极坐标的概念.doc

（一）极坐标概念
    确定平面内的点的位置有各种方法，用一对实数确定平面内的点位置的方法称为直角坐标方法，因其方法简捷且应用广泛（如地球的经纬线和剧场中座位号）而成为解析几何中最主要的内容；用方向（角）和距离来确定平面内的点的位置是极坐标的基本思想。极坐标在工程中和军事上也有广泛应用。
    1.1极坐标系定义
   在平面上选一定点O，由O出发的一条射线OX，规定一个长度单位和角的正方向（通常以反时针旋转为正方向）合称一个极坐标系。其中O为极点，射线OX为极轴，由极径和极角两个量构成点的极坐标，一般记作（ρ，θ）。
    1.2平面内的点与极坐标系的关系
   平面内有一点P，|OP|用ρ表示，ρ称为P点的极径；OX到OP的角θ叫极角，P（ρ，θ）为极坐标。
    (1)有一组极坐标（ρ，θ）能在极坐标系中找唯一的点与其对应；
    (2)在极坐标系中有一个点P，则有无数组极坐标与其对应。
        ①P点固定后，极角不固定。（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ）（k∈z）表示同一点坐标；
        ②P点固定后，ρ的值可正、可负。ρ＞0时，极角的始边为OX轴，终边为线；ρ＜0，极轴始边为OX轴，终边为的反向延长线；规定：ρ=0时，极角为任意角，如（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ)及（-ρ，2kπ+π+θ)(k∈z)表示同一点。
        ∴极坐标与极坐标平面内的点不一一对应。
    例1.在极坐标系中，点P（ρ，θ）与Q（-ρ，2π-θ）的位置是（ ）
        A.关于极轴所在直线对称      B.关于极点对称
        C.重合                      D.关于直线（ρ∈R）对称
    分析：Q（-ρ，2π-θ）与（ρ,π-θ）表示同一点，它与点P（ρ，θ）关于直线（ρ∈R）（过极点而垂直于极轴的直线）对称。 故选D。

    例2.在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是，，那么C的坐标可能是（ ）
    A.     B.
   C.     D.（3，π）

    分析：∵,极径相同，极角相差π，A、B以极点对称，又|AB|=4，△ABC为等边△，，，C对应极角为.
        ∴或 故选B 。
    例3.A、B两点的极坐标分别为A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，则
        |AB|=______________________________。
    分析：用余弦定理可得此结论可作为公式。

    1.3极坐标与直角坐标的互化
    取极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，在极坐标系中P(ρ，θ)，设在直角坐标系中P(x,y)
        则ρ2=x2+y2、、(注意角所在象限)
        此三组式子，即为极坐标与直角坐标的互化公式。
    例1.将下列各极坐标方程化为直角坐标方程。
        (1)             (2)
        (3)     (4)ρ2=2cos2θ
    　　解：(1) 得y=-x；
        (2)ρsin2θ=2cosθ+2,ρ2sin2θ=2ρcosθ+2ρ,,(y2-2x)2=4(x2+y2)得y2=4(x+1)；
    (3)4ρ2+5ρ2cos2θ=36,4(x2+y2)+5x2=36,得x2+4y2=36；
    (4)ρ4=2ρ2(cos2θ-sin2θ),(x2+y2)=2x2-2y2
    例2.椭圆在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中的方程为（ ）
    A.      B.     C.     D.
    分析：,得 故选C 。

（二）极坐标方程的确定
    2.1几种直线的极坐标方程
    (1)从极点O发出的一条射线（如图1），其极坐标方程为：θ=θ1（ρ＞0）；
    (2)过极点O的一条直线（），其极坐标方程为θ=θ1（ρ∈R）；
    (3)如图3  过点（a,o）且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：ρcosθ=a；
    (4)如图4  过点（a,π)且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：ρcosθ= -a；

如图1

如图2

如图3

如图4
    (5)如图5   平行于极轴在极轴上方a个单位的直线的极坐标方程为：ρsinθ=a；
    (6)如图6   平行于极轴且在极轴下方a个单位的直线的极坐标方程为：ρsinθ=-a；
    (7)如图7  过点M（a,θ1）,且与极径OM垂直的直线的极坐标方程为：ρcos(θ-θ1)=a.

如图5

如图6

如图7
    例1.过点且与极轴平行的直线的极坐标方程是（ ）
        A.     B.ρ=1     C.      D.
    分析：极点到直线距离d=1.根据直线极坐标方程(5)得ρsinθ=1，故选C。
    例2.已知点P的坐标为（1,π），那么通过P点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ）（上海 94年高考题）
        A.ρ=1     B.ρ=cosθ     C.ρcosθ= -1      D.ρcosθ=1
    分析：根据直线极坐标方程(4)得ρcosθ=-1 故选C。
    例3.已知直线ι1的参数方程为：（t为参数），直线ι2的极坐标方程为（极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合）。则ι1与ι2的夹角是（ ）
        A.     B.      C.     D.
    分析：直线化为普通方程为x-2y+3=0,其斜率；直线化为普通方程，即，其斜率k2=1，两直线夹角若为α，则，，故选C 。

    2.2几种圆的极坐标方程
    (1)圆心为极点，半径为r的圆的极坐标方程为：ρ=r(θ∈R)；
    (2)圆心O′（r,0），半径为r的圆的极坐标方程为：ρ=2rcosθ；
    (3)圆心O′（r,π），半径为r的圆的极坐标方程为：ρ=-2rcosθ；

    (4)圆心O′，半径为r的圆的极坐标方程为：；
    (5)圆心O′，半径为r的圆的极坐标方程为：；
　　(6)一般圆的极坐标方程：圆心O′（ρ0，θ0），半径为r的极坐标方程。设动点（ρ，θ），依据余弦定理得ρ2+ρ20 -2ρρ0 cos（θ-θ0）=r2 即ρ2-[2ρ0 cos(θ-θ0)]ρ+ρ02-r2=0.

    以上方程的推导方程有两种：一是基本方法，也就是轨迹法。轨迹法就是设曲线动点为（ρ，θ），然后找出可解三角形，在可解三角形中建立等量关系；二是直极转化法，也就是写出直角坐标方法，然后再化为极坐标方程。
    例1. 极坐标方程所表示的曲线是（ ）
        A.双曲线     B.椭圆     C.抛物线     D.圆
    分析：

        故选D。
    例2.极坐标方程ρ2-(1+2cosθ)ρ+2cosθ=0所表示的曲线是（ ）
        A.抛物线     B.一直线和一个圆      C.两条直线     D.两相交圆
    分析：是两相交的圆 故选D。
    例3.极坐标方程分别是ρ= -cosθ和ρ= -sinθ的两个圆的圆心距是（ ）
        A.2      B.      C.1     D.
    解法一：圆ρ=-cosθ 圆心；圆ρ=-sinθ，圆心根据两个点间距离
        ，应选D；
    解法二：两个圆的圆心分别在极轴反向延长线和过极点垂直于极轴直线上，且两圆都过极点，半径都为根据两个点间距离
        ，应选D；
    解法三：两个圆的圆心分别在极轴反向延长线和过极点垂直于极轴直线上，且两圆都过极点，半径都为，根据勾股定理，；
    解法四：；.圆心距.
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   2.3焦点为极点的椭圆、双曲线和抛物线标准统一的极坐标方程：
    (1)圆锥曲线统一定义：在同一平面内到一定点和一定直线的距离之比为常数e的动点轨迹，就叫圆锥曲线。其中定点叫圆锥曲线的焦点，定直线叫准线。
    (2)圆锥曲线的标准统一极坐标方程：如果以定点O为极点，以过定点所作定直线L的垂线的反向延长线为极轴正方向建立极坐标系为标准坐标系。那么在此标准极坐标系下圆锥曲线的标准统一方程,其中p是焦点到相应准线的距离。在椭圆和双曲线中p就是相应直角坐标系中的,.
    (3)将化为直角坐标方程(1-e2)x2+y2-2e2px-e2p2=0,其中0＜e＜1时两方程表示椭圆（极点和原点是椭圆的左焦点）；e＞1时两方程表示双曲线（极点和原点是双曲线的右焦点）；e=1时两方程表示抛物线（极点和原点是抛物线焦点）。
    例1.设椭圆 (0＜e＜1).求：a、b、c及另一个焦点的极坐标，两条准线的极坐标方程。

    解：令θ=0得A点极径 ①
        θ=π得A′点极径 ②
        由①+②得 ①-②得

        F1为极点
        左准线 ρcosθ=-p，右准线 .
    例2.求双曲线 (e＞1)的a、b、c，焦点的坐标和准线的方程。
    解：令θ=0 (e＞1) ①
        θ=π ②
        由①、②得
        焦点F2(0，θ)为极点，F1 (2c,π)即
        右准线 ρcosθ=-p 左准线
    例3.求圆锥曲线过焦点的弦AB之长
    解：

        当e=1时，抛物线过焦点弦长
    解评：圆锥曲线极坐标方程只有一个，比较容易记忆，注意圆锥曲线统一标准极坐标方程的极点是其一个焦点。也正因为此，遇到圆锥曲线有关焦点弦问题，用极坐标方程来解题，运算要简捷。
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（三）极坐标方程的应用
    3.1由极坐标方程讨论曲线及性质
    例1.椭圆的焦距是（ ）
        A.     B.2     C.     D.1
    分析：极坐标方程化为标准式应选B.
    例2. 若圆锥曲线的一条准线方程是ρcosθ=1，则另一条准线的极坐标方程是____________________。
    分析：化标准式，两条准线间距离 ∴另一条准线为
    例3.双曲线的渐近线方程是_____________.
    分析：化标准线

        设双曲线渐近线上一动点M（ρ,θ）。
        令此时ρ不存在，θ1为渐近线与极轴夹角。在△MO′F中 (如图)根据正弦定理 ∴双曲线的两条渐近线的方程为：和 .
    解评：用圆锥曲线统一标准极坐标方程讨论曲线性质。主要记住椭圆和双曲线,及直线的极坐标方程；例3求双曲线渐近线的极坐标方程高考大纲不作要求，有同学愿用极坐标求动点轨迹研究可作参考。
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    3.2圆锥曲线过焦点弦问题在极坐标中应用
    因为圆锥曲线的统一标准极坐标方程的极点是其一个焦点，且过极点弦长可直接得ρ1+ρ2之值。因此遇到有关过焦点弦问题用极坐标方程解决，可简化做题过程。
    例1.过椭圆的左焦点作一条倾角为的直线ι，则它被曲线截得的弦长是______________。
    解：设直线ι与曲线交点为、它被曲线截得的弦长
    例2.已知椭圆长轴AA′=6，焦距，过椭圆焦点F1作直线交椭圆于M、N两点，若∠F2F1M=α,(0≤α＜π).当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长。
    解：（此题MN是过焦点弦问题，用极坐标解题较好）以F1为极点，F1F2所在射线为极轴建立极坐标系。

        ∵a=3，，,,
        椭圆的极坐标方程为

        ∴
        令：
    例3.过抛物线y2=2px的焦点F作两条互相垂直的直线ι1和ι2,分别与抛物线交于A、B点和C、D点 (1)求证：为定值；(2)求|AB|+|CD|的最小值。
　　解：(1)以焦点F为极点，x轴正方向为极轴正向建立极坐标系，则y2=2px的极坐标方程为
        设A(ρ1，θ)则B(ρ2，θ+π),,

        ∴（为定值）
    (2)
        当sin22θ=1 时，等号成立，∴最小值为8p
    解评：抛物线直角坐标方程中p与极坐标方程中p相同，因此抛物线直角坐标方程（原点为抛物线顶点）与极坐标方程（极点为抛物线焦点）互换极为容易，过焦点弦问题用极坐标方程解决较好。
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[同步检测]
1.曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标方程为（ ）（98年全国高考题）
    A.x2+(y+2)2=4          B.x2+(y-2)2=4
    C.(x-2)2+y2=4          D.(x+2)2+y2=4
2.已知点P的坐标为（1，π），那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ）（94年上海高考题）
    A.ρ=1     B.ρ=cosθ      C.ρcosθ= -1     D.ρcosθ=1
3.的半径和圆心的极坐标分别为（ ）
    A.          B.
    C.          D.
4.双曲线的顶点坐标是（ ）
    A.（8，0），（2，π）         B.（-8，0），（2，π）
    C.（-8，0），（-2，π）        D.（8，0），（-2，π）
5.椭圆的长轴长_____________，短轴长____________，短轴上顶点的坐标_______，焦点坐标_____________，准线方程_________________。
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[强化练习]
    1.设椭圆(a＞b＞0)，A、B为椭圆上任意两点，且（其中O为坐标轴原点），求证：为定值。
    2.设有一彗星，围绕地球沿一抛物线轨迹运行，地球恰好位于这轨迹的焦点处。当此彗星离地球为d万公里时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，求这彗星运行中与地球的最短距离。
    3.F是定点，ι是定直线，点F到直线ι的距离为p（p＞0）,点M在直线ι上滑动，动点N在MF的延长线上，且满足。(1)求动点N的轨迹。(2)求|MN|的最小值。（1989年上海高考题）

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同步检测答案：
    1.B    2.C    3.C     4.B
    提示：
    1.ρ2=4ρcosθ x2+y2-4x=0 x2+(y-2)2=4 故选B；
    2.把ρ=1，θ=π代入方程，只有C成立；
    3.化为直角坐标方程得,半径r=1，圆心化为极坐标.故选C 。
    4. a=3,b=4,c=5顶点A(c-a,π) A′（-(a+c),0）
    5. ∴2a=10,
        短轴上顶点坐标为,焦点（0，θ），（4，0），准线或
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强化练习解答：
    1.解化为极坐标方程x=ρcosθ,y=ρsinθ,得
        b2ρ2cos2θ+a2ρ2sin2θ=a2b2,即

    2.解：以地球所在位置为极点，抛物线对称轴为极轴建立极坐标系，设抛物线方程为
        ∵在抛物线上，故；
        又∵也可能在抛物线上 故
        ∵抛物线上各点中顶点离焦点最近，∴慧星与地球最短距离为（万公里）或（万公里）。
    3.解：以F为极点，过F而垂直于ι，方向向右为正建立极坐标系。
        (1)设N（ρ，θ），,过F作FK⊥ι于K，设|FK|=p，,(其中|FN|=ρ)，
        ∵即（0＜cosθ＜p）。
        ①若,即0＜p＜1时，N的轨迹为双曲线右支的一部分（如右图）。
        ②若,即p=1时，N的轨迹为抛物线一部分（如右图）。

        ③若即p＞1时，N为椭圆的一部分。
    (2)
        ①若0＜p≤2时，则时，|MN|min=4
        ②若p＞2时，则cosθ=1时，
极坐标·型例题分析

发布时间：2005年7月24日 14时58分
例1  点M(1，π)是否在曲线C∶ρ(3-4cosθ)=1上，为什么？
分析  点M(1，π)的极坐标可以有无数种表示形式，点M是否在曲线C上，只要点M有其中一个极坐标满足方程．
解  由1·(3-4cosπ)≠1 不能判断点M不在曲线C上，
∵点M(1，π)，即是M(-1，2π)
且-1·(3-4cos2π)=1
∴点M(1，π)在曲线C∶ρ(3-4cosθ)=1上．
说明  解此题要注意“点和极坐标”的“一多对应”特性，适合曲线的极坐标方程的每一对有序实数(ρ，θ)所确定的点一定在此曲线上，但此曲线上点的坐标不一定全适合此方程．
例2  化下列极坐标方程为直角坐标方程．

分析  要利用ρcosθ=x；ρsinθ=y；ρ2=x2+y2进行转化

Ûρsin2θ=-6cosθ
当ρ≠0时，两边乘以ρ∶ρ2sin2θ=-6ρcosθ
即：y2=-6x(x≠0)
当ρ=0时，原方程有解，曲线过原点．
∴所得直角坐标方程为：y2=-6x．
说明  化极坐标方程为直角坐标方程时，要注意变形的等价性，特别要检查极点是否在曲线上．这是因为在变形过程中，通常要用ρ去乘

不过极点，在得到2ρ2cos2θ=ρ后，如不限制ρ＞0，则原点在曲线

直线的距离是______．
分析  由极坐标的定义，ρ(ρ＞0时)或|p|(ρ＜0时)为曲线上点到极点的距离，因此可求|p|的最小值，另一种方法是化直线的极坐标方程为普通方程，再利用点到直线的距离公式求解．

∴ρsinθ+ρcosθ=1．
∴直线的直角坐标方程是x+y-1=0

说明  解法一需要对极坐标的概念有较深刻的理解；解法二的关键一步是化极坐标方程为直角坐标方程，这是解决极坐标问题的常用方法．

分析  如图3-3，|OA|，|OB|是从原点出发的两条线段的长度，启发我们把椭圆方程化为极坐标方程后，利用极径的意义求解．

解  以原点为极点，ox为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程

说明  对有心圆锥曲线，若涉及曲线上的点与中心连线的问题，则通常以中心为极点，对称轴为极轴建立极坐标系；若涉及抛物线顶点弦的问题，则通常以顶点为极点，对称轴为极轴建立极坐标系．
极坐标·例题

发布时间：2005年7月24日 14时46分

(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；
(3)化曲线E的极坐标方程：kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0为直角
坐标方程，并说明曲线的形状．
解  (1)设M的直角坐标为(x，y)，则

(3)在方程kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0两边同乘以ρ得
kρ2cos2θ+3ρ2sin2θ-6ρcosθ=0
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得
kx2+3y2-6x=0
因极点在曲线上，则原点也满足方程．
当k=0时，曲线为抛物线y2=2x；

注  (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两

的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值．
(ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ，
使方程中出现ρ2，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化．
但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．
例13-2-2  已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，OB
作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值
a2时，求P点的轨迹．
解  如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=α+θ．所以

OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ)
ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ)
于是  SPMON=S△POM+S△PON

由题设知

故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，

注  与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．
例13-2-3  已知椭圆(x-2)2+4y2=4．P为椭圆上一动点，O为原点，
以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点
轨迹方程．

解  以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系．
化椭圆方程(x-2)2+4y2=4为
x2+4y2-4x=0
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程
ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ-4ρcosθ=0
设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．

因点P在椭圆上，故

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得

这就是点Q的轨迹方程．
注  因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．

焦距．
解  [法一]设长轴两端点为A1，A2，其极坐标为(ρ1，0)，(ρ2，π)，则

为右焦点；∠MF1F2=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．

以左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极

设M点的极坐标为(ρ1，α)则N点极坐标为(ρ2，π+α)．于是

注  对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解
极坐标·例题

发布时间：2005年7月24日 14时46分

(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；
(3)化曲线E的极坐标方程：kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0为直角
坐标方程，并说明曲线的形状．
解  (1)设M的直角坐标为(x，y)，则

(3)在方程kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0两边同乘以ρ得
kρ2cos2θ+3ρ2sin2θ-6ρcosθ=0
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得
kx2+3y2-6x=0
因极点在曲线上，则原点也满足方程．
当k=0时，曲线为抛物线y2=2x；

注  (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两

的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值．
(ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ，
使方程中出现ρ2，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化．
但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．
例13-2-2  已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，OB
作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值
a2时，求P点的轨迹．
解  如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=α+θ．所以

OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ)
ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ)
于是  SPMON=S△POM+S△PON

由题设知

故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，

注  与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．
例13-2-3  已知椭圆(x-2)2+4y2=4．P为椭圆上一动点，O为原点，
以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点
轨迹方程．

解  以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系．
化椭圆方程(x-2)2+4y2=4为
x2+4y2-4x=0
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程
ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ-4ρcosθ=0
设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．

因点P在椭圆上，故

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得

这就是点Q的轨迹方程．
注  因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．

焦距．
解  [法一]设长轴两端点为A1，A2，其极坐标为(ρ1，0)，(ρ2，π)，则

为右焦点；∠MF1F2=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．

以左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极

设M点的极坐标为(ρ1，α)则N点极坐标为(ρ2，π+α)．于是

注  对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解
极坐标·例题

发布时间：2005年7月24日 14时46分

(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；
(3)化曲线E的极坐标方程：kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0为直角
坐标方程，并说明曲线的形状．
解  (1)设M的直角坐标为(x，y)，则

(3)在方程kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0两边同乘以ρ得
kρ2cos2θ+3ρ2sin2θ-6ρcosθ=0
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得
kx2+3y2-6x=0
因极点在曲线上，则原点也满足方程．
当k=0时，曲线为抛物线y2=2x；

注  (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两

的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值．
(ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ，
使方程中出现ρ2，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化．
但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．
例13-2-2  已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，OB
作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值
a2时，求P点的轨迹．
解  如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=α+θ．所以

OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ)
ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ)
于是  SPMON=S△POM+S△PON

由题设知

故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，

注  与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．
例13-2-3  已知椭圆(x-2)2+4y2=4．P为椭圆上一动点，O为原点，
以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点
轨迹方程．

解  以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系．
化椭圆方程(x-2)2+4y2=4为
x2+4y2-4x=0
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程
ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ-4ρcosθ=0
设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．

因点P在椭圆上，故

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得

这就是点Q的轨迹方程．
注  因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．

焦距．
解  [法一]设长轴两端点为A1，A2，其极坐标为(ρ1，0)，(ρ2，π)，则

为右焦点；∠MF1F2=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．

以左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极

设M点的极坐标为(ρ1，α)则N点极坐标为(ρ2，π+α)．于是

注  对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解
极坐标·例题

发布时间：2005年7月24日 14时46分

(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；
(3)化曲线E的极坐标方程：kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0为直角
坐标方程，并说明曲线的形状．
解  (1)设M的直角坐标为(x，y)，则

(3)在方程kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0两边同乘以ρ得
kρ2cos2θ+3ρ2sin2θ-6ρcosθ=0
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得
kx2+3y2-6x=0
因极点在曲线上，则原点也满足方程．
当k=0时，曲线为抛物线y2=2x；

注  (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两

的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值．
(ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ，
使方程中出现ρ2，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化．
但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．
例13-2-2  已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，OB
作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值
a2时，求P点的轨迹．
解  如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=α+θ．所以

OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ)
ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ)
于是  SPMON=S△POM+S△PON

由题设知

故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，

注  与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．
例13-2-3  已知椭圆(x-2)2+4y2=4．P为椭圆上一动点，O为原点，
以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点
轨迹方程．

解  以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系．
化椭圆方程(x-2)2+4y2=4为
x2+4y2-4x=0
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程
ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ-4ρcosθ=0
设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．

因点P在椭圆上，故

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得

这就是点Q的轨迹方程．
注  因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．

焦距．
解  [法一]设长轴两端点为A1，A2，其极坐标为(ρ1，0)，(ρ2，π)，则

为右焦点；∠MF1F2=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．

以左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极

设M点的极坐标为(ρ1，α)则N点极坐标为(ρ2，π+α)．于是

注  对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解
第十三章参数方程和极坐标专项训练

【例题精选】：

例1：曲线的参数方程为，则曲线是：
A．线段 B．双曲线一支 C．圆弧 D．射线
答案：A。
分析 由，将其代入，整理得：。

故该曲线是直线上的一条线段，故选A。

例2：参数方程表示：
A．双曲线一支，这支过点
B．抛物线一部分，这部分过点
C．双曲线一支，这支过点
D．抛物线一部分，这部分过点
答案：B。
分析 因为

因此，参数方程表示抛物线的一部分，这部分过点，故选B。

例3：等腰直角三角形ABC，三顶点A、B、C按顺时针方向排列，是直角，腰长为a，顶点A、B分别在x轴y轴上滑动，求顶点C的轨迹方程（要求把结果写成直角坐标系的普通方程）

分析 设点C的坐标为，不易直接建立之间的关系，所以可考虑建立之间的间接关系式，即参数方程。
完全确定了顶点C的位置，即顶点C的位置是的函数，所以可选为参数。
解：如图所示，设，则

C点的参数方程为：

消去参数，得普通方程为：
小结：与旋转有关的轨迹问题，常选角为参数。

例4：已知线段=4，直线l垂直平分于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、，使。求直线BP与直线的交点M的轨迹方程。
分析 以O为原点，轴建立一直角坐标系，如右图所示，则。
如图可知，当P点的位置一定时，点的位置完全确定，从而完全确定了M点的位置，所以可选P点的坐标为参数。
解：设，则由，得。
直线BP的方程为：
直线的方程为：
两直线方程化简为：

解①和②组成的方程组。可得直线BP与的交点坐标为：

消去参数a，得：
所求点M的轨迹是长轴长为6，短轴长为4的椭圆，但不包含点B和。
本题也可将直线BP和的方程变形为：

⑤、⑥两式相乘，得
小结：本题第二种解法，即交轨法。它是求两条曲线系交点轨迹的常用方法，这种方法不解方程组，而是直接由方程组消去参数而得交点的轨迹方程。

例5：直线相切，则直线的倾角为：
A． B． C． D．
答案：A
分析 将参数方程化为普通方程，直线为，圆为。它们相切的充要条件是：圆心到直线的距离。
解得

例6：已知直线方程，则两直线的交点与点P(1，－5)间的距离是 。
答案：
分析1 将已知直线的方程化为普通方程：，再与直线联立，解得两直线交点，所以
。
分析2 将已知直线方程代入，解得，则两直线交点，所以
。

例7：求椭圆上的点到直线的最大、最小距离。
解：椭圆上任意一点的坐标可设为，则点P到直线的距离为：

小结：圆锥曲线的参数方程，，多用于设圆锥曲线上点的坐标为参数形式，以使曲线上点的坐标所含变量个数减少。

例8：已知直线点，倾斜角为，且与圆相交于A、B两点，则|AB|= 。
答案：6。
分析 易知直线的参数方程为：

即
把直线的参数方程（*）代入圆的方程中，整理得。

根据参数t的几何意义知，|AB|=6

例9：在极坐标系中，点的关系是：
A．关于极点成中心对称
B．表示同一个点
C．关于极轴成轴对称
D．关于过极点与极轴垂直的直线成轴对称
答案：D。
分析 在极坐标系中，作出点与点，如图所示，所以选D。

例10：在极坐标系中，已知等边三角形ABC的两个顶点是，那么顶点C的一个坐标可能是：
A．