第2章_流体静力学.docx

第二章 流体静力学
流体静力学主要研究流体在静止状态下的平衡规律及其工程应用。由于静止状态下流体之间及流体与物面之间的作用是通过静压力的形式来表现的。所以，本章的中心问题是研究静止状态下静压力的分布规律，进而确定静止流体作用物面上的总压力，用以解决工程实际问题。
流体静力学中所说的静止是指流体质点间没有相对运动的状态。所以，流体的静止包含以下两种情况：流体整体对地球没有相对运动的所谓绝对静止；流体整体对地球有相对运动，但流体质点之间没有相对运动的所谓相对静止。
流体静止时，流体质点之间没有相对运动，所以粘滞性在静止流体中显现不出来。因此，本章所得到的流体平衡规律对理想流体和实际流体均适用。
§2－1 流体静压力及其特性
一、静压力
在静止流体中，不存在切应力。因此，流体中的表面力就是沿受力面法线方向的正压力或法向力。设在作用微元面积△A上的法向力为△P，则极限
（2－1）
就是流体单位面积上所受到的垂直于该表面的力，即物理学中的压强，称为流体静压力，简称压力，用p表示。其单位为N/m2，称为帕斯卡，简称帕（Pa）。作用在某一面积上的静压力的合力称为总压力，以P表示，其单位为牛顿（N）。
常用的压力单位有：帕(Pa)、巴(bar)、标准大气压(atm)、毫米汞柱(mmHg)、米水柱(mH2O)，其换算关系为：1bar=1×105 Pa；1atm=1.01325×105 Pa；1atm=760 mmHg；1atm=10.34 mH2O；1mmHg=133.28Pa；1mH2O=9800Pa。由此可见静压力的单位非常的小，所以在工程实际中常用的单位是kPa(103Pa）或MPa(106Pa)。
二、静压力的两个重要特性
特性之一：静压力沿着作用面的内法线方向，即垂直地指向作用面。
证明：一方面，流体静止时只有法向力，没有切向力，静压力只能沿法线方向；另一方面，流体不能承受拉力，只能承受压力。所以，静压力唯一可能的方向就是内法线方向。
由这一特性可知，在流体与固体的接触面上静压力将垂直于接触面，见图2－1。
图2-1 静压力垂直于作用面

特性二：静止流体中任何一点上各个方向的静压力大小相等，与作用方向无关。
图2－2 静压力特性二
z
x
y
py
px
pn

pz
o
A
B

dy
dx
dz
证明：在静止流体中任取出如图2－2所示的，棱长为dx、dy、dz的微元正四面体oABC，取其内的静止流体为研究对象。建立一个与其三个相互垂直的三个棱相重合的直角坐标系，以px、py、pz和pn依次表示作用在三个坐标面和△ABC上的静压力，用Px、Py、Pz和Pn依次表示作用在这四个面上的总压力。由于dx、dy、dz的大小是任取的，所以△ABC的外法线方向n也是任意的。
流体处于静止状态时，作用在流体上的合外力在任一个方向的分量都应为零。首先分析流体在x方向的受力，作用在流体上的质量力在x方向上的分量可表示为
。
式中X表示作用在单位质量流体上的质量力在x方向上的分量。同时，作用在流体上的表面力在x方向分量不为零的只有△oBC和△ABC上的总压力，即
。
和

。
注意，在这一公式的推导过程中利用乘法的结合律将力的投影转换成了面积的投影。由于流体处于静止状态，其在x方向的合外力应为零，即
。
令dx、dy、dz趋于零，即四面体缩小到原点o时，忽略高阶小量dxdydz则可得
。
同理，分析y和z方向上的受力及静止条件可得
；
，
即
（2－2）
由于方向n代表任意方向，所以上式表明：静止流体中任意一点上的流体静压力，无论来自何方均相等，或者说与作用方向无关。p代表一点处的流体静压力，永远为正值。因此，在连续介质中研究一点的静压力p时不必考虑其作用方向，只需计算或测量出其在空间的分布函数p=p(x, y, z)即可。
§2－2 流体平衡方程
一、流体平衡微分方程式的建立（标题位置提到这里）
通过分析静止流体中流体微团的受力，可以建立起平衡微分方程式，然后通过积分便可得到各种不同情况下流体静压力的分布规律。因此，首先要建立起流体平衡微分方程式。现在讨论在平衡状态下作用在流体上的力应满足的关系，建立平衡条件下的流体平衡微分方程式。（删除这段话中红字部分的内容）
在静止流体中任取出棱长各为dx、dy、dz的微元正六面体，如图2－3所示，并建立图示的直角坐标系。
图2－3 六面体受力分析
x
y
z

dx
dy
dz
o
A·
·A2
A1·
p1
p2
首先，我们分析作用在这个微元六面体内流体上的力在x方向上的分量。微元体以外的流体作用于其上的表面力均与作用面相垂直。因此，只有与x方向相垂直的前后两个面上的总压力在x轴上的分量不为零。设六面体中心点A处的静压力为p(x，y，z)，则作用在A1和A2点的压力可以表示为
；。
所以作用在A1和A2点所在面上的总压力分别为
、。
微元体内流体所受质量力在方向的分力为Xρdxdydz，由于流体处于平衡状态，则
。
用ρdxdydz除上式，简化后得
同理，在y、z方向，可得 。 （2－3）
这就是1755年由欧拉建立的流体平衡微分方程式，又称为欧拉平衡方程式。根据这个方程可以解决流体静力学中许多基本问题，它在流体静力学中具有重要地位，既适用于绝对静止状态也适用于相对静止状态。同时，推导中也没有考虑整个空间密度ρ是否变化及如何变化，所以它不但适用于不可压缩流体，而且也适用于可压缩流体。该方程的物理意义：当流体处于平衡状态时，作用在单位质量流体上的质量力与压力的合力相平衡。
将式（2－3）中的三个方程分别乘以i、j、k再相加可得流体平衡微分方程式的矢量形式，即
。 （2－4）
二、等压面
在充满平衡流体的空间里，静压力相等的各点所组成的面称为等压面。因为在等压面上p为常数，即dp=0。液体的自由液面便是一个特殊的等压面。（删除红字部分的内容）
将（2－3）的三个方程分别乘以dx、dy、dz再相加，整理后可得
。 （2－5）
由于等压面上的静压力处处相等，所以等压面方程为
（2－6）
等压面最重要的一个性质是：等压面与质量力垂直。现证明如下：设dl = dxi + dyj + dzk是等压面上的任意微元矢量，作用在单位质量流体上的质量力为f = Xi + Yj + Zk。将dl与f做数量积，则有

由矢量分析可知dl与f互相垂直。由于质量力与等压面内任意的微元矢量互相垂直，所以等压面与质量力相互垂直。
由此可知，根据质量力的方向可以确定等压面的形状，也可以根据等压面的形状确定质量力的方向。例如对只受重力作用的静止的流体，因为重力的方向总是铅直向下的，所以其等压面必定是水平面。读者不妨试着分析液体在匀加速水平直线运动容器中和绕中心轴等角速度旋转的容器内的等压面的形状。
三、静力学基本方程式
x

z

y

o
1·

2·

z1

z2

p0

z0

图2－4 重力作用下流体的平衡
图2－4所示为一敞口容器，其中盛有静止的均质液体, 其密度为ρ=c。液体所受的质量力只有重力，在图示的坐标系中，单位质量流体所受到的质量力可表示为
；，
代入（2－5），可得

或
。
对均质流体，密度ρ为常数，则有
，
所以有
。 （2－7）
式中c为积分常数。两端同除以ρg则有
。 （2－8a）
对如图2－4所示的静止流体中的任意两点，上式可写成
。 （2－8b）
式（2－8）称为静力学基本方程式。其适用条件是：重力作用下静止的均质流体。对于分装在互不相同的两个容器内的流体或装在同一容器中的不同密度的两种流体之间，流体静力学基本方程式不成立。
四、静力学基本方程式的意义
1.几何意义
在一个容器侧壁上打一个小孔，接上与大气相通的玻璃管，这样就形成一根测压管。如果容器中装的是静止流体，液面为大气压，则测压管内液面与容器内液面是齐平的，如图
2－5所示。
图2－5 敞口容器中的水头
0

·1

2·

z1

z2

0

pa

0

·1

2·
z1

p0> pa

z2

0
图2－6密闭容器中的水头

从中可以看出，则测压管到基准面高度由z和p/ρg组成，z表示该点位置到基准面的高度，p/ρg表示该点压力折算的液柱高度。在流体力学中，约定俗成地将高度称为“水头”，z称为位置水头，p/ρg称为压力水头，而z＋p/ρg称为测压管水头。因此，静力学基本方程的几何意义是：静止流体中测压管水头为常数。
如果容器内液面压力p0大于或小于大气压pa，则测压管液面会高于或低于容器液面，但不同点的测压管水头仍是常数，如图2－6所示。
2.物理意义
质量为m的流体处在z高度时，所具有的位置势能为mgz，那么单位重力流体所具有的位置势能为
。
因此，流体力学中也将z称为比位能。
力学中能够相加的两项应该具有相同的物理意义，所以p/ρg也应是单位重量流体所具有的某种能量。压力同重力一样，也具有潜在的做功能力。如果流体中某点的压力为p，在该处接测压管后，在压力作用下液面会上升高度p/ρg，压力势能变为位置势能。因此，p/ρg代表单位重力流体所具有的压力势能，简称比压能。（删除红字部分的内容）
对于单位重力的流体来说，比位能与比压能之和叫做静止流体的比势能或总比能。因此，流体静力学基本方程的物理意义是：静止流体中总比能为常数。
§2－3 流体静力学基本公式及其应用
流体平衡微分方程式建立了流体静压力与质量力之间的微分关系，揭示了流体平衡时所遵循的普遍规律，它对在任何有势质量力作用下的平衡流体均适用。在解决工程实际问题时必须求解出特定质量力作用下以及特定边界条件下的流体平衡微分方程的特解，即静压力的分布规律的解析表达式，进而可以通过积分等数学方法求解出物面上的总压力。在工程实际中，最常见的流体平衡是质量力仅在重力作用下的平衡，即所谓绝对静止。下面分析绝对静止流体中静压力的分布规律。
一、流体静力学基本公式
为了确定图（2－7）示的静止流体中某一点的静压力，由z=0时的边界条件p=p0，可确定式（2－7）中的常数c=p0，则静压力的分布规律可表示为
z

h

o

·A

p0

图2－7 流体静力学基本公式
。 （2－9）
流体力学中习惯上用深度坐标来计算静压力，即用=-z表示A点在液面以下的铅直深度，则上式可变为
。 （2－10）
对图2－4中的任意两点，上式也可以表示为

。 （2－11）
式（2－10、11）称为流体静力学基本公式。它表明：重力作用下的均质流体内部的静压力，与深度h呈线性关系，因此，水坝都设计成上窄下宽的形状；静止流体内部任意点的静压力由液面上的静压力p0与液柱所形成的静压力ρgh两部分组成，深度h相同的点静压力相等；静止流体边界上压力的变化将均匀地传递到流体中的每一点，这就是著名的帕斯卡定律。
二、流体静压力的计量标准及其表示方法
1.流体静压力的计量标准
流体力学中，静压力的计量有两个标准，一个是以物理真空为零点的标准，称为绝对标准，按照绝对标准计量的压力称为绝对压力；另一个是以当地大气压力为零点的标准，称为相对标准，按照相对标准计量的压力称为相对压力。
2.流体静压力的表示方法
绝对压力用表示，对敞口容器中液面以下深度为h的点来讲，其绝对压力可表示为
。 （2－12）
绝对压力不能小于零。
工程中绝对压力的数值可以大于当地大气压力，也可以小于当地大气压力。因此，相对压力便有了正负之分。当绝对压力大于当地大气压力时，相对压力大于零，称为表压，用pM来表示，即
。 （2－13）
之所以称之为表压是因为压力表所显示的压力就是这个压力。当绝对压力小于当地大气压力时，相对压力小于零，称为真空压力或真空度，用pv来表示，即
。 （2－14）
真空压力采用真空表测量。
图2－8 绝对压力与相对压力
真空

p

pa

pab>pa

绝对压力

表压

绝对压力

pab<pa

真空度

绝对压力、表压和真空度之间的关系可用图2－8来表述。从中可以看出，表压的含义是比当地大气压力大多少，真空度的含义是比当地大气压力小多少。表压越大压力越大，真空度越大压力越小，反之亦然。工程流体力学中所说的压力如不特殊说明指的就是表压，为了简便通常将其下标M省略，仅以p表示。
至此，可以归纳出以下的关系
； （2－15）
； （2－16）
。 （2－17）
真空度与表压的符号相反，真空度不能直接参与计算，计算工程中必须将真空度转换为负的表压代入方程中，这一点在以后的计算中要予以注意。
三、流体静压力的测量
图2－9 简单测压管
pa

A·

H

静止流体
ρ

在流体试验中经常需要直接测量某一点的压力或两点之间的压差。点压力或者两点之间压差的测量手段有很多，目前经常采用的有压力表（金属测压计）、压力传感器（电子测压计）和液式测压计等。液式测压计是以流体静力学的基本原理为基础的，下面就介绍几种典型的液式测压计。
1.简单测压管
简单测压管如图2－9所示。在测压点处开一测压孔，外接一根透明的细长测压管，测压管的上端与大气相通，测压管内液面的高度为H。则测压点处的表压为
。
显然，简单测压管的优点是结构简单，精度较高，造价低廉。其缺点主要有以下两方面：一是量程较小，这主要是因为测压管内工作液的密度是一定的，如果压力很大其度数H也会很大，测量起来非常不方便；二是也不适于测量气体的压力。
2.U形测压管
图2－10 U形测压管
A·

h

静止流体
H

ρ

ρ’

B

图2－10所示的U形测压管，克服了简单测压管内工作液密度不可改变，以及不能测量气体压力等弱点。求解U形测压管这类问题时建议采用等压面法，即取图中通过B点的等压面，首先分别找出左右两个分支的压力与B点压力的关系，然后列出如下的方程，
。
所以A点的表压为
。
如果被测流体为气体，其密度与工作液的密度相比可以忽略不计，则上式变为
。
图2－11 例2－1图
A

0.8m

油
0.5m

水

ρ’

B

0.4m

H

p0

1.6m

B

例2－1 油罐内装相对密度为0.8的油品，装置如图2－11所示的U形测压管。求油面的高度H及液面压力p0。
解：A点的压力可用自由液面的压力p0及罐内外两个液柱的压力来表示，即
。
可得
。
为了计算液面压力p0取B－B为等压面，B点的压力可表示为
，
所以，
Pa。
3. U形压差计
现在用图2－12所示的U形管测量管道上A、B两点的压差，取0－0为等压面则有

A
·
B
·
0
0
H
x
ρ

ρ’

图2－12 U形压差计
整理后可得A、B两点的压差为
。
从上式可以看出，在U形管压差计尺寸一定的情况下，被测流体的密度与工作液的密度直接决定了U形管压差计的量程和精度，读者不妨做进一步的思考以下其中的关系以及A、B两点不在同一水平面上时的压差计算公式。
例2－2 假设图2－12所示的水管线上孔板流量计两端的压差为105Pa，求U形水银压差计的度数H。
解：
§2－4 几种质量力作用下的流体平衡
当流体随容器一起运动且流体质点之间没有相对运动的情况下，尽管流体在做加速运动，而且流体质点具有加速度，（删除该句）但因为流体相邻层之间没有相对运动，流体像固体一样整块地运动。这便是前面提到的所谓相对静止，根据达朗伯原理，可以假想把惯性力加在运动流体上，列出力的平衡方程。下面就以两个典型例子分析相对静止情况下的压力分布规律。
一、等加速水平运动容器中流体的相对平衡
设盛有液体的长方体容器沿水平面以加速度a作等加速直线运动，为了讨论方便，我们把坐标系固定在容器上，坐标原点取在容器尚未运动时的自由液面中心o处，坐标轴x的方向和加速度方向相同，z轴铅直向上，如图2－13所示。根据达朗伯原理，流体处于相对平衡时，作用在流体质点上的质量力，除了重力以外，还要虚加一个大小为－ma方向与加速度方向相反的惯性力。此时，作用在单位质量流体上的质量力为
；；。
1．流体静压力分布规律
图2－13 水平运动容器中流体的平衡
z

x

a

-a

g

f

A ·

zs

-z

h

·B

h

-z

zs

θ

o

自由液面
将单位质量力的分力代入（2－5）式得
。
积分上式，得
。
根据边界条件，当x=0，z=0时，p=p0，可求得积分常数c=p0，于是得
。 (2－18)
这就是等加速水平运动容器中液体的静压力分布公式，它表明压力p不仅随z的变化而变化，而且还随x的变化而变化。
2．等压面方程
将单位质量力的分力带入等压面微分方程式（2－6），得
，
积分上式
，
这就是等压面方程，等加速水平运动的容器中液体的等压面已经不是水平面，而是一簇平行的斜面，不同的积分常数代表着不同的等压面，等压面与水平面的斜角的大小为
。
自由面是一个特殊的等压面，由x=0时z=0这一边界条件可确定自由液面对应的积分常数为c=0，于是得自由表面方程为

或

式中zs表示自由表面的z坐标。现在回过头来再分析式（2－18）所表示的压力分布，
。
通过分析图2－13中A、B两点的zs－z，可得
， （2－19）
式中 h=zs-z为压力计算点在自由液面的铅直深度。由此可见，等加速水平运动容器中液体中静压力计算公式（2－19）与绝对静止流体中静压力公式（2－10）完全相同，即流体内静压力等于液面上的静压力p0加上液柱所形成的压力ρgh。这一结论也可以采用物理学中的隔离体方法通过分析液柱的受力平衡关系得出，请读者自己试着证明。
二、等角速旋转容器中流体的相对平衡
图2－14 旋转容器中液体的平衡
a=ω2r

r

o

x

y

α

Yj

Xi

ω

-g

f

-a

o

x

z

A ·

-z

zs

h

气体

液体

（删除图中g 前面的负号）
图2－14所示为盛有液体的敞口圆柱形容器。设容器以定转速ω绕其中心轴旋转，待运动稳定后，各质点都具有相同的角速度，液面形成一个漏斗形的旋转面。现将坐标系固定在运动着的容器上与容器一起旋转，此时液体相对于坐标系处于静止状态。根据达朗伯原理，作用在液体质点上的质量力除了重力mg以外，由于存在着向心加速度，所以还应存在着xoy平面内虚加的惯性离心力mω2r（改为黑体字），作用在单位质量流体上的惯性离心力为ω2r，将ω2r在xoy平面内分解，则可得单位质量流体所受到的质量力f的三个分量为
；；。
1．流体静压力分布规律
将单位质量力的分力代入式（2－5），得

积分上式，得

根据边界条件，当r=0，z=0时，p=p0，可得积分常数c=p0，进而可得
（2－20）
这就是等角速旋转容器中液体静压力分布公式，在同一高度上，液体静压力沿径向按半径二次方增长。
2．等压面方程
将单位质量力的分力代入等压面微分方程式（2－6），可得等压面方程为
。
积分上式可得
；
从上式看出，等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。在自由表面上当r=0时，z=0，可求得积分常数c=0，于是得自由液面方程为
；
zs为自由表面上点的z坐标。回过头来再分析式（2－20）所表示的压力分布，
。
通过分析图2－14中zs-z得
， （2－21）
式中h=zs-z为压力计算点在自由液面的铅直深度。这一结论与水平运动容器中的压力分布计算公式完全相同。需要注意的是：以上讨论的两种情况有一个共同点，即惯性力均与重力相垂直，如果惯性力不垂直于重力的情况下压力分布怎样？这一问题留给读者思考。
§2－5 静止流体作用在平面上的总压力
图2－15 作用在平面上的总压力
y

dA

dP

·C

·D

P

yD

yC

α

o

hC

h

A

pa

x

流体静力学的主要研究内容包括两部分，一是前面讨论的压力分布规律，再就是静止流体作用在物面上的总压力。总压力的计算主要用于设计水箱、油罐等设备时的受力分析及强度校核。最简单的物面就是平面，本节将讨论静止流体作用于水平面上的总压力。
一、总压力的大小和方向
设在静止流体中有一块任意形状的平面，它与水平面的倾斜角为α，面积为A。坐标系如图2－15所示，x轴垂直于纸面且位于水平面内，z轴铅直向上。为了看清平面的形状，将平面绕oy轴旋转90°，转到纸面上。首先在平面上取一微元面积dA，液面深为h，作用在微元面积上的总压力为
。
尽管平面上各点的静压力大小不同，但它们都垂直于平面，组成平行力系，根据力学原理流体总压力P可表示为
。
式中 为面积A对ox轴的面积矩，等于面积A与其形心坐标yC的乘积，即
。
所以有
， （2－22）
式中pC代表形心C处的压力。它表明：作用在任意形状平面上的总压力大小等于该平面的面积与其形心C处的压力的乘积。
由于总压力是作用在各个微元面积上与平面相垂直的平行力系的积分，所以总压力P的作用方向必然是垂直地指向这个作用面。
二、压力中心
总压力的作用点称为压力中心。流体力学中，人们比较关心的是压力中心的y坐标。根据理论力学中的合力矩定理，诸分力对某一轴的力矩之和等于合力对该轴的力矩。可写成
，
即
，
化简后可得
，
式中的积分称为面积A对ox轴的惯性矩，用Jx表示。根据理论力学中的平行移轴定理Jx=JC＋yC2A，可得
（2－23）
因为JC /yCA恒为正值，所以yD>yC，说明压力中心D永远低于平面形心C。但是，这一结论对水平放置的平面不适用，此时的压力中心与形心重合。
在应用上述计算公式时应该注意以下两点：
（1）没有考虑大气压的影响。这主要是因为工程实际中容器外也会受到大气压的作用，两者形成的总压力相互抵消，所以在计算总压力时不考虑大气压力的影响，而仅仅考虑液体形成的总压力。
（2）在压力中心的计算公式中y坐标原点的取法。式（2－23）只是适用于液面压力为大气压时的情形。即y的坐标的原点位于自由液面与平面延长线的交点处，见图2－15。但是，当自由液面上的压力不是大气压时，式（2－23）中y坐标的原点只能在等效自由液面与平面延长线的交点处。那么什么是等效自由液面呢？现在考察图2－16所示的两种情>pa

p0=pa

图2－16 等效自由液面
y

y

o

o’

A

B

B

A

h

形，左图为液面压力大于大气压的情形，其液面绝对压力为p0’=pa＋ρgh，右图为将原有液面升高了h=（p0’－pa）/ρg后，且液面绝对压力等于大气压时的情形，两者对平面AB形成了完全相同的压力分布，同时两者作用在平面上的总压力是完全相同的。因此，称右图中的自由液面为左图中液面的等效自由液面。在计算过程中绝对不可以将左图中的o’点作为y坐标的原点，而应取右图中的o点作为y坐标的原点。也就是说，在进行压力中心位置计算时，应该将液面压力不是大气压的液面转换成等效自由液面，然后重新找出y的原点进行计算。对液面绝对压力低于大气压的情形应该用类似的方法来处理，具体如何处理请读者自己思考。
各种常见的规则平面图形的面积形心位置和通过形心的轴的惯性矩见表2－1。
例2－3如图所示，矩形闸门两面受到水的压力，左边水深H1=4.5m，右边水深H2=2.5m，闸门与水平面成α=45°倾斜角，闸门宽度b=1m，试求作用在闸门上的总压力及其作用点。
解：作用在闸门上的总压力为左右两边液体总压力之差，即

图2－17 例2－3图
H1

H2

o

l1/3

l

l2/3

P1

P

P2

。
因为，，
，，
所以

=97030N。
对于液面与上边线平齐的矩形平面而言，压力中心坐标为
。
根据合力矩定理，对o点取矩可得

代入已知数据可解得
l=2.54m
这就是作用在闸门上的总压力的作用点距闸门下端的距离。
表2－1 各种常见的规则平面图形的面积、形心位置和通过形心的惯性矩
图 形
A
yC
JC
正 方 形

a
a
yC
C

矩 形

yC
B
H
C

等腰三角形

yC
B
H
C

正 梯 形
B
H
yC
C
b

圆 形

yC
C
D

椭 圆 形
2b
2a
C
yC

例2－3 一个边长为1.2m的正方形平板竖直地置于液体中，已知压力中心位于形心以下0.075m处，试求该正方形平板的上缘在液面下的深度。
解：设正方形平板的上缘在液面下的深度为x，依题意可知yC=x＋0.6， yD－yC=JC/ yC A=0.075，所以

解之可得x=1m。
§2－6 静止流体作用在曲面上的总压力
o
Ax
z
x
图2－18 曲面总压力
dA
hC
h
dA
dAx
dAz
α
dP
dPz
dPx
dP
a
b
c
在工程实际问题中，常见到一些储液容器如水塔、油罐、分离器、锅炉、蒸馏塔等，是由圆柱、圆锥、半球、球冠等曲面组成的。计算静止流体对这些器壁的作用力，就属于静止流体作用在曲面上的总压力问题。作用在曲面上的各点流体静压力都垂直于器壁，这就形成了复杂的空间力系，求流体作用在曲面上的总压力问题便成为空间力系的合成问题。
工程上的曲面是各种各样的，我们先以二维曲面为例来研究，然后再将结果推广到三维曲面。设有一个承受液体压力的二维柱形曲面，其母线水平，面积为A，令坐标系轴与二维曲面的母线平行，则该曲面在xoz系平面上的投影便成为曲线ab，如图2－18所示。
在曲面ab上任意取一微元面积dA，它的沉没深度为h，则流体作用在微元面积dA上的总压力为
，
将其分解为水平与垂直的两个微元分力，然后再分别在整个面积上进行积分，便可求得作用在曲面上的总压力的水平分力与垂直分力，进而求出总压力大小、方向及作用点。
一、压力大小
设微元面积dA的法线与x轴的夹角为α，则作用在微元面积上的总压力在x方向上的分量可表示为
，
式中dAx是微元面积在x方向上的投影面的面积，积分上式可得
，
式中的积分部分为曲面A在yoz坐标面上（即沿x方向投影）的投影面积Ax对y轴的面积矩，根据面积矩的性质可得
， （2－24）
式中hC为Ax的形心在液面以下的铅直深度。式（2－24）表明：静止流体作用在曲面上总压力在某一水平方向上的分力等于曲面沿该方向的投影面所受到的总压力，其作用线通过投影面的压力中心。由此可得总压力在y方向及任一水平方向s上的分量依次为
、 （2－24）
作用在微元面积A上的总压力在铅直方向上的分量可表示为
，
式中dAz为微元面积dA在z方向上的投影，积分上式可得总压力在铅直方向上的分量为
，
式中，它相当于从曲面向上引至液面的若干微小柱体的体积总和，图2－18中的阴影部分（abco）的体积——压力体，故上可表示为
（2－25）
即流体作用在曲面上的总压力的垂直分量等于压力体内的液体所受的重力，它的作用线通过压力体的形心。
综上所述，作用在曲面上的总压力可表示为
，
总压力的大小为
。
二、压力体

图2－19 压力体的虚实

pa

A

A

B

B

（－）

（＋）

(a)

(b)

pa

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

图2－20 压力体的合成
（＋）

（－）

（＋）

（－）

压力体可以表述为：压力体是由受力曲面、液体的自由表面（或其延长面）以及两者间的铅垂面所围成的封闭体积。压力体是从积分式得到的一个体积，它是一个纯数学的概念，与这一体积内是否充满液体无关，图2－19是两个典型的压力体。比较图中（a）和（b）的压力体，不难发现两者有着明显的不同，压力体所形成的总压力方向不同，图2－19a中压力体形成的总压力方向向下，图2－19b中的压力体所形成的总压力方向向上；是两者压力体与液体所处的位置不同，图2－19a中的压力体与液体位于曲面的同一侧，图2－19ｂ中的压力体与液体则不在曲面的同一侧。
由此可以引入定义：如果压力体与形成压力的液体在曲面的同侧，则称这样的压力体为实压力体，用（+）来表示；如果压力体与形成压力的液体在曲面的异侧，则称这样的压力体为虚压力体，用（-）来表示。图2－19a中的压力体是实压力体，它对曲面形成向下的压力。图2－19b中的压力体是虚压力体，它对曲面形成向上的浮力。
需要注意的是：以上的两个压力体给人的感觉是实压力体就是内部充满液体的压力体，虚压力体就是内部没有液体的压力体。其实压力体的虚实与其内部是否充满液体无关，图2－20中FG的压力体是实压力体，但压力体的上半部分却没有充满液体。再一个问题就是压力的合成，图2－20中CDE曲面的压力体的画法对初学者来讲有一定的难度，首先我们把曲面划分为CD和DE两部分，先画出CD部分的压力体，即图中的画右斜线部分，这部分压力体为虚压力体；后画出DE部分的压力体，即图中的左斜线部分，这部分压力体为实压力体；最后将两者合成，交叉部分的压力体虚实相抵后剩下的凸出部分便是CDE曲面的压力体，其压力体为实压力体，压力体对曲面的作用力是向下压力。图中HIJ曲面的压力体的画法与CDE的画法完全相同，合成后的压力体为内凹部分的体积，是虚压力体，压力体对曲面的作用力是向上的浮力。
与平面总压力相似，前面介绍的情况均没有考虑液面上大气压力的影响。当液面上的压力不为大气压时也应采用平面总压力中介绍的方法先找出等效自由液面，然后再画压力体。

图2－21 阿基米德定律
pa
（－）
（－）
物理学中的阿基米德定律也可以用压力体的方法来证明。图2－21所示的为浮体和潜体的压力体均为虚压力体，物体受到流体的浮力等于物体所排开的液体所受的重力G=ρgV。
综上所述，压力体的画法可以归纳为以下几步：（1）将受力曲面根据具体情况分成若干段；（2）找出各段的等效自由液面；（3）画出每一段的压力体并确定虚实；（4）根据虚实相抵的原则将各段的压力体合成，得到最终的压力体。
图2－22 总压力的作用点
A
B
B
P
Px
Pz
D
D’
三、总压力的方向和作用点
对图2－22所示的AB曲面，由于铅直分力的作用线通过压力体的中心，且方向铅直向下，而水平分力的作用线通过投影面Ax的压力中心，且水平地指向作用面，所以曲面总压力的作用线必然通过这两条作用线的交点D’而指向作用面，总压力矢量的延长线与曲面的交点D就是总压力在作用面上的作用点。
例2－4 如图所示，有一圆柱扇形水闸门，已知H=5m，α=60o，闸门宽度B=10m，求作用于曲面ab上的总压力。
H
H
o
a
c
Px
Pz
P
b
α
θ
图2－23 例2－4图
解：闸门在垂直坐标面上的投影面Ax=BH，其形心深hC=H/2，代入（2－24）得

受压曲面ab的压力体为V=BAabc。面积Aabc为扇形面积aob与三角形cob面积之差，所以有

故总压力大小、方向为

例2－5 有一圆形滚动门，长1m（垂直图面方向），直径D为4m，上游水深为4m，下游水深2m，求作用在门上的总压力的大小。
解：
左部水平分力为
图2－24 例2－5图
H
4m
2m
H
V1↑
V2↑
Px1=ρghAx1=9800×2×（4×1）=78400N；
垂直分力为
Pz1=ρgV1=9800×1×（0.5×0