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实变函数课程教学设计方案
（修改稿）
　　为了落实教育部批准的《关于广播电视大学开展人才培养模式改革和开放教育试点的报告》的精神，保证《中央广播电视大学“开放教育试点”理学科数学类数学与应用数学专业（本科）教学计划》的具体实施，搞好开放教育试点的具体教学与管理工作，保证试点工作的教学质量，实现培养目标，特制定“实变函数”课程设计方案。
　　一、课程的性质与任务
　　《实变函数》课程是中央广播电视大学数学与应用数学专业的一门限选课，近年来，它已成为高等院校数学与应用数学专业的一门重要基础课，实变函数论是数学分析中微积分理论的深入和发展。它的主要任务是使学生掌握抽象分析的基本思想，为进一步学习现代数学打下必要的基础。
　　实变函数课程的主要内容是勒贝格测度和勒贝格积分理论，包括集合与点集、勒贝格测度与勒贝格积分等。
　　学习实变函数课程需要数学分析课程的有关知识，同时它也为应用概率统计与泛函分析等后继课的学习做好了必要的准备。
　　二、课程的目的与要求
　　1.实变函数是一门抽象性很强的学科，它虽然是数学分析的深入和继续，但在思想方法上却有着较大的飞跃，它比后者更抽象、更理论化。通过本课程的学习要培养学生抽象思维的能力，提高逻辑推理与论证能力。
　　2.通过集合与n维欧氏空间点集理论的学习，使学生对集合理论有初步了解。集合的基数及其大小的比较是集合论的基本内容。点集理论是测度理论和新积分理论的必要基础，同时也为一般抽象空间的学习提供了具体模型。
　　3.勒贝格测度是为建立勒贝格积分作准备的，勒贝格积分的定义域一般是n维欧氏空间中的点集（可测集），因此就需要给出点集的一种“度量”，这种“度量”是人们熟知的长度、面积和体积的推广，也就是勒贝格测度。要求理解勒贝格测度的本质所在。
　　4.勒贝格积分理论是本课程的中心内容，是数学分析中黎曼积分的推广，它无论在理论上还是应用上都比黎曼积分有许多优越之处。学生在学习时要把两种积分相对照，注意它们之间的联系与区别，这样会便于加深对新积分的理解与掌握。
　　5.本课程中的概念和定理较多，要注意概念的本质及与相关概念之间的联系。通过例题和适当的练习使学生加深对概念的理解。在定理的证明中，要注意引导学生掌握证明的思想方法，教学中注意由简单到复杂，由特殊到一般。对重要定理，要指出它的实质，意义和作用，使学生能深入理解并能用来解决实际问题。
　　三、课程的教学内容
　　(一)集合
　　1.集合及其运算：集合的描述与表示，子集，集合的相等，集合的并、交、差、补及其运算性质，笛·摩根公式。
　　2.映射与基数：单射、满射、双射，对等，基数的比较，伯恩斯坦定理。
　　3.可列集合：可列集的定义及等价条件，可列集的运算性质，可列集的例：有理数集。
　　4.无限不可列集：[0,1]中的点集是无限不可列集，连续点集的基数及常见的例子，基数无最大者。
　　(二)n维空间中的点集
　　1.距离、邻域、内点、聚点：距离、收敛、邻域、内点、聚点及其等价条件，孤立点、边界点，内核、导集及其简单性质。Bolzano-Weierstrass定理。
　　2.开集、闭集、完备集：开集、闭集、完备集的定义，开集、闭集的运算，直线上开集、闭集、完备集的构造。平面上开集的构造。
　　3.覆盖定理、点集间的距离：Borel有限覆盖定理，距离可达定理，隔离性定理。
　　4.康托（Cantor）集：Cantor集的构造，Cantor集的性质。

　　(三)勒贝格测度
　　1.勒贝格外测度及其性质：勒贝格外测度，外测度的性质，可列集与区间的外测度，勒贝格内测度。
　　2.勒贝格可测集：可测集的定义，卡拉皆屋独利条件，可测集的运算性质，单调可测集列极限的测度。
　　3.可测集的构造：区间、开集、闭集皆可测、Gσ 型集，Fσ 型集，可测集同开集、闭集、Gσ 型集、Fσ 型集之间的关系。
　　(四)可测函数
　　1.点集上的函数：广义实数系R=RY(±∞)的运算点集上的连续函数，点集上的连续函数列一致收敛的极限函数的连续性，函数列不收敛点集的表示，函数列的上、下极限，“几乎处处”的概念。
　　2.勒贝格可测函数：可测函数的定义及等价条件，连续函数与简单函数皆可测，可测函数关于代数运算和极限运算的封闭性，可测函数同简单函数列的关系。
　　3.可测函数列的收敛性：叶果洛夫定理，依测度收敛，依测度收敛与几乎处处收敛互不包含的例子，勒贝格定理，黎斯定理，依测度收敛极限的唯一性。
　　4.可测函数的结构：鲁金定理（两种形式）
　　(五)勒贝格积分
　　1.有界函数的积分：测度有限集合上有界函数的勒贝格大和与小和，上积分与下积分，有界勒贝格可积函数，有界可积的充要条件是有界可测。
　　2.有界函数积分的性质：积分区域与被积函数的有限可加性，积分的线性性质。积分的单调性与绝对可积性，区间上的有界函数黎曼可积必勒贝格可积且积分值相等。
　　3.一般可积函数：非负函数积分存在与可积的定义，一般函数积分存在与可积定义，勒贝格积分的性质。
　　4.积分极限定理：勒贝格控制收敛定理，勒贝格逐项积分定理，列维渐升函数列积分定理，法都引理，可积函数积分区域可列可加性。
　　5.勒贝格积分与黎曼积分的关系：区间上有界函数黎曼可积的充分必要条件。区间上广义黎曼可积是勒贝格可积的充分必要条件。
　　6.乘积测度与富比尼定理：可测集的乘积的测度，可测集的测度用截口的积分表示，非负函数的积分与下方图形的测度的关系，富比尼定理。
　　*7.微分与积分：单调函数几乎处处可微（不证），有界变差函数及其性质，不定积分，绝对连续函数，牛顿—莱布尼公式。
　　四、教学措施及策略
　　1．文字教材
　　文字教材是学生学习课程的主要用书，是学生获得知识和能力的重要媒体，是教和学的根本依据。
　　本课程的文字教材为《实变函数》（许凤主编，中央电大出版社出版），文字教材采用主辅合一的形式，主教材部分由许凤、陈卫宏编写，辅导教材部分由陈卫宏、顾静相编写。
　　2．网上教学
　　（1）文本辅导
　　文本辅导内容主要介绍本期教学内容的重点要求及学习方法，对教材中的难点作必要的展开说明。
　　（2）录像教材
　　录像教材是配合文字教材使用的强化教学媒体，可与文字教材配套使用，对教学内容进行重点讲授，本课程的录像教材为“实变函数”，由许凤教授主讲，共24讲。
　　（3）IP课
　　IP课程是基于网络的新型教学媒体之一。利用IP课程的卫星、网络传播的优势，充分发挥IP课程的教学内容可选和交换性，为学生自主学习本课程提供更方便的教学资源。
　　本课程的IP教材为“实变函数”，是课程部分内容的系统讲授。由许凤教授主讲，共45讲。
　　IP课重点讲授本课程的基本要点和学习方法，有选择地讲授比较适合在IP课中表现的重点、难点内容。
　　3．面授辅导
　　面授辅导(包括习题课)是电大的重要教学方式之一，由于电大是远距离教育，面授辅导是学生接触老师、获得疑难解答的重要途径。
　　本课程是一门理论性较强的课程，因此面授辅导或答疑是重要的辅助教学手段。开设本课程的地方电大，要聘请有经验、认真负责的教师，为学生进行面授辅导或答疑。要求教师认真钻研教学大纲，认真备课，批改作业。
　　面授辅导要求以学生为中心，及时发现学生学习中存在的问题，并针对这些问题进行重点辅导。
　　4.助学服务
　　为确保本课程教学活动正常有效地开展，保证课程的教学质量，中央电大及开设本课程的地方电大应及时组织课程的教学研讨培训会，提高大家对开放教育意义的认识，布置课程的教学任务，研究落实课程设计方案。
　　中央电大及开设本课程的地方电大应利用现代教育技术（如IP技术、网上教学辅导）和各种教学辅助手段加强对个体自主学习本课程学生教学辅导。
　　开设本课程的地方电大，除适当面授辅导外，还应开展函授、电话、电子信箱答疑，帮助学生建立学习小组等多种形式的助学活动，为学生自学提供必要的助学服务。
　　5. 自学
　　自学是电大学生获得知识的重要方式，自学能力的培养也是高等教育的目的之一，面授辅导时要注意对学生自学能力的培养。
　　6. 形成性考核
　　(1) 形成性考核要求
　　独立完成形成性考核是学好本课程的重要手段。形成性考核的作业题目应根据教学基本要求精选，份量要适度，由易到难。通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各种公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。
　　每学期学生必须完成形成性考核的4次课程作业，形成性考核内容由中央电大统一规定。中央电大和省市电大将对规定的形成性考核的完成情况进行检查。任课教师必须认真批阅学生形成性考核的作业，并根据作业完成的情况进行评分，给出形成性考核成绩并计入学生期末总成绩。
　　开设本课程的地方电大可以根据教学情况，适当补充一定的练习。
　　（2）形成性考核的作业评判
　　学生必须按规定时间完成形成性考核的作业，态度认真，字迹工整，抄写题目，解答题有解答过程。
　　任课教师必须按时收取形成性考核的作业，对于规定的作业进行详批详改，公平公正评定成绩，并对学生的作业情况做详细记录。任课教师应将批改后的作业返还学生，学生对做错的题目应认真进行改正。
　　形成性考核的作业最终成绩按平均值确定。
　　任课教师批改形成性考核的作业应记相应的教学工作量。
　　各省市电大须及时布置并检查学生作业的完成情况，并将检查结果进行通报。
　　（3）形成性考核的作业成绩的认定
　　经办学单位鉴定，报上级教学部门审定，验收合格后成绩有效。
　　各省市级电大须在学期的第19周前对形成性考核的作业进行全部检查，并将作业成绩报送中央电大。
　　7.考试
　　考试是对教与学的全面验收，是不可缺少的教学环节。
　　考试题目要全面，符合大纲要求，同时要做到体现重点，难度适中，题量适度，难度及题量的梯度应按照教学要求的三个不同层次安排，对未作具体要求教学的内容不作考试要求。
　　学生本课程的成绩由期末考试成绩和形成性考核成绩两部分组成，其中期末考试成绩占80％，形成性考核成绩占20％。
　　各地要严格考试纪律，统一把握评分标准，及时上报考试统计结果及分析报告。
中央广播电视大学实变函数课程组