灯放出光线），叫做中心投影法。
中心投影 的两条基本特征：
（1） 直线的投影，在一般情况下仍旧为直线；
（2） 点在直线上，则该点的投影必位于该直线的投影上。
2.平行投影
如果把投影中心移到无限远的地方，则这种投影线是相互平行的（如太阳光），所以叫做平行投影法。平行投影是中心投影的特殊情况。
用平行投影把直线AB 投射到平面P 上，应先给出投射方向L。投射方向L垂直于投影面P的平行投影正投影；倾斜于投影面P 的平行投影叫做斜投影。
平行投影除了具有中心投影上述的两条性质以外，还具有其另外的两条特性：
（1） 点分直线线段成某一比例，则该点的投影也分该线段的投影成相同的比例；
（2） 相互平行的直线，其投影仍旧平行。

第三节 正投影的基本性质

正投影属于平行投影的一种，也具有前述的平行投影的特性。但对于空间有长度的直线线段或有大小的平面图形，根据它们对投影面所处的相对位置不同，又具有下述投影特性：
1． 空间直线对投影面的位置分为平行，垂直，倾斜三种：
（1） 直线平行于投影面，它的投影反映实长；
（2） 直线垂直于投影面，它的投影成为一点；
（3） 直线倾斜于投影面，它的投影不反映实长，且缩短。
2． 空间平面对投影面的位置也分为平行，垂直，倾斜三种：
（1） 平面平行于投影面，它的投影反映实形；
（2） 平面垂直于投影面，它的投影成为直线；
（3） 平面倾斜于投影面，它的投影不反映实形，且变小。
上述讨论可知，给定投影条件，在投影面上，总是可以作出已知形体唯一确定的投影；并且知道形体的哪些几何特性在投影图上保持不变，而哪些是改变的。但是，相反的问题，即由投影来确定它的原形，答案则不是唯一的。（p4）

第四节 立体的三面投影

具有可逆性的投影图，在工程实践中被广泛应用的是物体的三面投影图。它是利用平行投影中的正投影法画出来的。
空间的物体，一般来说，有正面，侧面和顶面三个方向的形状；具有制度，宽度和高度三个方向的尺寸。为了反映物体的三个方面的形状，可以采用三面投影的方法。
我们选定三个相互垂直的平面作投影面，其中水平放着的，叫做水平投影面，用字母H 表示；立着的正面叫做正立投影面，用字母V 表示；立在侧面的叫做侧立投影面，用字母W 表示。被投影的物体放在这个投影面所组成的空间里。我们把物体分别向这三个投影面作正投影：
在H面上的正投影叫做水平投影；
在V 面上的正投影叫做正面投影；
在W面上的正投影叫做侧面投影。

当给出物体的三个方向的平面都平行于投影面时，它的三面投影就可以读出它的原形。
水平投影反映了立体的顶面形状和长，宽两个方向的尺寸；
正面投影反映了立体的正面形状和长，高两个方向的尺寸；
侧面投影反映了立体的侧面形状和高，宽两个方向的尺寸。

现在，这三个投影时分别画在三个相互垂直的投影面上的，但实际作图只能在一个平面上进行。因此，需要把三个投影面转化为一个平面。
规定：V 面不动，H 面向下旋转90度，W面向右旋转90度，这样，H面和V面就同W面重合在一个平面上了。

由（图1－9，1－10）可以看出，立体的三面投影两两之间，都存在着一定的关系：正面投影和侧面投影具有相同的高度，水平投影和正面投影具有相同的长度，侧面投影和水平投影具有相同的宽度。
在作图过程中，画上水平联系线，以保证正面投影和侧面投影等高；画上铅垂联系线，以保证正面投影和水平投影等长；画上45度联系线，以保证水平投影和侧面投影等宽。

第二章 点和直线

第一节 点的两面及三面投影

一. 点的两面投影

要确定空间点的位置，必须设置两个相互垂直的平面为投影面，其中一个是水平投影面H，另一个是正立投影面V 。两个投影面H和V 的交线叫做投影轴，用字母OX表示。
如图2－1，过空间A 点引H面垂线，得一垂足，即为A 的水平投影，用字母a表示；过A 引V面垂线，得一垂足，即为A的正面投影，用字母a’表示。投影面H 和V上的投影a和a’综合起来是可逆的，根据它们可以重定空间的A点。结合图2－1，我们可以得到以下关系：
线段 ＝A点到H面的距离（高度）
线段＝A点到V面的距离（深度）
按照第一章规定，V 面不动，H面向下旋转90度，可以得到空间点A 的两面投影图。其特性如下：
1， 点的正面投影（a’）和水平投影（a）的连线于OX轴（OX）;
2， 点的正面投影到OX 的距离等于空间点到H面的距离（Aa），而水平投影到OX 的距离等于空间点到V面的距离（Aa’）。
画图时，投影面的边框线一般不画出的，也不标记两面投影的连线于OX 的交点。

二．点的三面投影

求作点的三面投影，就是过空间已知点向三个相互垂直面作投影。如图2－3所示，投影面H,V和W组成一个直角三角面。W和H的交线，以及W和V的交线也叫做投影轴，分别用字母OZ和OW表示。投影轴OX，OY，OW相互垂直，并且共同相交于O点。
过A 分别作其三面投影，得到垂足a,a’,a”，空间点A 三条投影线Aa，Aa’和Aa”分别组成三个平面：aAa’，aAa”和aAa”，它们与投影轴OX,OY,OZ分别相交于。这样过A 点以及它们投影的连线组成了一个长方体，有：

按照规定，把三面投影图重合在一个平面上，即可以看出：在点的三面投影图中，每两个投影都具有一点的联系性。因此，只要给出一点的任何两个投影，就可以求出其第三个投影。
知道了点的其中任意两面投影，容易求得其第三面的投影。作图中，加绘一条45度辅助线（或者用圆规）就可以完成。

第二节 点的投影与直角坐标的关系

若把图2－3（a）所示的三个投影面当作坐标面，那么各投影轴就相当于坐标轴；其中OX 就相当于横坐标轴，OY就相当于纵坐标轴，OZ就相当于竖坐标轴。三轴的交点O就相当于坐标原点。
这样，空间点A 到三个投影面的距离就等于它的三个坐标：
A点到W面的距离（Aa”）＝A点的x坐标（）
A点到V面的距离（Aa’）＝A点的y坐标（）
A点到H面的距离（Aa）＝A点的z坐标（）
结论：已知一点的三面投影，就可以量出该点的三个坐标；相反的，已知一点的三个坐标，就可以求出该点的随你们投影。
注意：求作时，特别是点在某一投影面上时，注意分清楚点的另外投影在还时在上。这里学生很容易弄混淆，讲授时特别提醒。

第三节 直线的投影

1， 根据直线的投影特性可知：直线的水平投影，正面投影和侧面投影，在一般情况下均为直线。因为直线在空间的位置可以由它的任意两个点来确定，所以，在正投影图中，给出一直线可以分为两步：
（1） 给出已知直线上两个点的各个投影；
（2） 用直线分别连接这两个点的同面投影。
2，依据直线上任意两各点对观者的相对位置，就可以看出直线本身在空间的趋势。这里我们将直线分为两类：
1)上行直线——离开观测者而逐渐上升的直线就叫做上行直线，其特点是两个投影对OX轴向同一方向倾斜。
2)下行直线——离开观测者而逐渐下降的直线就叫做下行直线，其特点是两个投影对ox轴向不同方向倾斜。

3，和点的三面投影一样，可以根据直线的任意两个投影，可以作出它的第三投影，做法归结为作出直线上两个点的第三投影。

第四节 线段的实长及其对投影面的倾角

1.何为一般位置直线？
对各投影面均成倾角的直线叫做一般位置直线。对于一条一般位置直线，那么它的各个投影的长度均小于线段本身的实长。
2.怎样根据一般位置线段的投影来求出它的实长和倾角？
如图(2－12，2-13)给出一线段AB，我们过端点A做直线AC平行ac，C点在投影线Bb上。不难看出，ABC是一直角三角形，AB是它的斜边，AC和BC是它的两条直角边；而AC＝ab；BC=Bb—Aa,即是A,B两点的高度差。这就是说，如果以水平投影ab为以直角边，以两端点的高度差BC为另以直角边，画出一个直角三角形，如，则斜边等于线段AB的实长，与水平投影ab的夹角等于AB对H 面的倾角。

由以上可以得到求作一般位置线段实长与倾角的方法：
1. 过水平投影ab的端点b作ab的垂线；
2. 在所作垂线上截取等于正面投影a’b’两端到OX 轴的距离差m，得到点；
3. 用直线连接a和，得到直角三角形，此时，。
综上所述，在投影图上求线段实长的方法是：以线段在某以投影面上的投影为以直角边，以线段的两个端点到这个投影面的距离为另一直角边，作一个直角三角形，此直角三角形的斜边就是所求的实长，而且，此斜边和投影的夹角，就等于线段对该投影面的倾角。
i. 求水平倾角，找高度差
ii. 求立面夹角，找深度差
iii. 求侧面夹角，找宽度差

第五节 特殊位置直线

特殊位置直线——对一个投影面平行或者垂直的直线。

一.投影面的平行线
平行于水平投影面的直线，叫做水平线
平行于正立投影面的直线，叫做正平线
平行于侧立投影面的直线，叫做侧平线
这三种特殊位置直线的三面投影特性，列表如教材表2－1。（p15）
由此可以归纳出投影面平行线的投影特性：
（1） 直线在它所在的投影面上的投影反映实长（有显实性），并且这个投影与投影轴的夹角等于空间直线相应投影面的倾角；
（2） 其他两个投影都小于实长，并且平行于相应的投影轴。

二.投影面垂直线
投影面垂直线分为：铅垂线，正垂线和侧垂线。其投影面特性如表2－2所示。
1， 直线在它所垂直的投影面上的投影成为一点（有积聚性）
2， 其他两个投影垂直于相应的投影轴，并且反映实长（有显实性）。

第六节 直线上的点

一，点和直线的相对位置分为两种：点在直线上和点不在直线上。由直线上点的投影特性可知：
1， 点在直线上，则该点的各个投影必落在该直线的同面投影上
2， 点分线段成某一比例，则该点的各个投影也分该线段的同面投影成相同的比例。
一般情况下，判别点是否在直线上，只需观察它的两面投影就可以了。但对于侧平线还需要观察它的侧面投影。
二．直线的迹点
直线与投影面的交点叫做直线的迹点，其中与水平面的交点叫做水平迹点；与V面所交点叫做正面迹点；与W 面 的交点叫做侧面迹点。迹点是直线和投影面的公共点，所以它投影具有两重性：
（1） 作为投影面上的点，则它在该投影面上的投影必与它的投影重合，而另一投影必须落在投影轴上。
（2） 作为直线上的点，则它的各个投影必落在直线的同面投影上。
如图2－24，就得到根据直线的正面投影求其迹点的作图方法：
（1） 为求作直线的水平迹点，应当延长直线的正面投影与ox轴相交，再从所得的交点，作ox 的垂线与直线水平投影相交，此时所得的交点即为水平迹点；
（2） 为求作直线的正面迹点，应当延长直线的水平投影与ox轴相交，再从所得的交点，作ox 的垂线与直线正面投影相交，此时所得的交点即为正面迹点；
具体作法见p18。
第七节 无轴投影图

把空间形体向投影面进行正投影时，所得投影图的形状、大小不受投影面距离远近的影响。这是正投影法的一个显著特点。
对于直线来说，即使改变了他与投影面的距离，它的投影丝毫不会改变。
如图2－26所示，当投影面平面移动时，只能引起投影轴的移动，而不能引起投影图的形状和大小的变化。
在工程上，一般只要求投影图能够表达出空间形体的形状和大小，而不要考虑对投影面的距离。因此，投影轴也就没有意义了。这种不绘出投影轴的正投影图就叫做无轴投影图。具体作图时，V面与H面之间的点的连接线确保为竖直线，在适当位置的地方画45度线，再求侧面投影。

第八节 两直线的相对位置

两直线在空间所处的相对位置分为三种情况，即平行、相交和交错。
A.平行的两直线
1，两直线在空间相互平行，则它们的同面投影也相互平行。
2，对于一般位置的两直线，根据它们的水平投影及正面投影相互平行，就可以断定它们在空间也是平行的。但是对于侧平线，必须画出它们的侧面投影，才能断定它们的空间真实位置。
3， 互相平行的两直线，如果垂直于某一投影面，则在该投影面上的投影积聚为两点，还反映出它们在空间的真实距离。
B.相交的两直线
1， 两直线在空间相交，则它们的同面投影也相交，而且各对同面投影交点的连线必符合空间一点的投影特性。
2， 对于一般位置的两直线，只有根据水平投影及正面投影的相对位置，就可以判断它们在空间是否相交。但对于一条是侧平线，就必须看他的侧面投影。
3， 当两相交直线透视平行于某一投影面时，该相交直线的夹角在投影面上的投影反映出夹角的真实大小。
C.交错的两直线
1， 空间即不平行也不相交的两直线，就是交错的两直线，也叫异面直线。
2， 要判别一般位置的两直线是相交还是交错的，就在于判别它们的同面投影交点的连线是否垂直于OX轴。垂直则表示相交；不垂直则表示交错。对于有一条是侧平线（或者两条是侧平线）就需要看它们的侧面投影。
3， 事实上，交错两直线任何一对同面投影的交点是空间两个点的投影，这两个点分属两条直线，且位于同一条投影线上。空间位于同一条投影线上的两个点，因为它们有一对同面投影相重合，所以这两个点叫重影点。
4， 判别重影点可见性的方法：
（1） 为判别H面重影点的可见性，必须从上往下看，此时，较高的一点是看得见的，较低的一点看不见。
（2） 为判别V面重影点的可见性，必须从前往后看，此时，较前的一点是看得见的，较后的一点看不见。

第九节 直角的投影

1．两相交直线（或两交错直线）之间的夹角。可以是锐角、钝角或直角。一般来说，药使一个角不变形地投射在某一投影面上，必须使此角的两边都平行于该投影面。但是，对于直角，只要有一边平行于某一投影面，则此直角在该投影面上的投影仍旧是直角。
证明：如图2－38，设空间直角ABC的一边平行于H面，而另一边BC 倾斜于H面.因为AB即垂直于BC，又垂直于Bb，所以AB 垂直于铅垂面BCcb。又知，AB 和它的投影ab是互相平行的，所有ab也同样垂直于铅垂面BCcb。由此得出ab垂直bc，即。
2．由此得出结论：两条互相垂直的直线，如果其中有一条是水平线，那么它们的水平投影必互相垂直。同理，两条互相垂直的直线，如果其中一条是正平线（或侧平线），那么它们的正面投影（或侧面投影）必互相垂直。
上述结论即适用于互相垂直的相交两直线，又适用于互相垂直的交错两直线。
3． 直角投影的这种特性，常用来在投影图上解决有关距离的问题。在今后的练习中会经常遇到。

第三章 平 面

第一节 平面的表示方法

一． 平面在空间的位置，可以由平面内不在一条直线上的任意三个点来确定。因此要在投影图中给出一个平面，只有给出这个平面内任意三个点的投影就可以了。一般情况下，我们习惯用三个点连成一个三角形。
平面的表示方法有：
A. 三点表示
B. 两条相交直线
C. 两条平行直线
D. 一条直线和不在直线上的一个点
二． 对三个投影面都倾斜的平面是一般位置平面。一般位置平面也有上行和下行之分。
1， 上行平面。它随着离开观者而上升，其投影特征是两面投影的各顶点的符号顺序是同方向的。
2， 下行平面。它随着离开观者而下降，其投影特征是两面投影的各顶点的符号顺序是反方向的。
三. 在无轴投影图中，可以根据平面的水平投影和正面投影，按照点和直线三面投影的作图方法可以求出其侧面投影。
四. 平面的迹线：平面于投影面的交线叫做平面的迹线，其中与H面的交线叫做水平迹线；与V面的交线叫做正面迹线。
作平面的迹线的方法归结为作该平面上两条直线的迹点。

第二节 特殊位置平面

对一个投影面平行或垂直的平面角特殊位置平面。

一 投影面的平行面
平行于水平投影面的平面叫做水平面；
平行于正立投影面的平面叫做正立面；
平行于侧立投影面的平面叫做侧立面。
这三种平面的三面投影在教材（表3－1）一一列出
从表格中可以归纳出投影面平行面的投影特征：
iv. 平面在它所平行的投影面上的投影反映实形（即有显实形）
v. 平面在另外两个投影面上的投影积聚成直线（即有积聚性），并且分别平行于相应的投影轴。
二 投影面垂直面
垂直于水平投影面的平面叫铅垂面；
垂直于正立投影面的平面叫铅垂面；
垂直于侧立投影面的平面叫铅垂面。
其三面投影在表(3-2)给出
从表格中可以归纳出投影面垂直面的投影特征：
（2） 平面在它所垂直的投影面上的投影积聚成直线（即有积聚性），此直线与投影轴的夹角等于空间平面与相应投影面的夹角；
（3） 平面在另外两个投影面上的投影不反映实形，且变小。
三 垂直面的表示法
平行于一个投影面的平面，必然垂至于另外两个投影面。所以平行面可以看作垂直面的特殊情况。这样一来，六种特殊位置的平面，都可以成为垂直面。
在投影图中，用垂直面有积聚性的那个投影（是一条直线），就可以充分表示这个平面，事实上，这条直线也就是垂直面扩大后与它所垂直的投影面的迹线。
例如，用Pv就表明一个水平面P，注脚的字母V说明P平面垂至于正立面。

第三节 平面内的直线和点

直线在平面内的判定规则：
（1） 一直线若通过一平面内的两点，则此直线必位于该平面内；
（2） 一直线若通过一平面内的一点，又平行于此平面内的一直线，则此
直线必位于该平面内。
根据这两条规则，就可以在投影图上作出属于已知平面内的直线。
问题：
1，怎样在投影图上作出位于已知平面内的点？
第一步，先在已知平面内引出一条辅助直线；
第二步，再再此辅助直线上定点
2.怎样求作多边形的投影？
以四边形为例，首先把A,B,C三点看作是一个三角形ABC,而点D是三角形平面内的一个点，再用前述方法求出点D的投影，最后完成四边形的投影。
注意：绘制平面多边形，必须保证做到此多边形的各个顶点都位于同一平面内。

第四节 平面内的特殊直线

定义：平面内对投影面H,V,W处于特殊方向的直线叫做平面内的特殊直线。
一 平面内的投影面平行线
1，平面内的水平线就是平面内平行于水平投影面H的直线。
2，平面内的正平线就是平面内平行于正立投影面V的直线。
二 平面内的最大斜度线
平面内的最大斜度线就是平面内垂直于各投影面的平行线的直线。其中，垂至于水平线的直线叫做对H面的最大斜度线，垂至于正平线的直线叫做对V面的最大斜度线。
平面内对H面的最大斜度线的倾角，即等于该平面对H面的倾角。
平面内对V面的最大斜度线的倾角，即等于该平面对V面的倾角。

第五节 直线和平面平行、两平面平行

一 直线和平面平行
直线和平面平行的判定规则：一直线若和一平面内的直线平行，则此直线就和该平面平行。
当直线和投影面垂直面平行时，则此直线有积聚性的迹线必和此直线的同面投影平行。此时，迹线于该直线同面投影的距离就等于该直线于此垂直面的距离。
二 两平面平行
平面和平面平行的判定规则：若一平面内相交两直线对应地平行于另一平面内相交两直线，则两平面互相平行。
根据该规则，我们可以判定任意两平面是否平行，还可以求作过给定的点作平面平行于已知平面等。

第六节 直线和平面最近、两平面相交

直线和平面相交，有一个交点。两平面相交，有一条交线。

一 直线和特殊位置平面相交
可以根据特殊位置平面的积聚性和直线上点的投影特性容易求出它们的交点。
二 一般位置平面和特殊位置平面相交
一般位置平面和特殊位置平面相交，所得交线投影的画法，可以归结为求作一般位置平面内的两条直线和特殊位置平面的两个交点的投影。
三 直线和一般位置平面相交
求作直线和一般位置平面的交点，应该分三个步骤：
1， 经过已知直线作一个辅助平面；
2， 求此辅助平面与已知平面的交线;
3， 确定此交线与已知直线的交点。
四 两个一般位置平面相交
求作两个一般位置平面的交线时，必须加上两个辅助平面，求出所给平面的两个公共点，再用直线连接这两个公共点，即为所求的交线。辅助平面的选择，显然是以特殊位置平面最好。
五 可见性的判别
由于我们认为平面是不透明的，因此，在直线和平面的交点确定以后，还会产生直线的可见性判别问题。
当我们从上往下看直线的水平投影时，位于平面之上的部分时看得见的（用实线画出），位于平面之后被遮住的部分是看不见的（用虚线画出）。
判别可见性的基本途径有两条：
l 读出直线和平面在空间的趋势（上行或下行），从而确定直线的可见性；
l 利用直线和平面上的重影点的可见性，从而确定直线的可见性。

无论应用哪一条，都必须记住，交点是可见部分和不可见部分的分界点。

第七节 直线和平面垂直、两平面垂直
一 直线和平面垂直
直线和平面垂直的判定规则：一直线和一个平面内的任意两条相交直线垂直，则该直线就和这个平面垂直。这里，我们把垂直于一个平面的直线叫做平面的垂线，把这个平面叫做这条直线的垂面。当平面已知，则垂线的方向就已经确定。
如图3－30，我们得出结论：平面垂线的水平投影必垂直于这个平面内的水平线的水平投影；正面投影必垂直于这个平面内的正平线的正面投影；侧面投影必垂直于这个平面内的侧平线的侧面投影。
利用上述投影特性，可以解答如下性质的问题：
（1） 经过已知点作直线垂直于已知平面。
（2） 经过已知点作平面垂至于已知直线。
（3） 经过已知点作直线相交于已知直线。
二 两平面垂直
判定规则：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面就互相垂直。
根据这个规则并运用平面垂线的投影特性，就可以解决两平面垂直的作图问题。此类问题分两步：
1， 过已知点作一条直线垂直于已知平面；
2， 过这条直线作平面；
3， 因为过空间一直线可作无数个平面，故必须补充一个条件，才可以得到唯一答案。

第四章 投影变换

第一节 投影变换的目的和方法

为了更好地表达空间形体，或者简化某些定位问题和度量问题的解答，应该设法使所给的一般位置直线或平面，变换成某种特殊位置。
投影变换的目的：就是改变已知形体对投影面体系的相对位置，以达到简化定位问题和度量问题的解答。
实现这种变换，有两者方法：
1， 设给出的形体不动，用新的投影面体系去代替原投影面体系，此法叫做变换投影面法，即换面法。
2， 设投影面体系不变，把给出的形体绕一固定的轴旋转，此法敬爱哦做旋转法。

第二节 变换投影面法
一 基本原理
变换投影面，是把两个基本投影面H和V之中的一个，用一个新的投影面来代替，并且这个新投影面必须垂直于那个被保留的投影面，从而建立起新的投影面体系。
这里，我们必须首先了解在投影面体系变换时，点的投影的变换规律。
1 变换正立投影面
变换投影面V时，新投影面——用符号表示——必须垂直于被保留的H面，从而得到新体系（H , ）,如图4－3（a）
设原体系中有一个点A，它的原投影是a和a’；为作出A点在新投影面V1上的投影，我们经过A向V1引垂线，所得垂足a’1就是A点的新投影。为区别起见，我们把a’叫做被代替的投影，把a叫做被保留的投影，V和H的交线OX为旧投影轴，V1和H的交线o1x1为新投影轴。
当新投影面V1绕新轴O1X1按图4－1（a）所指方向旋转90度而重合于H面时，就得到图4－2b所示投影图。从图中可以看出：
;
这样一来，我们就不难在投影图上，根据一点的两投影，求作它的新投影。
如已给出A的两面投影a和a’，求A点在新面V1上的投影a’1，作法如下：
vi. 在被保留的水平投影a附近作新轴O1X1（此时确定了新面V1的位置，它相当于一个铅垂面）；
vii. 自a向新轴O1X1引一条垂线；
viii. 在此垂线上，从新轴o1x1起截取，a’1即为所求。
2 变换水平投影面
变换投影面H时，新投影面——用符合H1表示——必须垂直于被保留的V
面，从而得到新体系（H1,V）,如图4－3（a）。
当新投影面H1绕新轴O1X1按图4－3（a）所指方向旋转90度而重合于V面时，就得到图4－3b所示投影图。从图中可以看出：
;
由此得知A点的新投影a1的作法如下：
（1）在被保留的正面投影a’附近作新轴O1X1（此时确定了新面H1的位置，它相当于一个铅垂面）；
(2)自a’向新轴O1X1引一条垂线；
（3）在此垂线上，从新轴o1x1起截取，a1即为所求。
综上所述，无论变换V或H面，可以得到这样的结论：
A． 点的新投影和被保留的投影的连线，必须垂直于新轴O1X1;
B． 点的新投影到新轴O1X1的距离，必等于被代替的投影到旧轴OX的距离。
3 变换两次投影面
在作图过程中，根据需要我们还可以继续变换被保留下来的旧投影面，即变换两次投影面。也就是说，对于体系（H , V1）可以继续变换H为H1,并且使得 ; 而对于体系（H1 ,V）,则可以继续变换V 为V1，并且使得 ,最后得到由两个新投影面组成的体系（H1 , V1）。

二 基本作图问题
1 把一般位置直线变换成平行线
2 把平行线变换成为垂直线
3 把一般位置直线变换成垂直线
4 把一般位置平面变换成垂直面
5 把垂直面变换成平行面
6 把一般位置平面变换成平行面

第三节 旋转法

一 基本原理
当用旋转法改变已知形体和投影面的相对位置时，投影面体系时不变的，而时把已知形体绕一固定轴线旋转。作为旋转轴的直线，通常选垂直线或平行线。

1 点绕铅垂线旋转
如图4－14（a）所示，设空间点绕一铅垂线O旋转，则它运动的轨迹时一个圆，此圆周所在的平面Q垂直于旋转轴，因而时水平面。根据水平面的投影特性可知：A点的轨迹圆周，投影在H上时不变的，但投影在V面上则成为一段平行于OX轴的直线。
图4－14（b）给出A点及铅垂线O的两面投影，求作A点绕此铅垂线向反时针方向（对H面看）旋转角后的新投影，做法如下：
（1） 以O为圆心，以oa为半径，向反时针方向旋转角，得到A点的新水平投影a1；
（2） 过a1向上引铅垂联系线，与过a’引出的平行于OX直线相交，得到A 点的新正面投影a’1。
2 点绕正垂线旋转

点绕正垂线旋转的原理和方法和上述一样，由此我们可以得出结论：
A． 当点绕铅垂线旋转时，点的水平投影是作圆周运动，圆心就是此铅垂线的水平投影；而正面投影则做直线运动，此直线平行于OX 轴；
B．当点绕正垂线旋转时，点的正面投影是作圆周运动，圆心就是此正垂线的正面投影；而水平投影则做直线运动，此直线平行于OX 轴；
这一结论，就是我们在投影图上作出点的新投影的依据。

3 直线和平面的旋转
旋转直线可以简化为旋转此直线上的两个点，旋转平面可以简化为旋转此平面上不属于一条直线上的三个点；但是，必须遵守绕同一条轴、按同一方向、旋转同样大小的一个角度（简言之同轴、同向、同角）的原则。这样，才不改变点本身之间的相对位置。
做法如图4－17所示。

二 基本作图问题
用旋转法也可以解决在变换投影面法中所谈过的六个基本作图问题。
Ø 把一般位置直线旋转成平行线
Ø 把平行线旋转成为垂直线
Ø 把一般位置直线旋转成为垂直线
Ø 把一般位置平面旋转成为垂直平面
Ø 把垂直面旋转成为平行面
Ø 把一般位置平面旋转成为平行面

第四节 以平行线为轴的旋转法

前述两节里，可以看到：确定一般位置平面的实形，无论用变换投影面法，或者用垂直线为轴的旋转法，都要经过两次变换。事实上，如果采用平面内的一条水平线或正平线为轴来旋转此平面，那么一次变换就可以求出。
设有一般位置平面 ABC，如图4－26所示，其中BC边为水平线。我们把三角形ABC以水平线BC为轴旋转到水平位置；得三角形A1BC（图中表示重合于H面的位置）。可以看到：在投影图上（图4－26），的新水平投影一定反映实形。
如何作出这个新水平投影？
顶点C和B是旋转轴上的点，它们的水平投影c和b，在旋转前后，原地不动。所以，只要作出A点的新水平投影a1，问题就可以解决了。
当三角形ABC绕水平线BC旋转时，顶点A的轨迹为圆周，此圆周所在的平面Q垂直于BC,圆心O就是BC与平面Q的交点，半径就是线段OA 。因为BC平行H，所以Q垂直H 。这就说明：A点在空间绕BC作圆周运动时，它的水平投影a就作直线运动，且直线垂直于bc ;其次，当三角形ABC旋转到水平位置时，A点的旋转半径OA，也处于水平位置，因此它的新水平投影就反映实长。
由此可以得出结论：
1， 平面绕水平轴旋转时，平面内点的水平投影对轴的水平投影时作垂线运动；
2， 平面旋转到水平位置时，平面内点的旋转半径的水平投影必反映实长。

依此结论，我们可以在投影图上实现这种旋转，具体做法见p60图4－26，图4－27。
第五节 度量问题和定位问题举例

一 度量问题

1 确定距离
l 点到平面的距离
l 点到直线的距离
l 两平行直线之间的距离
l 两交错直线之间的距离
重点掌握“反回作图法”的应用
2 确定角度
l 两相交直线之间的角度
l 直线和平面之间的夹角
l 两平面之间的夹角

二 定位问题
1 求作直线和平面的交点

2 求作两个平面的交线

本节是本章所学知识的综合运用，必须通过大量作图练习来加以巩固。

第五章 平面立体

第一节 平面立体的投影

什么是平面立体？
由平面多边形包围而成的立体叫做平面立体。基本的平面立体是棱柱和棱锥。由于点、直线和平面是构成平面立体表面的几何元素，因此，绘制平面立体的投影，归根结底是绘制点、直线和平面的投影。

一 棱柱
了解构成棱柱的各个面的形状及其投影特点，掌握求作棱柱上的点的方法。我们规定：点的投影，看得见的点用小圆圈表示，看不见的点用小黑点表示。

二 棱锥
了解构成棱锥的各个面的形状及其投影特点，掌握求作棱锥上的点和线的方法。同上，我们规定：点的投影，看得见的点用小圆圈表示，看不见的点用小黑点表示；旋转子 N 一””‘：：：：：两两联一一 以 以以看得见的直线用实线表示，看不见的线用虚线表示。
在棱锥面上定点方法有二：
1， 过已知点作平行线；
2， 过锥顶作直线过已知点。

了解构成棱柱的各个面的形状及其投影特点，掌握求作棱柱上的点的方法。我们规定：点的投影，看得见的点用小圆圈表示，看不见的点用小黑点表示。

第二节 平面和平面立体相交

平面和平面立体相交，此平面叫做截平面；所得的交线叫做截交线；由截交线围成的平面叫做截断面。
求作平面立体的截交线，可以用两种方法：
1， 交点法，即求作平面立体的棱线和截平面的交点；
2， 交线法，即求作平面立体的棱面和截平面的交线。

在实际作图中，经常采用的是交点法。当用交点法求出截交线的各个顶点以后，按照以下方法来连接各个顶点：位于平面立体同一个棱面上的两点才能连接。连接点的时候，还要注意可见性：把可见棱面上的两点用实线连接；不可见棱面上的两点用虚线连接。

作图时，注意利用图形的积聚性，有时还用换面法来辅助作图。

第三节 直线和平面立体相交

直线和平面立体相交，在立体表面上，可以得到两个交点，即贯穿点。求作平面立体的贯穿点，分为三步：
1， 过已知直线作一个辅助截平面；
2， 求出此辅助截平面和已知平面立体的截交线；
3， 确定所求截交线和已知直线的交点。
为了简化作图，通常是选择投影面垂直面为辅助截平面。直线贯穿平面立体以后，穿进立体平面内部的那一段总是看不见的，因此其投影要画成虚线，有时可以不画。至于露在平面立体表面以外的部分，其可见性的判别就要借助于重影点的可见性，或者直接读出贯穿点本身的可见性。

第四节 两平面立体相交

两平面立体相交，又叫相贯，在它们表面上所得的交线，叫做相贯线。在一般情况下，两平面立体的相贯线是封闭的空间折线。
根据两平面立体相贯的情况，可分为互贯和全贯两种。
两平面立体相贯线的每一段折线，必定是两平面立体某两棱面之间的交线，而每一折点必定是一平面立体的某棱线与另一平面立体某棱面的交点。因此，求作两平面立体的相贯线可以用下面两种方法：
1， 交线法——求作两平面立体棱面的交线；
两个相贯的平面立体，不一定是所有棱面（包括底面）都有交线，也不是所有棱线都有交点。因此，作题前，必须分析那些棱面或那些棱线参与相交。
2， 交点法——求作一平面立体的棱线对另一