线性方程组的迭代解法.doc

第5章 线性方程组的迭代解法

本章主要内容
1. 向量和矩阵范数的概念及其性质. 谱半径、条件数和线性方程组的性态
2. 雅可比迭代法，
3. 高斯-塞德尔迭代法.
4. 收敛性的判定.

重点、难点
一、 向量的范数和性质
1. 向量的范数和性质
n维向量X的范数是一个非负实数。
常用的三种向量的范数为：

向量范数的性质：
(1) 向量的范数满足的不等式：

（2） 任意两个向量的范数等价
即若 是向量X的两个范数，则存在正常数m，M.使得对任意非零向量X，恒有
3.向量序列的收敛
（1）若是任一向量序列，，
对i=1,…,n都有
则称向量为向量序列 的极限，或称向量序列依坐标收敛于向量X*，记作
（2）向量序列依坐标收敛于向量X*充要条件是向量序列是依范数收敛于向量X*，即
例1已知向量X=（2，-3，4），求向量X和矩阵A的三种常用范数。
【思路】利用向量范数的定义求解。
解

例2 证明向量X的范数满足不等式
（1） ；（2）
【思路】根据向量范数的定义及不等式的性质证明
解 （1）设xj是向量X的分量，则，所以由向量范数的概念可知，结论成立。
（2）

二、矩阵的范数和性质
1.若A是n阶方阵,是一种向量范数， 则实数 称为A的导出矩阵范数。
2.性质：
矩阵范数具有下列基本性质：
（1） ，仅当A=0时，有 ，
（2） 对任意数λ，有 ，
（3）
（4）
（5）对任意向量X，有
三种常用矩阵范数为：

例3 已知矩阵 ，求它的三种常用范数。
【思路】利用向量范数的定义求解。
解

三、谱半径和线性方程组的性态
1. 谱半径
定义 若λi(i=1,2,…,n)矩阵A的特征值，则实数称为A的谱半径。
性质：
（1）若A为n阶矩阵，为A的任一范数，则有
（2）对任给ε>0，则存在范 ，使得
说明：可以用谱半径讨论迭代法的收敛性问题。
2 线性方程组的性态
（1）假设系数矩阵A是精确的，且非奇异，则右端向量b的误差对解的影响
设是的误差，而是的误差，则有
所以当时，则有

（2）假设右端向量b是精确的，则系数矩阵A的误差对解的影响
设是的误差，而是的误差，则有

（3）方阵的条件数
定义5.5 若A是n阶非奇异矩阵, 则称数为矩阵A的条件数。记作
容易证明，条件数具有下列性质
⑴ cond(A)≥1
⑵cond(kA)= cond(A),k为非0常数
由此可见，系数矩阵的条件数确实能反映线性方程组的解对于初始数据误差的敏感程度。
（1）当cond(A)很大时，则系数矩阵A的微小相对误差或右端向量的微小相对误差，可能使解产生相当大的相对误差，则称方程组是病态的。
（2）当cond(A)较小时，则系数矩阵A的微小相对误差或右端向量的微小相对误差，不会使解产生大的相对误差，则称方程组是良态的。

四、雅可比迭代法
线性方程组Ax=b的系数矩阵A为非奇异矩阵，且A的所有对角元akk≠0(k=1,2,…,n), 则由克莱姆法则知，线性方程组存在唯一的解X*，利用雅可比迭代法公式对线性方程组进行迭代计算，可求得线性方程组的近似解。
雅可比迭代法公式：
1.方程组形式：

2. 矩阵形式：
将系数矩阵A分裂为A=D-（L+U），其中-L，-U，D分别为矩阵A的严格下三角部分，严格上三角部分和对角部分 ，即：
,

雅可比迭代法矩阵形式为：
其中雅可比迭代矩阵

例4 用雅可比迭代法求解线性方程组
【思路】先将方程组同解变形，然后建立雅可比迭代方程组和高斯-塞德尔迭代方程组，并选择初始值，再利用雅可比迭代公式和高斯-塞德尔迭代公式迭代计算。
解 原方程组同解变形为

雅可比迭代公式为

选取初始值
迭代计算，列表如下：
n

0
0.00000
0.00000
0.00000
1
0.72000
0.83000
0.84000
2
0.97100
1.07000
1.15000
3
1.05700
1.15710
1.24820
4
1.08535
1.18534
1.28282
5
1.09510
1.19510
1.29414
6
1.09834
1.19834
1.29504
7
1.09944
1.19981
1.29934
8
1.09981
1.9991
1.29978
9
1.09994
1.19994
1.29992
取方程组的近似值为
比较两种解法，一般地，高斯-塞德尔迭代法比雅可比迭代法好，但也有高斯-塞德尔迭代比雅可比迭代收敛慢，甚至雅可比迭代法收敛而高斯-塞德尔迭代法不收敛。
五、高斯-塞德尔迭代法
高斯-塞德尔迭代法公式：
1.方程组形式：

2. 矩阵形式：
其中高斯-塞德尔迭代矩阵

例5 用高斯—塞德尔法解方程组

（1） 证明高斯—塞德尔法收敛；
（2） 写出高斯—塞德尔法迭代公式；
取初始值，求出。
解（1）因为为严格对角占优矩阵，所以高斯-塞德尔迭代法收敛。
（2）高斯-塞德尔法迭代公式为：

（3）取初值，计算得

六 严格对角占优矩阵
设A=（aij）为n阶方阵，若满足， 则称A为 对角占优矩阵； 若上式中不等号严格成立，则称A为严格对角占优矩阵。

七 收敛性的判断方法
1. 若线性方程组Ax=b的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法收敛，且有误差估计式

2.若线性方程组Ax=b的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，则高斯-塞德尔迭代法收敛，且高斯-塞德尔迭代法的误差估计式为

3.若系数矩阵为对称正定矩阵，则高斯-塞德尔迭代法收敛。

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