幂级数运算.doc

§11-3 幂 级 数
一、函数项级数的概念
1.定义 设函数列 表达式：
称为定义在上的(函数项)(无穷)级数
如:

2. 收敛性
，(1)成为常数项级数可能收敛可能发散．若收敛，称是 (1)的收敛点；若发散，称点是 (1)的发散点.收敛域：收敛点的全体；发散域：发散点的全体.
3.和函数
，收敛域
：函数项级数(1)的前项和，则在收敛域上有
：函数项级数的余项(只有在收敛域上才有意义)，有
和函数
二、幂级数及其收敛性
1．定义
其中常数：幂级数的系数．例如，等等。
取
2．收敛性
定理1(阿贝尔(Abel)定理)如果级数当时收敛，则适合不等式的一切x使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数当时发散，则适合不等式的一切x，使这幂级数发散．
分析：(1)设级数收敛,由级数收敛的必要条件有,于是，使得
这样级数(3)的一般项的绝对值

由等比级数的敛散性知时,收敛，即绝对收敛．
(2)反证法．
注1 由TH1知，若幂级数在处收敛，则，都收敛；若在处发散，则对于 外的任何，都发散．
几何说明：

推论 如果幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数存在，使得
当时，幂级数绝对收敛；
当时，幂级数发散；
当与时，幂级数可能收敛也可能发散．
3．收敛半径和收敛区间
：幂级数(3)的收敛半径．幵区间叫做幂级数(3)的收敛区间。由处的收敛性可决定它的收敛域是或之一.特殊情形：，（这时收敛区间是）。
定理2 如果 其中是的相邻两项的系数．则这幂级数的收敛半径
例1 求幂级数的收敛半径与收敛区间
(1)
解 , 故收敛半径为.
因为当时, 幂级数成为, 是发散的; 当时, 幂级数成为, 也是发散的, 所以收敛域为(-3, 3).
(2)
收敛区间是

(3) 缺少偶次幂的项 定理2不能直接应用，比值审敛法求R
,
;,
收敛区间是
(4) 令，上述级数变为
收敛区间为
三、幂级数的运算
1．四则运算
设和 分别在及内收敛，
（1）加减法 在及中较小的区间内成立.
（2）乘法（两幂级数的柯西乘积）

可以证明上式在与中较小的区间内成立．
（3）除法：
这里设为决定系数可将与与相乘，并令乘积中各项的系数分别等于级数中同次幂的系数，即得：

由这些方程就可以顺序地求出
相除后所得的收敛区间可能比原来两级数的收敛区间小得多．
2.幂级数的和函数性质
性质1 幂级数和函数在其收敛域上连续.
性质2 在区间内是可导的.且有逐项求导公式

其中，逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.
反复应用上述结论 ： 在收敛区间内具有任意阶导数．
性质3 在区间内是可积的.且有逐项积分公式

其中，逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
例2 求下列幂级数的和函数
(1)在区间内求幂级数的和函数
解 设和函数 显然
并由
当时,有.从而

由幂级数的和函数的连续性可知，和函数在处是连续的．
可验证：.
求和函数经常与求等比级数的和相联系,一般：
遂项积分化为等比级数求和,再遂项求导得和函数; 遂项求导化为等比级数求和,再遂项积分得函数;
练习：
小结：本节介绍了幂级数的概念、收敛半径和收敛区间的求法，会利用幂级数的分析性质求其和函数.
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