浅析彩漆销售问题的模型.docx

彩漆销售问题的模型分析

摘要
针对题目的要求，本题采用分块逐层深入的方法，首先分析售价与预期销售量之间的关系以及销售增长因子与广告费之间的关系，广告费会影响销售增长因子，实际销售量与销售因子和预期销售量存在一定关系，又因为售价与预期销售量存在一定关系，因此最终由售价和广告费决定彩漆销售的利润，建立它们之间函数关系即可解决问题。
问题一，根据题目中表一的数据，利用多项式拟合的方法，通过计算和分析，建立起售价与预期销售量的函数关系，得到它们之间的函数关系式。
问题二，根据题目中表二的数据，利用多项式函数拟合的方法，通过计算和分析，建立起广告费与销售增长因子的函数关系式。
问题三，找出彩漆销售得到的利润与广告费和售价的关系，进一步分析得到它们之间的函数关系式，构造方程，利用最优化问题中的单纯形计算法求出最优解以及最优解对应的点，进而得出结果。

关键词：函数关系、多项式拟合、最优化、

1 问题重述
某公司有一批以每桶2元购进的彩漆，为了获得较高的利润，希望以较高的价格卖出，但价格越高，售出量就越少，二者之间的关系由表一给出。于是打算增加广告投入来促销。而广告费与销售量的关系可由销售增长因子来描述。例如，投入3万元的广告费，销售因子为1.85，意味着做广告后的销售量将是未做广告销售量的1.85倍。根据经验，广告费与销售因子的关系如表2，现请你作出决策：投入多少广告费和售价为多少时所获得的利润最大?
表1
售价
2．00
2．50
3．00
3．50
4．00
4．50
5．00
5．50
6．00
预期销售量（千桶）
41
38
34
32
29
28
25
22
20
表2
广告费（千元）
0
10
20
30
40
50
60
70
销售增长因子
1．00
1．40
1．70
1．85
1．95
2．00
1．95
1．80

2 问题分析
本题是一道关于销售利润最大化的问题。利润的制约因数有彩漆销售过程中的广告费用、销售增长因子、售价以及预期销售量，主要问题是要找出各个制约因数之间的关系，建立函数关系式，运用MATLAB中的相关知识来求解，最终得到结果。
在问题一中，根据题目中表一提供的数据，进行曲线拟合，以得到售价与预期销售量之间的函数关系。
在问题二中，根据题目中表二提供的数据，利用多项式拟合的方法进行曲线拟合，通过计算和分析，建立广告费与销售增长因子的函数关系式。
在问题三中，通过问题一和问题二的分析，可以找出彩漆销售得到的利润与广告费和售价的关系，再进行进一步分析得到它们之间的函数关系式，构造方程，再利用最优化问题的解决办法求解。

3 模型假设
1）售价与预期销售量存在严格的函数关系
2）销售因子与广告费之间存在严格的函数关系
3）广告的效果完全达到理想效果
4）实际销售量等于未做广告的销售量与销售因子的乘积
5）所有彩漆不存在质量问题
6）彩漆在销售过程中不会出现任何亏损的现象
7）所有彩漆全部按照预期价格售完

4 符号说明

s: 售价
g: 广告费
y: 预期销售量
f: 获得的利润
x: 销售增长因子
z: 做广告后的销售量
f1: 售价与预期销售量的关系
f2: 广告费与销售增长因子的关系

5 模型建立及求解
在本模型中，利用多项式函数拟合的方法，建立起售价与预期销售量的函数关系式以及广告费与销售增长因子的函数关系式，再根据题目意思建立起彩漆销售得到的利润与广告费和售价的关系，再进行进一步分析得到各变量之间的函数关系式，构造方程，再利用最优化求出最大利润以及对应的广告费和售价。

【问题一】
根据表一提供的数据，利用多项式拟合的方法进行曲线拟合，以得到售价与预期销售量之间的函数关系。
表1
售价
2．00
2．50
3．00
3．50
4．00
4．50
5．00
5．50
6．00
预期销售量（千桶）
41
38
34
32
29
28
25
22
20

首先画出售价与预期销售量的散点图，初步分析他们之间可能存在的关系，以便进行函数拟合，因此编辑程序如下：
s=[2.00:0.50:6.00];
y=[41,38,34,32,29,28,25,22,20];
plot(s,y,'*r')
xlabel('s 售价(元)'),ylabel('y 预期销售量（千桶)')
title(['售价与预期销售量的散点图'])

运行以上程序得到售价与预期销售量的散点图由下图所示：

通过分析得知，售价与预期销售量可能存在形如y=a*x+b的一次线性关系，于是利用多项式拟合的方法，运用多项式拟合的函数polyfit()对售价与预期销售量的关系进行进行一项式拟合，于是编辑程序如下：
s=[2.00:0.50:6.00];
y=[41,38,34,32,29,28,25,22,20];
f1=polyfit(s,y,1)
运行以上程序结果得到下面的结果，其中-5.一三33为一次项系数，50.4222为常数项。
f1 =
-5.一三33 50.4222
紧接着对函数进行拟合，于是运行以下程序，得到售价与预期销售量的拟合效果图如下图所示：
si=linspace(2,6,40);
z=polyval(f1,si);
plot(s,y,'*',s,y,si,z,'-')
xlabel('s 售价(元)'),ylabel('y 预期销售量（千桶)')
title(['售价与预期销售量的拟合效果图'])

通过上面的函数拟合效果，可以得到售价与预期销售量的函数关系式为y=-5.一三3*s+50.4222，于是就建立起售价与预期销售量的确切关系。

【问题二】
根据表二的数据，利用多项式函数拟合的方法，通过计算和分析，建立起广告费与销售增长因子的函数关系式。
表2
广告费（千元）
0
10
20
30
40
50
60
70
销售增长因子
1．00
1．40
1．70
1．85
1．95
2．00
1．95
1．80

首先画出广告费与销售增长因子的散点图，初步分析他们之间可能存在的关系，以便进行函数拟合，因此编辑程序如下：
g=[0:10:70];
x=[1.00,1.40,1.70,1.85,1.95,2.00,1.95,1.80];
plot(g,x,'+b')
xlabel('g 广告费(千元)'),ylabel('x 销售增长因子')
title(['广告费与销售增长因子的散点图'])

运行以上程序得到广告费与销售增长因子的散点图有下图所示，通过初步分析可知，广告费与销售增长因子之间存在形如y=a*x^2+b*x+c的一元二次函数关系，其中广告费为自变量，销售增长因子为因变量。

利用多项式拟合的方法，运用多项式拟合的函数polyfit()对广告费与销售增长因子的关系进行进行二项式拟合，于是编辑程序如下：
g=[0 10 20 30 40 50 60 70];
x=[1.00 1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80];
f2=polyfit(g,x,2)
运行以上程序结果得到下面的结果，其中-0.0004为二次项系数，0.0409为一次项系数，1.0一八8为常数项。
f2 =
-0.0004 0.0409 1.0一八8
紧接着对函数进行拟合，于是运行以下程序，得到售价与预期销售量的拟合效果图如下图所示：
gi=linspace(0,70,700);
z=polyval(f2,gi);
plot(g,x,'o',g,x,gi,z,'-')
xlabel('广告费(g)'),ylabel('销售增长因子(x)')
title(['广告费与销售增长因子的拟合效果图'])

通过上面的函数拟合效果，可以得到广告费与销售增长因子的函数关系式为x=-0.0004*g^2+0.0409*g+1.0一八8，于是就建立起广告费与销售增长因子的确切函数关系。

【问题三】
找出彩漆销售得到的利润与广告费和售价的关系，进一步分析得到它们之间的函数关系式，构造方程，利用最优化问题中的单纯形计算法求出最优解以及最优解对应的点，进而得出结果。
由于售价与预期销售量的函数关系式为y=-5.一三3*s+50.4222，而广告费与销售增长因子的函数关系式为x=-0.0004*g^2+0.0409*g+1.0一八8，且广告费与销售量的关系可由销售增长因子来描述，由题意，投入3万元的广告费，销售因子为1.85，意味着做广告后的销售量将是未做广告销售量的1.85倍，我们可以得知销售增长因子与预期销售量和实际销售量的关系为z=x*y。现在建立各个变量之间的函数关系：
销售彩漆获得的利润= 销售总额 — 成本 — 广告费
= 实际销售量*售价 — 实际销量*2 — 广告费
用符号表示既是：
f = s*z-2*z-g=（s-2）*z-g
=（s-2）*(-5.一三3*s+50.4222)*( -0.0004*g^2+0.0409*g+1.0一八8) -g
其中s,g的取值范围分别为：s=[2,6],g=[0,70]。
其实这道题是关于求最大利润的问题，于是利用最优化问题进行求解，由于f是二元二次方程，因此运用基于单纯形算法求多元函数的极小值点和最小值，由于本题中要求对f求最大值，因此有必要对f的形式进行略微的变换，变为f=-(x(1)-2)*(-5.一三3*x(1)+50.4222)*(-0.0004*x(2)^2+0.0409*x(2)+1.0一八8)+x(2)进而求f的最小值，所求得的结果的相反数即是本来题意中的最大利润。
首先建立M文件fxy.m，其中x(1)=s,x(2)=g命令如下：
function f=fxy(x)
f=-(x(1)-2)*(-5.一三3*x(1)+50.4222)*(-0.0004*x(2).^2+0.0409*x(2)+1.0一八8)+x(2);
接着运行以下程序：
x0=[2,70];
[U,fmin]=fminsearch(xfxy,x0)
得到的结果为：
U =
5.9116 35.2089
fmin =
-1一八.9573
由此根据本模型所得结论,当投入35.2089千元广告费和售价为5.9116元时所获得的销售利润最大，最大利润为1一八.9573千元。
6 模型评价与改进
在问题一和问题二中，先绘制散点图，然后再进行函数拟合，过程直观易懂。问题三中利用最优化问题进行求解，过程简洁明了，且计算精度较高。
但是此模型存在的不足时在问题一和问题二中，函数拟合会与实际的值存在偏差，因而计算的结果就会产生误差，进而影响问题三计算的精度。
针对以上问题，如果要改进的话就要提高问题一和问题二的拟合精度，提高后面的准确度。
7 参考文献
[1]刘卫国，《MATLAB程序设计教程（第二版）》，北京：中国水利水电出版社，2005年3月第一版，2005年
[2]胡蓉，《MATLAB软件与数学实验》，北京：经济科学出版社，2010.8
[3]张志涌 杨祖樱等，《MATLAB教程（R2006a-R2007a）》，北京航空航天大学出版社，2006.8

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