矩阵的对角化.doc

矩阵的对角化
（李体政 徐宗辉）
l      教学目标与要求
通过学习，使学生明白为什么要进行矩阵的对角化, 并且熟练掌握一般方阵对角化的方法, 特别是实对称矩阵的对角化方法.
l      教学重点与难点
教学重点： 一般方阵可以对角化的条件及其对角化; 实对称矩阵的对角化.
教学难点： 求正交矩阵，使实对称矩阵化为对角矩阵.
l      教学方法与建议
先引入相似矩阵的概念, 通过分析相似矩阵的性质, 让学生看到: 讨论方阵与一个对角矩阵相似(在本节中我们称为矩阵的对角化)的问题是非常有意义的, 从而提出矩阵对角化的两个核心问题:
(1) 对于任何一个方阵,是否一定可以对角化(即存在性问题);
(2) 对于一个方阵,若可以对角化,那么如何进行对角化.
围绕这两个问题,完成本节课的教学任务.
l      教学过程设计
1. 问题的提出
我们先引入相似矩阵的概念:
定义1: 对于阶数相同的方阵和, 若存在可逆方阵, 使得

则称矩阵与相似, 记为, 而对进行的运算称为对进行的相似变换, 可逆方阵称为把变为的相似变换矩阵.
利用相似矩阵的定义及前面的知识不难得出如下结论:
性质1: 设 , 则有
1) ;
2) ;
3) , 从而具有相同的特征值.
说明: 性质1表明, 假如矩阵与相似, 则与具有相同的行列式、相同的秩以及相同的特征值. 而且很自然地推出, 若与一个对角矩阵相似, 那么的主对角线元素恰好就是的个特征值. 考虑到对角矩阵是一类性质优良的矩阵, 我们进一步会问:
1) 是否对任何方阵, 都存在相似变换矩阵, 使(对角矩阵)?
2) 对阶方阵,若存在相似变换矩阵,使, 如何构造?
2. 一般方阵的对角化
我们先来讨论第二个问题. 设, 并设可逆, 由得 , 即有

由此可见, 只要取 的列为矩阵的个特征向量即可. 因为可逆, 所以应线性无关.
所以, 我们得出第一个问题的结论: 方阵要与一对角矩阵相似, 则必须要有个线性无关的特征向量. 进一步有下面的结论:
1) 由于方阵的不同特征值所对应的特征向量线性无关, 故有
结论1: 如果方阵的个特征值互不相同, 则可以对角化.
2) 若方阵的重特征值与它所对应的线性无关的特征向量的个数有,即为非亏损矩阵,那么有个线性无关的特征向量, 故有
结论2: 若方阵为非亏损矩阵, 则可以对角化.
当, 即为亏损矩阵,这时没有个线性无关的特征向量, 所以不能对角化. 综上所述有如下定理:
定理1： 方阵可以对角化的充要条件为是非亏损矩阵
说明:
1) 定理1表明,方阵的对角化问题最终归结为求方阵的特征值以及求特征值所对应的齐次线性方程组的基础解系的问题, 同时也给出了构造相似变换矩阵的具体方法.
2) 一般地, 我们不对非亏损矩阵进行一般性的讨论, 而仅仅讨论为实对称矩阵的情形, 这种情形比较简单,而且实际应用上较为常见.
3. 实对称矩阵的对角化
和一般的方阵相比, 实对称矩阵具有更好的性质:
性质2: 设方阵是实对称矩阵, 则有
1) 的所有特征值均是实数;
2) 的不同特征值所对应的特征向量不但线性无关, 而且相互正交;
定理2: 设为阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵, 使

其中 为的特征值.
说明:
1) 定理2表明, 任何实对称矩阵都能对角化为一个对角矩阵,而且的主对角线元素就是的特征值, 同时说明是非亏损矩阵;
2) 定理2的证明采用数学归纳法易于学生理解;
3) 强调这里的矩阵不仅可逆,而且是正交矩阵.
这样对于任何实对称矩阵,第一问题已经得到了圆满的解决,下面通过举例说明如何求正交矩阵, 使实对称矩阵对角化,这也是本节刚开始提出的第二个问题.

4. 举例
例1 设
求一正交矩阵, 使.
解:

由此得的特征值为 .
当 时, 解方程组 得一个基础解系 , 将其规范化得

当 时, 解方程组 得一个基础解系
,
由于恰好正交, 所以只要规范化为
,
因此

并且

由这个例子可见, 对于实对称矩阵, 求一个正交矩阵, 使得的步骤如下:
第一步 求的特征值;
第二步 求对应于每个特征值的特征向量. 对单特征值, 只需将属于它的特征向量规范化; 对重特征值,需要先求出属于它的个线性无关的特征向量, 然后对这个特征向量进行正交规范化, 这样就可以得到个两两正交的单位特征向量;
第三步 以正交规范化的特征向量为列组成矩阵, 它就是要求的正交矩阵, 使
, 这时的主对角线元素只需按组成时特征向量的顺序依次将它们所属的特征值排列即可.
说明: 由于方程组 的基础解系不唯一, 所以由此得到的正交矩阵不是唯一的. 比如在例1中, 对应于的单位特征向量可取为

对应于的基础解系可取为
,
由于不正交, 所以需先正交化, 取
,
.
再将规范化得
,
于是

练习1 设
求一正交矩阵,使.
练习2 问 能否对角化? 若可以, 求可逆矩阵和对角矩阵.