函数平方逼近多项式的均方误差计算.doc

　　函数平方逼近多项式的均方误差计算
实验要求：设
（1） 求连续函数在区间[-1,1]上的3次最佳平方逼近多项式，计算均方误差；
（2） 在区间[-1,1]上取5个等距结点，求的离散3次最佳平方逼近多项式，计算均方误差；
（3） 在区间[-1,1]上取9个等距结点，求的离散3次最佳平方逼近多项式，计算均方误差；
（4） 比较和，应如何合理地定义离散情况下的均方误差？该定义（1）中的有何关系？

实验步骤：
（1） 利用legendre正交多项式作在[-1,1]上的最佳平方逼近，先计算，=0，1，2，3。

由方程组计算出系数

解得系数为

由以上系数和legendre正交函数簇可得在 [-1,1]上的三次最佳平方逼近多项式为:

均方误差：

和多项式在区间[-1,1]上的图形如下所示：

（2） 在区间[-1,1]上等距的取5个点

-1.0000
-0.5000
0
0.5000
1.0000

0.0385
0.1379
1.0000
0.1379
0.0385
由法方程，得到如下方程组：

解得系数为

由此得到 =
均方误差 ==0.5945
和多项式在区间[-1,1]上的图形如下所示：

（3） 在区间[-1,1]上等距的取9个点

-1.0000
-0.7500
-0.5000
-0.2500
0
0.2500
0.5000
0.7500
1.0000

0.0385
0.0664
0.1379
0.3902
1.0000
0.3902
0.1379
0.0664
0.0385
由法方程，得到如下方程组：

解得系数为

由此得到
均方误差
和多项式在区间[-1,1]上的图形如下所示：

（4） 由（2）、（3）可以看到，这意味着在该均方误差定义下，得到的的信息越多，反而拟合出的曲线误差越大。
可以将离散情况下均方差定义为

其中是和之间的距离，,采用均匀分布，在区间[a,b]上n个采样点，==，在此定义下，[a，b]=[-1,1]时，=0.4203，=0.3183，有<，并且有：当n趋近于无穷时，=