数学题不会做但能看懂答案怎么办.doc

数学题不会做但能看懂答怎么办
这个问题其实比较典型，也不能算是个小问题，我下面仔细说说我的一些经验。字数较多，但愿能有耐心把它看完吧。这样吧，我给举个例子，就明白了。比如有一道题，证明1+1/2²+1/3²…+1/n²<2（n是正整数），看了不会做，就看答案，答案上面这样写：
1+1/2²+…+1/n²<1+1/(1×2)+1/(2×3)+…+1/[n(n-1)]
=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+1/3-…+1/(n-1)-1/n
=1+1-1/2+1/2-1/3+1/3-…+1/(n-1)-1/n
=2-1/n<2
然后仔细看一遍，说看懂了。第一步就是把每个分母都变小了，这样值就变大了；第二步就是把每个1/m(m+1)这种形式的分数都拆开了；第三步就是让中间一大堆加加减减都抵消掉，剩下来2-1/n所以小于2，就证完了。每一步都弄懂了。然后又遇到一道类似的题。证明：1+1/3²+1/5²+…+1/n²<3/2（n是奇数，n>0），反正上面的弄懂了，就仿照上面的做吧：
第一步，把分母变小1+1/3²+1/5²+…+1/n²<1+1/(2×3)+1/(4×5)+…+1/(n-1)n
第二步，拆开1+1/2-1/3+1/4+…+1/(n-1)-1/n
第三步，中间一大堆抵消……
不对！抵消不掉，这是怎么回事？之后就不会做了……
这个问题出在什么地方呢？ “理解了”或者“懂了”是“停留在答案字面上的”。我认为一道题的答案有两个部分，一个是“有形的部分”，就是答案写在纸上的；另一个是“无形的部分”，就是答案的思路、意图、来源，怎么由题目想到这种解题方法。字面上的理解就是只理解第一个部分，答案写着步骤a-步骤b-步骤c（解完了），然后你理解了这三个步骤是什么，步骤a到b、b到c的推导都看懂了。但是第二部分的理解就难了，要理解第二部分，必须弄清楚“为什么我们要采用a-b-c这个方法”“怎么想到的要采用a-b-c这个方法”“为什么不能用a'-b'-c'这另一种方法”好多好多的问题。往往要做到机械模仿，只需要理解第一部分，但是要做到一通百通，变一下还会做，类似的题全部都能做对，那必须理解第二部分。
下面我来说说上面最开始的那个答案的“无形部分”是什么。从几个问题入手。
① 什么要把分母变小？
答：这是证明不等式常用的方法，叫“放缩法”。
② 什么要按照这种规则把分母变小？
答：因为这样才能把一个分数拆成一正一负两项。
③ 什么要把它拆成两项？
答：我们要证明的是一个求和形式，必须找到一种变形，把求和能式子化简。化简的最好方法就是中间项正负抵消。
这时候你会发现，把分母变小的方法，不光要能把分数拆开，还要能让中间项抵消。再仔细观察，就会发现抵消的关键是让前一项的末尾和后一项的开头是同一个数（比如1/(2×3)和1/(3×4)都是3，这是连接处；要是1/(2×3)和1/(4×5)就不行，没有连接处）。最后就可以总结出此类题目的“灵魂”：把分母变小，变小成乘积的形式，并且乘积前一项的末尾和后一项的开头是同一个数，然后拆开，抵消求和。总结出这个，才能说“无形”的部分也弄懂了。知道这个以后，就可以做类似的题了。不能机械模仿，把1/3²还变成1/(2×3)，而变成1/(1×3)，后面1/5²变成1/(3×5)以此类推，这样让分母上两个数相差2，就对接上了。
1+1/3²+1/5²+…+1/n²<1+1/(1×3)+1/(3×5)+…+1/[(n-2)n]
=1+1/2 [1-1/3+1/3-1/5+…+1/(n-2)-1/n]
（注意分母相差2的时候，拆开还要再乘以1/2）
=1+1/2-1/(2n)=3/2-1/(2n)<3/2
这道题就证完了。
建议做到两点①注意基础知识，有的看似题目上的问题，实际上是基础知识掌握不牢。要做到把答案彻底弄懂，往往背后要求你课本上的知识点之类的要很牢固，这样有知识敏感度，才能看出来答案那个无形的部分是什么。②平时看答案多思考，不要光问“答案第一步到第二步怎么得出”，还要问“答案是怎么想到用这个方法的，这个方法成功的关键是什么”。 当然最后，你的数学比较熟练了，你会发现前面那种“做不下去”的做法实际上是可以做下去的：
1+1/3²+1/5²+…+1/n²<1+1/(2×3)+1/(4×5)+…+1/(n-1)n
=1+1/2-1/3+1/4+…+1/(n-1)-1/n
=3/2+(1/4-1/3)+(1/5-1/4)+…-1/n
可以看出前面是3/2，后面一对一对组合(1/4-1/3)、(1/5-1/4)……得到的全都是负数，所以总的来说是3/2加了1个负数，比3/2小。当然，这明显是另一种思路了。