高考数学一轮复习第十篇计数原理概率随机变量及其分布第7节二项分布与正态分布训练理新人教版.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第 7 节二项分布与正态分布【选题明细表】知识点、方法题号条件概率、相互独立事件的概率2,3,4,5,6,8,10,12 二项分布7,14 正态分布1,9,11,15 二项分布与正态分布的综合13 基础巩固(时间:30 分钟)1.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(B)(附:若随机变量 服从正态分布N(,2),则 P(-+)=68.27%,P(-2+2)=95.45%)(A)4.56%(B)13.59%(C)27.18%(D)31.74%解析:P(-3 3)=68.27%,P(-6 6)=95.45%,则 P(36)=(95.45%-68.27%)=13.59%.2.一台机床有的时间加工零件A,其余时间加工零件B,加工零件 A时,停机的概率为,加工零件 B时,停机的概率是,则这台机床停机的概率为(A)(A)(B)(C)(D)解析:加工零件A 停机的概率是=,加工零件B 停机的概率是(1-)=,所以这台机床停机的概率是+=.故选 A.3.(2017 梅州市一模)箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6 个球,从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是4 的倍数,则获奖,现有 4 人参与摸奖,恰好有3 人获奖的概率是(B)(A)(B)(C)(D)解析:从6 个球中摸出2 个,共有=15 种结果,两个球的号码之积是4 的倍数,有(1,4),(2,4),(3,4),(2,6)(4,5),(4,6),共 6 种结果,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所 以 摸 一 次 中 奖 的 概 率 是=,所 以 有4 人 参 与 摸 奖,恰 好 有3人 获 奖 的 概 率 是()3=.故选 B.4.(2017 岳阳市质检)排球比赛的规则是5 局 3 胜制(无平局),甲队在每局比赛获胜的概率都相等为,前 2 局中乙队以20 领先,则最后乙队获胜的概率是(C)(A)(B)(C)(D)解析:因为排球比赛的规则是5 局 3 胜制(无平局),甲队在每局比赛获胜的概率都相等为,前2 局中乙队以20 领先,则只有甲后三局均胜乙才输,所以最后乙队获胜的概率P=1-()3=.故选 C.5.若某人每次射击击中目标的概率均为,此人连续射击三次,至少有两次击中目标的概率为(A)(A)(B)(C)(D)解析:至少有两次击中目标包含仅有两次击中,其概率为()2(1-);或三次都击中,其概率为()3,根据互斥事件的概率公式可得,所求概率为P=()2(1-)+()3=.故选 A.6.(2017 合肥市质检)某校组织由5 名学生参加演讲比赛,采用抽签法决定演讲顺序,在“学生 A 和 B 都不是第一个出场,B 不是最后一个出场”的前提下,学生 C 第一个出场的概率为(A)(A)(B)(C)(D)解析:记“学生A和 B都不是第一个出场,B 不是最后一个出场”为事件M,记“学生C第一个出场”为事件N.则 P(M)=,P(MN)=.那么“学生A和 B都不是第一个出场,B 不是最后一个出场”的前提下,学生 C第一个出场的概率为小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学P(N|M)=.故选 A.7.设随机变量XB(2,p),随机变量YB(3,p),若 P(X1)=,则 P(Y1)=.解析:因为 XB(2,p),所以 P(X1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=,解得 p=.又 YB(3,p),所以 P(Y1)=1-P(Y=0)=1-(1-p)3=.答案:8.高三毕业时,甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲、乙二人相邻,则甲、丙相邻的概率是.解析:设“甲、乙二人相邻”为事件A,“甲、丙二人相邻”为事件B,则所求概率为P(B|A),由于 P(B|A)=,而 P(A)=,AB 是表示事件“甲与乙、丙都相邻”,故 P(AB)=,于是 P(B|A)=.答案:能力提升(时间:15 分钟)9.(2017 湛江市二模)设随机变量 服从正态分布N(3,4),若 P(a+2),则 a的值为(A)(A)(B)(C)5(D)3 解析:因为随机变量 服从正态分布N(3,4),且 P(a+2),所以 2a-3 与 a+2 关于 x=3 对称,所以 2a-3+a+2=6,所以 3a=7,所以 a=.故选 A.10.1 号箱中有2个白球和 4 个红球,2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球,现随机地从1 号箱中取出一球放入2 号箱,然后从 2 号箱随机取出一球.则从 2 号箱取出红球的概率是(A)(A)(B)(C)(D)解析:法一记事件 A:最后从 2 号箱中取出的是红球;事件 B:从 1 号箱中取出的是红球,则根据古典概型和对立事件的概率和为1,可知:P(B)=,P()=1-=;由条件概率公式知小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学P(A|B)=,P(A|)=.从而 P(A)=P(AB)+P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=.故选 A.法二根据题意,分两种情况讨论:从 1 号箱中取出白球,其概率为=,此时 2 号箱中有 6 个白球和 3 个红球,从 2 号箱中取出红球的概率为,则此种情况下的概率为=.从 1 号箱中取出红球,其概率为=.此时 2 号箱中有 5 个白球和 4 个红球,从 2 号箱取出红球的概率为,则这种情况下的概率为=.则从 2 号箱取出红球的概率是+=.故选 A.11.(2017 黔东南州一模)黔东南州雷山西江千户苗寨,是目前中国乃至全世界最大的苗族聚居村寨,每年来自世界各地的游客络绎不绝.假设每天到西江苗寨的游客人数是服从正态分布N(2 000,10 000)的随机变量.则每天到西江苗寨的游客人数超过2 100的概率为.解析:因为服从正态分布N(,2)的随机变量在区间(-,+)内取值的概率为0.682 7,所以每天到西江苗寨的游客人数超过2 100 的概率为(1-0.682 7)=0.158 65.答案:0.158 65 12.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落的过程中,将 3 次遇到黑色障碍物,最后落入A袋或 B袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是,则小球落入A袋中的概率为.解析:记“小球落入A袋中”为事件A,“小球落入B袋中”为事件 B,则事件 A的对立事件为B,若小球落入B袋中,则小球必须一直向左落下或一直向右落下,故 P(B)=()3+()3=,从而 P(A)=1-P(B)=1-=.答案:13.(2017 泸州市二诊)从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100 份数学试卷作为样本,分别统计出这些试卷总分,由总分得到如下的频率分布直方图.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(1)求这100 份数学试卷的样本平均分和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)由直方图可以认为,这批学生的数学总分Z 服从正态分布N(,2),其中 近似为样本平均数,2近似为样本方差s2.利用该正态分布,求 P(81Z119);记 X表示 2 400 名学生的数学总分位于区间(81,119)的人数,利用的结果,求 E(X)(用样本的分布估计总体的分布).附:1 9,1 8,若Z N(,2),则P(-Z +)=0.682 7,P(-2 Z+2)=0.954 5.解:(1)由题意,=60 0.02+70 0.08+80 0.14+90 0.15+100 0.24+110 0.15+120 0.1+130 0.08+140 0.04=100,样本方差s2=(60-100)20.02+(70-100)20.08+(80-100)2 0.14+(90-100)20.15+(100-100)20.24+(110-100)2 0.15+(120-100)20.1+(130-100)20.08+(140-100)20.04=366.(2)ZN(100,192),P(81Z119)=P(100-19Z100+19)=0.682 7;数学总分位于区间(81,119)的概率为0.682 7,XB(2 400,0.682 7),E(X)=2 400 0.682 7=1 638.24.14.(2016 广东深圳二调)某市在对学生的综合素质评价中,将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级,其中不小于80 分为“优秀”,小于 60 分为“不合格”,其他为“合格”.(1)某校高一年级有男生500人,女生 400人,为了解性别对该综合素质评价结果的影响,采用分层抽样的方法从高一学生中抽取了45 名学生的综合素质评价结果,其各个等级的频数统计如下表:等级优秀合格不合格男生(人)15 x 5 女生(人)15 3 y 根据表中统计的数据填写下面22 列联表,并判断是否有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”?男生女生总计优秀非优秀总计(2)以(1)中抽取的45 名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率,且每名学生是否“优秀”相互独立,现从该市高一学生中随机抽取3 人.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学求所选3 人中恰有2 人综合素质评价为“优秀”的概率;记 X表示这 3 人中综合素质评价等级为“优秀”的个数,求 X的数学期望.参考公式:K2=,其中 n=a+b+c+d.临界值表:P(K2k0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k02.072 2.706 3.841 5.024 6.635 解:(1)设从高一年级男生中抽出m人,则=,m=25.所以 x=25-20=5,y=20-18=2,男生女生总计优秀15 15 30 非优秀10 5 15 总计25 20 45 而 K2=1.1252.706,所以没有90%的把握认为“测评结果为优秀与性别有关”.(2)由(1)知等级为“优秀”的学生的频率为=,所以从该市高一学生中随机抽取1名学生,该生为“优秀”的概率为.记“所选3 名学生中恰有2 人综合素质评价优秀学生”为事件A,则事件 A 发生的概率为P(A)=()2(1-)=;由题意知,随机变量 XB(3,),所以随机变量X的数学期望E(X)=3=2.15.(2017 重庆市适应性测试)某火锅店为了解气温对营业额的影响,随机记录了该店1 月份中 5 天的日营业额y(单位:千元)与该地当日最低气温x(单位:)的数据,如下表:x 2 5 8 9 11 y 12 10 8 8 7(1)求 y 关于 x 的回归方程=x+;(2)判定 y 与 x 之间是正相关还是负相关;若该地 1 月份某天的最低气温为6,用所求回归方程预测该店当日的营业额;(3)设该地 1月份的日最低气温XN(,2),其中 近似为样本平均数,2近似为样本方差s2,求 P(3.8X13.4).附:回归方程=x+中,=,=-.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 3.2,1.8.若 XN(,2),则 P(-X +)=0.682 7,P(-2 X +2)=0.954 5.解:(1)列表计算如下:i xiyixiyi1 2 12 4 24 2 5 10 25 50 3 8 8 64 64 4 9 8 81 72 5 11 7 121 77 35 45 295 287 这里 n=5,=xi=7,=yi=9,又 lxx=-n=295-572=50,lxy=xiyi-n =287-5 7 9=-28,从而,=-=-0.56,=-=9-(-0.56)7=12.92,故所求回归方程为=-0.56x+12.92.(2)由=-0.560 知 y 与 x 之间是负相关,将 x=6 代入回归方程可预测该店当日的营业额为=-0.56 6+12.92=9.56(千元).(3)由(1)知=7,又由 2=s2=(2-7)2+(5-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(11-7)2=10 知=3.2,从而P(3.8X13.4)=P(-X+2)=P(-X )+P(X+2)=P(-X+)+P(-2 X +2)=0.818 6.