平面向量(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,平面向量,1,.,1.向量：,有方向又有大小的量；,标量：只有大小，没有方向的量。,长度、体积、重量、温度、时间,位移、力、速度、加速度,2.向量的表示方法：,小写的英文字母上加箭头来表示，如 ，读作向量,a,；,用两个大写英文字母上加箭头来表示，如,AB,，,表示由,A,到,B,的向量，其中,A,为向量的起点，,B,为向量的终点，读作向量,AB,。,几何图形：用有箭头的线段来表示；,3.向量的模：,向量的大小叫作向量的模，记作 或,4.零向量：,规定,模为零,的向量叫作零向量；记作,零向量的,方向是不确定的！,A,B,2,.,5.向量相等：,如果向量 和 的,模,相等,且,方向,相同,，那么这两个向量叫作,相等的向量，,记作,规定：零向量都是相等的。,6.负向量：,如果向量 和 的,模,相等,且,方向,相反,，那么把向量 叫作,向量 的负向量，,记作,显然对于任意的两点,A,、,B,，有,AB,=,BA,7.平行向量：,如果向量 和 方向相同或相反，那么这两个向量叫作平行,向量(共线向量),记作,可根据需要确定其方向，因此 可看作与任意向量平行,3,.,两个平行向量的加法：,方向相同：模相加，方向与原来两个向量的方向相同。,方向相反：模为两个向量模之差的绝对值，,方向与模较大的向量相同。,4,.,两个不平行的非零向量的加法：,O,A,B,C,以,O,为起点，作,以 为,邻边,作平行四边形,OACB,则平行四边形的对角线所表示的向量,就叫做向量 和 的,和,，记作,求向量和的运算，叫做,向量的加法.,向量加法的平,行四边形法则：,5,.,两个不平行的非零向量的和：,以,O,为起点，作,则在三角形,OAC,中向量,且,向量加法的,三角形法则：,O,A,B,C,O,C,A,6,.,两个不平行的非零向量的加法：,O,A,B,C,O,C,A,三角形法则,平行四边形法则,向量加法的运算律：,7,.,如果 ，是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量 ,有且只有一对实数 ，使 。,平面向量分解定理:,我们把不平行的向量 叫做这一个平面内所有向量的一组基。,8,.,o,x,y,A,B,根据两点之间的距离公式可知：,C,将向量 的起点置于坐标原点，,作 ，,称 为,位置向量,。,方向与,x,轴和,y,轴正方向相同的两个单位向量叫作基本单位向量，记为 .,9,.,A,B,o,x,y,C,如何用 来表示向量？,M,N,将有序实数对 称为,向量 的坐标,，记为,点,C,位置向量,向量,向量的正交分解,10,.,向量的坐标运算,是实数，,向量,特别地，零向量：,11,.,向量 的负向量：,且有,向量 的模：,向量 的单位向量 ：,向量的坐标运算,12,.,定义实数 与向量 的乘积是一个,向量,，记作,对 的模和方向作如下规定：,(1),当 时，与 的方向,相同,；,当 时，与 的方向,相反,；,当 时，为,零向量,。,规定：任意实数 与零向量的乘积为零向量。,13,.,实数与向量乘积的运算律：,14,.,实数与向量乘积的几何意义：,由实数和向量乘积的定义可知，向量 与向量,平行,。,反之，若两个非零向量 与 相互平行，是否存在唯一,的非零实数使？,(1)向量,同方向,时，,(2)向量,反方向,时，,两个非零向量 与 平行的充要条件：,存在非零实数 ，使,15,.,定义实数 与向量 的乘积是一个,向量,，记作,(1),当 时，与 的方向,相同,；,当 时，与 的方向,相反,；,当 时，为,零向量,。,规定：任意实数 与零向量的乘积为零向量。,两个非零向量 与 平行的充要条件：,存在非零实数 ，使,16,.,任给平面内的两个非零向量,将它们的起点移到同一点,O,作,O,B,A,则射线,OA,，,OB,的夹角 叫做,向量,与向量 的夹角。,的取值范围,向量 和向量,方向相同,向量 和向量,方向相反,向量 和向量,垂直,，记,向量的夹角：,平行,17,.,向量的数量积,如果两个非零向量 的夹角为,那么我们把 叫作,向量 与向量 的数量积,（或,内积,）,记作,符号为 不能写为,18,.,数量积的运算性质：,当且仅当 时，,19,.,向量的数量积：,记作,一般地，两个非零向量 、的夹角为 ，,那么我们把 叫做,向量 与向量 的数量积,，,即,规定：,把 叫做向量 在向量 的方向上的投影。,因此，数量积 的几何意义是：,两个向量 、的数量积是其中的一个向量 的模与,另一个向量 在向量 的方向上的投影 的乘积。,20,.,根据向量的数量积的定义，数量积的运算满足下列性质：,对于两个非零向量 与 有：,21,.,任给平面内的两个向量 其数量积为,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和,22,.,已知P是直线,P,1,P,2,上一点，且 （为任意,实数，且 ），,P,1,、,P,2,的坐标分别为 ，,求点,P,的坐标 。,线段,P,1,P,2,的,定比分点公式,当 时，,P,恰为中点，则有,中点公式.,23,.,例1:已知 ,求,:(1)m的取值范围;(2)的最值;(3)当m=6时,与 的夹角.,=8,4=,24,.,例2：设函数 ，其中,(1)求f(x)的最值。若 ，求a；,(2)若函数 的图象按向量,平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m,n的值。,25,.,例2：设函数 ，其中,(1)求f(x)的最值。若 ，求a；,(2)若函数 的图象按向量,平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m,n的值。,26,.,例3：已知 的顶点坐标为A(1,0),B(5,8),C(7,-4)，在边AB上有一点P,其横坐标为4，在边AC上求一点Q，使线段PQ把 分成面积相等的两部分。,直线AB的方程：y=2(x-1),点P（4，6）,直线AC的方程：y=-2/3(x-1),27,.,例4：已知点M(-1,0),N(1,0)，且点P使,成公差小于零的等差数列。,（1）求点P的横坐标所满足的方程。,（2）若 为 与 的夹角，求 的取值范围。,28,.,例4：已知点M(-1,0),N(1,0)，且点P使,成公差小于零的等差数列。,（1）求点P的横坐标所满足的方程。,（2）若 为 与 的夹角，求 的取值范围。,29,.,例1 e,1,、e,2,不共线，a=e,1,+e,2,b=3e,1,3e,2,a与b是否共线。,解：假设,a与b共线则,e,1,+e,2,=(3e,1,-3e,2,)=3e,1,-3e,2,1=3,1=-3,这样不存在。,a与b不共线。,典型例题分析:,30,.,例2 设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b,A、B、D共线则k=_(k,R),解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b,2a+kb=(2a-b)=2a-b,2=2 =-1,k=-k=-1,k=-1,31,.,解：,c,=,m,a,+,n,b,(7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1),3m-2n=7 m=1,-2m+n=-4 n=-2,c,=,a,-,2,b,例3、已知,a,=,(3,-2),b,=,(-2,1),c=,(7,-4),，用,a、b,表示,c,。,32,.,解：设a=,(x,y),则,x,2,+y,2,=100,-4x-3y=0,x=6 x=-6,y=-8 y=8,a,=(6,-8)或(-6,8),例4、|a|=10 b=(3,-4)且a,b求a,33,.,解：,法1,a,=(,x,1,y,1,),b,=,(x,2,y,2,),x,1,2,+y,1,2,=1,x,2,2,+y,2,2,=1,3,a,-,2,b,=,3(x,1,y,1,)-2(x,2,y,2,)=(3x,1,-2x,2,3y,1,-2y,2,),9(x,1,2,+y,1,2,)+4(x,1,2,+y,1,2,)-12(x,1,x,2,+y,1,y,2,)=9,x,1,x,2,+y,1,y,2,=,3,a,+,b,=,3(x,1,y,1,)+(x,2,y,2,)=(3x,1,+x,2,3y,1,+y,2,),|,3,a,+,b,|,2,=,(3x,1,+x,2,),2,+(3y,1,+y,2,),2,=,9(x,1,2,+y,1,2,)+(x,2,2,+y,2,2,)+6(x,1,x,2,+y,1,y,2,)=12,(,3,a,+,b,)=,2,例5、设|,a,|=|,b,|=,1,|,3,a,-,2,b,|=,3,则|,3,a,+,b,|=_,34,.,法2,9=9a,2,+4b,2,-12ab,ab=,又,(3a+b),2,=9a,2,+b,2,+6ab=12,|3a+b|=2,35,.,解：,同理可得,=120,36,.,37,.,38,.,解,答案,C,39,.,40,.,解,41,.,例10,42,.,解析,43,.,44,.,例11,45,.,例11,解析,46,.,47,.,例12,48,.,解析,49,.,50,.,51,.,52,.,练习,一、选择题：,1、,如图所示，G为,ABC,的重心，则GA+GB-GC等于（D）,A.0 B.GE,C.4GDD.4GF,2、,若a=(,2)，b=(-3,5)，且a与b的夹角为钝角，则的取值范围是(A),A.B.,C.D.,3、,已知|a|=18,|b|=1,ab=-9，则a和b的夹角是（A）,A.120,。,B.150,。,C.60,。,D.30,。,A,B,D,C,G,F,E,53,.,4、,已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为90,。,，c=2a+3b,d=ka-4b,c,d,k=（）,A.-6B.6C.3D.-3,5、,设点A(a,b),B(c,d)，若径平移得A(2a,2b)，那么B点之新坐标为（）,A.(2c,2d)B.(a+c,b+d),C.(a+2c,b+2d)D.(2a+c,2b+d),6、,已知|a|=3,|b|=4,(a+b)(a+3b)=33，则a与b的夹角为（）,A.30,。,B.60,。,C.120,。,D.150,。,7.,若|a-b|=,|a|=4,|b|=5,则ab=(),A.10 B.-10 C.10 D.10,54,.,8、,已知,ABC中,AB=a,AC=b,ab0，S,ABC=,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角为（）,A.30,。,B.-150,。,C.150,。,D.30,。,或150,。,9、,若点P分AB所成的比为 ，则A分BP所成的比是（）,A.B.C.-D.-,10、,在,ABC中，三内角A,B,C对应的三边分别为a,b,c,已知c=3,C=60,。,a+b=5，则cos 的值是（）,A.B.C.D.,55,.,11、,在,ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b+c),则,A=（）,A.30,。,B.60,。,C.120,。,D.150,。,12、,在,ABC中，已知角A、B、C的对边分别是a、b、c，且3b=asinB,cosB=cosC，则,ABC的形状是（）,A.直角三角形 B.等腰三角形,C.等边三角形 D.等腰直角三角形,56,.,二、填空题：,13、,设a=(m+1)e,1,-3e,2,b=e,1,+(m-1)e,2,若(a+b),(a-b),那么m=_。,14、,单位向量e,1,e,2,的夹角为60,。,，则(e,1,-2e,2,)(-2e,1,+3e,2,)=_。,15、,在ABC中，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则A=_。,16、,在,ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边长，若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB，则,C=_。,57,.,三、解答题：,17、,已知e,1,与e,2,是夹角为60,。,的单位向量，且a=2e,1,+e,2,b=-3e,1,+2e,2,求ab及a与b的夹角。,解,：e,1,e,2,是单位向量，且夹角为60,。,e,1,e,2,=|e,1,|e,2,|cos60,。,=,ab=(2e,1,+e,2,)(-3e,1,+2e,2,),=-6|e,1,2,|+e,1,e,2,+2e,2,2,=-3,而|a|,2,=a,2,=(2e,1,+e,2,),2,=4e,1,2,+4e,1,e,2,+e,2,2,=7,|b|,2,=b,2,=(-3e,1,+2e,2,),2,=9e,1,2,-12e,1,e,2,+4e,2,2,=7,|a|=|b|=,cos=120,。,58,.,20、（1）,已知a,b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角；(2)已知|a|=,|b|=，且a与b的夹角为 ，试求a+2b与a-b的夹角的大小。,解,：（1）(a+3b)(7a-5b)=0,(a-4b)(7a-2b)=0,7a+16ab-15b=0,7a,2,-30ab+8b,2,=0,a,2,=b,2,2ab=b,2,cos=60,。,59,.,（2）,a,2,=3 b,2,=4|a|b|=2,ab=|a|b|cos=cos30,。,=3,60,.,22、,已知,ABC中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD。,（1）求证：AB,AC；,（2）求点D和向量AD的坐标；,（3）求证：AD,2,=BDDC,解：（1）A(2,4)B(-1,-2)C(4,3),AB=(-3,-6)AC=(2,-1),ABAC=(-3),2+(-6),(-1)=0,AB,AC,61,.,（2）,D(x,y),AD=(x-2,y-4)BC=(5,5),BD=(x+1,y+2),AD,BC,ADBC=0,5(x-2)+5(y-4)=0 又B、D、C共线,5,(x+1)-5(y+2)=0,x+y-6=0 x=D(,),x-y-1=0 y=,AD=(,-),62,.,（3）,AD=(,-)BD=(,),DC=(,),|AD|2=+=,BDDC=+=,AD2=BDDC,63,.,