二阶与三阶行列式.doc

9.3（1）二阶行列式—--导学案
供稿人—赵艳波
学习目标：
1.了解行列式产生的背景；
2.经历引入二阶行列式的过程；
3.掌握二阶行列式展开法则及用二阶行列式解（系数行列式的值不为零的）二元一次方程组的方法，体验二阶行列式这一特定算式的特征．
学习重点：二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组．
学习难点：二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组
学习过程
一 知识链接：
行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具．行列式概念第一次在西方出现，是1693年在莱布尼茨给洛必达的一系列信中出现的，据此，莱布尼茨得到了发明行列式的荣誉．然而，1683年在日本数学家关孝和（被誉为“算圣”、“日本的牛顿”）的著作《解伏题元法》中就有了行列式的概念．
德国数学家莱布尼茨是与牛顿齐名的微积分的创始人，同时他又是数学史上最伟大的符号学者之一，堪称符号大师，他曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动”．他创造的数学符号有商“”、比“:”、相似“∽”、全等“≌”、并“”、交“”等，最有名的要算积分和微分符号了．
二 新知导学：
1．二阶行列式的引入
设二元一次方程组（*）
（其中是未知数，是未知数的系数且不全为零，是常数项．）
用加减消元法解方程组（*）．当时，方程组（*）有唯一解：，引入记号 表示算式，即 ．
2.行列式的相关概念：

行列式 二阶行列式 行列式的展开式

行列式的值 行列式的元素 对角线法则
， ， ，则当 =时，方程组（*）有唯一解，可用二阶行列式表示为．
三．新知探究
例1．展开并化简下列行列式：
（1） （2）

（3） （4）

说明：①正确运用对角线法则展开；②由（1）（2）可知，行列式中元素的位置是不能随意改变的．
例2．用行列式解下列二元一次方程组：
（1） （2）

说明：①当所给方程组的形式不是方程组（*）的形式时，应先化为方程组（*）的形式，才能得到正确的和；②注意到这两个方程组的系数行列式的值均不为零．
知识拓展
①二阶行列式展开的逆向使用的问题；
如：算式可用怎样的二阶行列式来表示等．
②二阶行列式的值为零时，行列式中的元素有何特征？
③举例说明，当二元一次方程组的系数行列式的值为零时，方程组的解会有怎样的可能
四．知识巩固与检测
1.展开并化简下列行列式：
（1）； （2）； （3）

2.将下列各式用行列式表示：
（1）； （2）
3.用行列式解下列二元一次方程组：
（1）； （2）

五．学后体会：

六．学后作业
1.计算下列行列式的值
（1） （2）

（3） （4）
2.用行列式表示下式

（1） （2）
3.如果有意义，求实数的范围。

4.已知数列中，且， 求的极限。

5.已知等比数列中，，求数列的前项和。

6. 已知等比数列中，首项为 ，公比为且求首项的范围。

7.求极限：

8．解方程：

9.3（2）作为判别式的二阶行列式

供稿人 赵艳波
学习目标：
1.通过经历在二元一次方程组系数行列式和两种情形下讨论它的解的不同情况的过程，体验二元一次方程组系数行列式作为解的判别式的含义；
2.学会并掌握用二元一次方程组系数行列式判别（数字系数的）方程组解的情况的方法；
3.通过经历讨论字母系数二元一次方程组解的情况的过程，体验并掌握讨论的依据、步骤及（书写）表达．
学习重点：二元一次方程组解的情况的判别与讨论．
学习难点：用二元一次方程组系数行列式判别（数字系数的）方程组解的情况
学习过程：
一 知识链接：
由上节课的例2解二元一次方程组及课后训练可以知道，这些方程组的系数行列式的值均不为零，即，它们的解是唯一的．我们还通过举例得到了一些二元一次方程组，它们的系数行列式的值为零（即），但它们的解并不是唯一的，可能无解，也可能有无穷多解．那么，这样的情况是否具有一般性呢？二元一次方程组解的情况与其系数行列式的值到底有怎样的关系呢？
二 新知导学：
作为判别式的二元一次方程组系数行列式的研究
一般地，通过消元法可将二元一次方程组（*）转化为，其中 ， ， ，然后根据的取值情况进行分类讨论．
三 新知探究：
例3．判别下列二元一次方程组解的情况：
（1） （2） （3）

说明：体会判别方程组解的情况的依据与过程．
例4．解关于、的二元一次方程组，并对解的情况进行讨论：

说明：注意讨论的依据、一般顺序及书写表达．
知识拓展
①“二元一次方程组系数行列式”是“方程组无解”
的________________条件．（编制类似的问题若干）
②构造一个二元一次方程组，使它的解的情况分别是“有唯一解”、“无解”、“有无穷多解”．
说明：“换个角度看问题”是常用的学习方式的一种，也是理解巩固所学内容（知识点）的常用手段．
四 知识巩固与检测
1．不解方程组，判别下列方程组解的情况：
（1） （2） (3)

2.方程组中系数行列式的值为 。
3. 已知方程组有唯一解，求的范围。

4.若方程组无解，求的值。

5．若方程组有无穷多解，求的值。

五 学后体会：

六 学后作业
1.已知，则实数=
2.方程组解的情况是 （ ）
A．唯一解 B.无解 C.无穷多解 D.以上都有可能
3.是方程组无解的 （ ）
A.充分条件 B.充要条件 C.必要条件 D.非充分非必要条件
4. 方程组有非零解是的 （ ）
A.充分条件 B.充要条件 C.必要条件 D.非充分非必要条件

5.判断下列方程组解的情况（书写过程）：
（1） （2） (3)

6.解下列关于的方程组：
（1）

（2）

7. 解下列关于的方程组，并对解的情况进行讨论。

8.已知解下列关于的方程组有唯一解，求实数的取值范围。

9.4（1）三阶行列式
供稿人 赵艳波
学习目标：
经历观察、比较、分析、归纳的数学类比研究，从二阶行列式的符号特征逐步形成三阶行列式的符号特征，从二阶行列式展开的对角线法则逐步内化形成三阶行列式展开的对角线法则，感悟类比思想方法在数学研究中的应用．
学习重点：
三阶行列式展开的对角线法则、三阶行列式展开的对角线法则形成的过程．
学习难点：
三阶行列式展开的对角线法则形成的过程．
学习过程：

一 知识链接
(1)观察二阶行列式的符号特征：
(2)观察二阶行列式的展开式特征：

2．思考：
(1)二阶行列式算式的符号有哪些特征？
(2)你能总结一下二阶行列式的展开式有哪些特征吗？
说明：
(1)请学生观察二阶行列式的符号特征，主要是观察二阶行列式有几个元素，这几个元素怎么分布？从而可以类比得到三阶行列式的符号特征．
(2)请学生观察和总结二阶行列式的展开式特征，主要着力于以下几个方面：
① 观察二阶行列式的展开式有几项？
② 二阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘；这几个元素在行列式中的位置有什么要求吗？
③ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了几次？每个元素出现的次数一样吗？

二 新知导学

问题一：通过学习和观察，我们发现二阶行列式就是表示四个数(或式)的特定算式，这四个数分布成两行两列的方阵，那么三阶行列式符号应该有怎么样的特征呢？

问题二：说出二阶行列式的展开式有哪些特征？
(① 二阶行列式的展开式共有两项；② 二阶行列式的展开式中每一项有两个元素相乘；③ 相乘的两个元素在行列式位于不同行不同列；④ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了一次，而且每个元素出现的次数是一样的．)

问题三：二阶行列式展开式就是：主对角线的元素乘积减去副对角线的元素的乘积．我们可以根据二阶行列式展开式的特征类比研究三阶行列式按对角线展开后展开式应该具有的特征．那么三阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘？对这些可以相乘的元素有什么要求？
( 个．这 个可以相乘的元素应该位于不同 不同 ．)

把九个数排成三行三列的方阵用记号，表示算式记号就叫三阶行列式；算式就叫三阶行列式的展开式；即
=

如图，用红线连接的三个元素的乘积取“﹢”，用黑线连接的三个元素的乘积取“﹣”，而这六个结果的代数和就是三阶行列式的展开式．这种展开方法叫做三阶行列式展开的对角线法则．

三 新知探究
例1. 用对角线法则展开行列式：
(1) (2) (3)

例2. 把下面的算式写成一个三阶行列式：
(1)
(2)

例3. 如图,在平面直角坐标系中,点、、的坐标分别为、、，求的面积．

问题拓展
比较例题1的三个行列式，你可以得到些什么样的结论？你能证明这些结论吗？

(1)将一个三阶行列式的行(列)变为列(行)所得到的新三阶行列式与原行列式相等；
(2)交换一个三阶行列式的两行(或列)，行列式改变符号．

说明：
设计这样一个问题基于两方面考虑：一，本问题的解答有助于学生理解为什么例题2和例题3的答案不唯一；二，新课程标准要求教师“尊重学生现有的认知水平和差异”，不同的学生对数学的需要也不同．因此，我们教师的教学内容不仅要满足学生对知识的基础性需求，而且还有满足学生对知识的发展性需求．

四 知识巩固与检测
1．利用对角线法则展开下列行列式，并化简
（1）， （2）， （3）

（4），（5）
2．解不等式

五 学后体会

六 学后作业

1．计算的值为 ；2.展开并化简 ；

3．解关于的方程：
（1）; (2)

4. 用对角线法则展开行列式并化简:
(1) ; (2)

5.解不等式

6. 已知A（1,3），B（3,1）C（-1,0），求三角形ABC的面积。

7.已知三点A，B,C共线，求实数的值。

8.已知不等式的解是，求的值。

9.4（2）三阶行列式按一行(或一列)展开
供稿人 赵艳波

学习目标：
⑴ 掌握余子式、代数余子式的概念；
⑵ 经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的符号的确定方法和三阶行列式按一行(或一列)展开方法，体验研究数学的一般方法；
(3)体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂问题简单化的数学思想．

学习重点：
三阶行列式按一行(或一列)展开、代数余子式的符号的确定．
学习难点：
三阶行列式按一行(或一列)展开、代数余子式的符号的确定．
学习过程：

一 知识链接
(1)将下列行列式按对角线展开：
_______________ _______________
_______________ _______________
_______________ _______________
(2)对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗？
二 新知导学

事实上，以为例，先将展开式变形为：
，然后分别提取公因式，可以得到

再利用实验中已有的展开式
①
②
③
从而很容易就得到结果了．
其中二阶行列式①、②、③分别叫做元素，，的余子式，添上相应的符号(正号省略)，如
，
、、分别叫做元素，，的代数余子式．于是三阶行列式可以表示为第一行的各个元素与其代数余子式的乘积之和：

象这样的展开，我们称之为三阶行列式按第一行展开．类似的，我们可以将三阶行列式按第二行或按列展开．从上述研究，我们不难发现这种展开方法的关键是要找到三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式．不难发现，要确定某元素的代数余子式，我们可以先确定其余子式，然后确定代数余子式符号，而最主要的就是其符号的确定．为了让学生有较深刻的体会，教师可以组织学生完成实验探究２．
说明：
(1)以上实验主要由学生合作完成，实验的目的主要是让学生经历实验、归纳、猜想、抽象并获得新知的过程；
(2)教师可以将学生分成数个学习小组，合作实验研究，并交流研究结果，最后由教师总结．
(3)通过上述研究，教师要引导学生发现：确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的位置关系所组成的二阶行列式；而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置(即第行，第列)有关，其代数余子式的正负号是“”．

一般地，三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开成该行(或该列)的各个元素与其代数余子式的乘积之和．其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符号)．
三 新知探究
例1.按要求计算行列式：(1)按第一行展开；(2)按第一列展开．
说明：(1)一个三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开，其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符号)；
(2)当一个三阶行列式的某一行(或某一列)元素中，0的个数较多，我们往往将行列式按照该行(或该列)，这样计算往往比较方便．

例2.计算：
(1)；(2)
说明：
如果将三阶行列式的某一行(或一列)的元素与另一行(或一列)的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和为零；
如果一个二阶行列式或(三阶行列式)有两行(或两列)相同，那么这个行列式等于零．

问题拓展
思考：我们上节课已经学习了三阶行列式展开的对角线法则，为什么这节课还要学习按一行(或按一列)展开呢？你觉得这有什么意义吗？

说明
一个三阶行列式按一行(或按一列)展开后就转化为二阶行列式的运算，这种将复杂问题转化为简单问题的思想方法是数学研究中常用的方法．只要学生能领悟到这一点，马上就可以意识到任何一个行列式(哪怕是阶行列式)最后都可以转化为二阶行列式的运算．

四 知识巩固与检测
1.（1）在三阶行列式中，元素-6的余子式为
元素-6的代数余子式为 ；
（2）在三阶行列式中，哪几个元素的余子式和它的代数余子式相同？
2.分别用按第一行展开和按第一列展开的方式计算上题中的两个三阶行列式；

3.化简下列三阶行列式：
（1）， （2）
五 学后体会

六 学后作业
1. 在三阶行列式中，元素-1的余子式和代数余子式分别为
2. 求在三阶行列式中，元素与的代数余子式的和；

3. 把表示成一个三阶行列式；

4. 把表示成一个三阶行列式；

5. 用按某一行（或某一列）展开的方式化简下列行列式：
（1）； （2）

6．在三阶行列式中，元素2的代数余子式大于零，求的范围

9.4（3）三元一次方程组的行列式解法
供稿人 赵艳波
学习目标：理解用三阶行列式解三元一次方程组的原理；理解并能根据三元一次方程组的系数行列式D是否等于零，判断原方程组是否有唯一解；会用三阶行列式求三元一次方程组的解；
学习重点：会用三阶行列式求三元一次方程组的解
学习难点：理解用三阶行列式解三元一次方程组的原理
学习过程：
一 知识链接
回忆一下，我们是怎样利用二阶行列式解二元一次方程组的呢？
设二元一次方程组（*）
（其中是未知数，是未知数的系数且不全为零，是常数项．）
， ， ，则当 =时，方程组（*）有唯一解，可用二阶行列式表示为．
二 新知导学
设三元一次方程组()其中是未知数，是未知数的系数，且不全为零，是常数项
=，，，
由此原方程组变为，当时，三元一次方程组()有唯一解
三 新知探究
例1.用行列式解三元一次方程组；

例2.求关于的方程组有唯一解的条件，并在此条件下写出该方程组的解；

四 知识巩固与检测
1. 用行列式解三元一次方程组：
（1）； （2）

2.判断下列三元一次方程组是否有唯一解，如果有，试求出这个解
（1）； （2）

3.当为何值时，关于的三元一次方程组，有唯一解？并在此条件下写出该方程组的解；

五 学后体会

六 学后作业
1. 方程组的解是 ；
2. 方程组的解的情况是 （ ）
A.有唯一解 B.有无穷多解 C.无解 D.可能无解，可能有无穷多解
3. 方程组有唯一解，且其中，求的值；

4. 用行列式解三元一次方程组：
（1）； （2）

5. 用行列式解关于的三元一次方程组为常数）

6. 当实数为何值时，关于的三元一次方程组，有唯一解？