20142017高考真题平面向量.docx

第五章 平面向量
考点1 平面向量的概念及坐标运算
1.(2015·新课标全国Ⅰ，7)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)
A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－
1.A[∵＝3，∴－＝3(－)，即4－＝3，
∴＝－＋.]

2.(2015·湖南，8)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|＋＋|的最大值为(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
2.B　[由A,B,C在圆x2＋y2＝1上,且AB⊥BC,∴AC为圆直径,故＋＝2＝(－4，0),设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[-1,1]，＝(x－2，y)，所以＋＋＝(x-6，y).故|＋＋|＝，∴x＝－1时有最大值＝7，故选B.]

3.(2014·福建，8)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　)
A.e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B.e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C.e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
3.B　[法一　若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，则e1∥e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，因为≠，所以e1，e2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a＝(3，2)表示出来，故选B.
法二　因为a＝(3，2)，若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，
所以解得所以a＝2e1＋e2，故选B.]

4.(2014·安徽，10)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足＝(a＋b).曲线C＝{P|＝acosθ＋bcosθ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|0<r≤||≤R，r<R}.若C∩Ω为两段分离的曲线，则(　　)
A.1<r<R<3 B.1<r<3≤RC.r≤1<R<3 D.1<r<3<R
4.A　[由已知可设＝a＝(1，0)，＝b＝(0，1)，P(x，y)，则＝(，)，曲线C＝{P|＝(cosθ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C：x2＋y2＝1，区域Ω＝{P|0<r≤||≤R，r<R}表示圆P1：(x－)2＋(y－)2＝r2与圆P2：(x－)2＋(y－)2＝R2所形成的圆环，如图所示，要使C∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r<R<3.]

5.（2017•浙江,15）已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是________，最大值是________．
5. 4；记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：| + |= ，
| ﹣ |= ，则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，
令z=x+y，则y=﹣x+z，则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为zmin=1+3=3+1=4，
当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的 倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的 倍，所以zmax= × = ．
综上所述，| + |+| ﹣ |的最小值是4，最大值是 ．故答案为：4、 ．

6.（2017•江苏,12）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为1，1， ， 与 的夹角为α，且tanα=7， 与 的夹角为45°．若 =m +n （m，n∈R），则m+n=________．

6. 3 如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由 与 的夹角为α，且tanα=7．
∴cosα= ，sinα= ．∴C ．cos（α+45°）= （cosα﹣sinα）= ．
sin（α+45°）= （sinα+cosα）= ．∴B ．∵ =m +n （m，n∈R），∴ =m﹣ n， =0+ n，解得n= ，m= ．
则m+n=3．故答案为：3．

7.(2016·全国Ⅰ，13)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
7.－2[由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，得m＝－2.]

8.(2015·新课标全国Ⅱ，13)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.
8.　[∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得解得λ＝μ＝.]

9.(2015·北京，13)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.
9.　－　[＝＋＝＋＝＋(－)＝－，
∴x＝，y＝－.]

10.(2015·江苏，6)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.
10.－3　[∵a＝(2,1),b＝(1,-2),∴ma＋nb＝(2m＋n,m－2n)＝(9,-8)，即解得故m－n＝2－5＝－3.]

11.(2014·新课标全国Ⅰ，15)已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________.
11.90°[由＝(＋)可知O为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC＝90°，所以与的夹角为90.]

12.(2014·湖南，16)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________.
12.1＋　[设D(x，y)，由||＝1，得(x－3)2＋y2＝1，向量＋＋＝(x－1，y＋)，故|＋＋|＝的最大值为圆(x－3)2＋y2＝1上的动点到点(1，－)距离的最大值，其最大值为圆(x－3)2＋y2＝1的圆心(3，0)到点(1，－)的距离加上圆的半径，即＋1＝1＋.]

考点2 平面向量的数量积及其应用
1.（2017•北京,6）设 ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 • ＜0”的（　　）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
1. A ， 为非零向量，存在负数λ，使得 =λ ，则向量 ， 共线且方向相反，可得 • ＜0．反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 • ＜0，而 =λ 不成立．∴ ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 • ＜0”的充分不必要条件．故选A．
2.（2017•新课标Ⅲ,12）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 =λ +μ ，则λ+μ的最大值为（    ）
A.3 B.2 C. D.2
2. A 如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，

则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD= = ,∴ BC•CD= BD•r，
∴r= ，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2= ，设点P的坐标为（ cosθ+1， sinθ+2），∵ =λ +μ ，∴（ cosθ+1， sinθ﹣2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴ cosθ+1=λ， sinθ+2=2μ，∴λ+μ= cosθ+ sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选A.
3.（2017•浙江,10）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1= • ，I2= • ，I3= • ，则（    ）

A.I1＜I2＜I3 B.I1＜I3＜I2 C.I3＜I1＜I2 D.I2＜I1＜I3
3. C ∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2 ，∴∠AOB=∠COD＞90°，
由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞ • ＞ • ， • ＞0，
即I3＜I1＜I2 ， 故选C．
4.（2017•新课标Ⅱ,12）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 •（ + ）的最小值是（    ）
A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣1
4. B 建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0， ），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则 =（﹣x， ﹣y）， =（﹣1﹣x，﹣y）， =（1﹣x，﹣y），则 •（ + ）=2x2﹣2 y+2y2=2[x2+（y﹣ ）2﹣ ]∴当x=0，y= 时，取得最小值2×（﹣ ）=﹣ ，故选B.

5.(2016·四川，10)在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||，·＝·＝·＝－2，动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是(　　)
A. B. C. D.
5.B[由题意,||＝||＝||,所以D到A,B,C三点的距离相等,D是△ABC的外心；
·＝·＝·＝-2⇒·－·＝·(－)＝·＝0,所以DB⊥AC，
同理可得，DA⊥BC，DC⊥AB，从而D是△ABC的垂心，
∴△ABC的外心与垂心重合，因此△ABC是正三角形，且D是△ABC的中心.
·＝||||cos∠ADB＝||||×＝－2⇒||＝2，
所以正三角形ABC的边长为2；
我们以A为原点建立直角坐标系,B,C,D三点坐标分别为B(3,－)，C(3,)，D(2,0)，

由||＝1,设P点的坐标为(cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π)，而＝，即M是PC的中点，
可以写出M的坐标为M
则||2＝＋＝≤＝，
当θ＝π时，||2取得最大值.故选B.
6.(2016·山东，8)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)
A.4 B.－4 C. D.－
6.B[∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选B.]

7.(2016·全国Ⅲ，3)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)
A.30° B.45° C.60° D.120°
7.A [||＝1，||＝1，cos∠ABC＝＝.]

8.(2016·全国Ⅱ，3)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)
A.－8 B.－6 C.6 D.8
8.D[由题知a＋b＝(4，m－2)，因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，
即4×3＋(－2)×(m－2)＝0，解之得m＝8，故选D.]

9.(2015·山东，4)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60° ，则·＝(　　)
A.－a2B.－a2C.a2D.a2
9.D　[如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°＝a2＋a2－2a·a×＝3a2，
∴BD＝a.
∴·＝||·||cos 30°＝a2×＝a2.]

10.(2015·安徽，8)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)
A.|b|＝1 B.a⊥b C.a·b＝1 D.(4a＋b)⊥
10.D　[由于△ABC是边长为2的等边三角形；∴(＋)·(－)＝0，即(＋)·＝0，∴(4a＋b)⊥，即(4a＋b)⊥，故选D.]

11.(2015·四川，7)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　)
A.20 B. 15 C.9 D.6
11.C[＝＋，＝－＝－＋
∴·＝(4＋3)·(4－3)＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9，选C.]

12.(2015·福建，9)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于(　　)
A.13 B.15 C.19 D.21
12.A　[建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，·＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，故选A.]

13.(2015·重庆，6)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.π
13.A　[由题意(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－a·b－2b2＝0，即3|a|2－|a|·|b|cos θ－2|b|2＝0，
所以3×－cos θ－2＝0，cos θ＝，θ＝，选A.]

14.(2015·陕西，7)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)
A.|a·b|≤|a||b| B.|a－b|≤||a|－|b|| C.(a＋b)2＝|a＋b|2 D.(a＋b)(a－b)＝a2－b2
14.B　[对于A，由|a·b|＝||a||b|cos<a,b>|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B.]

15.(2014·新课标全国Ⅱ，3)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)
A.1 B.2 C.3 D.5
15.A　[由向量的数量积运算可知,∵|a＋b|＝,∴(a＋b)2＝10,∴a2+b2+2a·b＝10,①
同理a2＋b2－2a·b＝6，②
① －②得4a·b＝4，∴a·b＝1.]

16.(2014·大纲全国，4)若向量a、b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝(　　)
A.2 B. C.1 D.
16.B　[由题意得⇒-2a2+b2＝0,即－2|a|2＋|b|2＝0,又|a|＝1，
∴|b|＝.故选B.]
17.(2014·天津，8)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝(　　)
A. B. C. D.
17.C　[如图所示,以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系xOy,不妨设A(0，－1),B(－，0),C(0，1),D(，0),由题意得＝(1－λ)·＝(λ－，λ－1)，＝(1－μ)＝(－μ，μ－1).

因为·＝-，所以3(λ-1)·(1-μ)＋(λ-1)(μ-1)＝－，即(λ-1)(μ-1)＝.
因为＝＋＝(λ－，λ＋1).＝＋＝(－μ，μ＋1)，
又·＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.由整理得λ＋μ＝.选C.]
18.（2017•新课标Ⅰ,13）已知向量 ， 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |=________．
18. ∵向量 ， 的夹角为60°，且| |=2，| |=1，
∴ = +4 • +4
=22+4×2×1×cos60°+4×12
=12，
∴| +2 |=2 ．故答案为：2 ．

19.（2017•山东,12）已知 ，  是互相垂直的单位向量，若 ﹣   与 +λ 的夹角为60°，则实数λ的值是________．
19. ，  是互相垂直的单位向量，∴| |=| |=1，且 • =0；
又 ﹣   与 +λ 的夹角为60°，∴（ ﹣ ）•（ +λ ）=| ﹣ |×| +λ |×cos60°，即 +（ ﹣1） • ﹣λ = × × ，化简得 ﹣λ= × × ，即 ﹣λ= ，解得λ= ．故答案为： ．
20.（2017·天津,13）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________．
20. 如图所示，

△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，
=2 ，
∴ = +
= +
= + （ ﹣ ）
= + ，
又 =λ ﹣ （λ∈R），
∴ =（ + ）•（λ ﹣ ）
=（ λ﹣ ） • ﹣ + λ
=（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4，
∴ λ=1，
解得λ= ．故答案为： ．

21.(2016·浙江，15)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________.
21. [由已知可得：≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|
由于上式对任意单位向量e都成立.∴≥|a＋b|成立.
∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.即6≥5＋2a·b，∴a·b≤.]

22.(2015·天津，14)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则||·||的最小值为________.
22.　[在梯形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得DC＝1，＝＋λ，＝＋，∴·＝(＋λ)·(＋)＝·＋·＋λ·＋λ·＝2×1×cos 60°＋2×＋λ×1×cos 60°＋λ×cos 120°＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即λ＝时，取得最小值为.]

23.(2015·浙江，15)已知e1,e2是空间单位向量,e1·e2＝，若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝________，y0＝________，|b|＝________.
23.1　2　2　[∵e1·e2＝|e1|·|e2|cos〈e1，e2〉＝，∴〈e1，e2〉＝.不妨设e1＝，e2＝(1，0，0)，b＝(m，n，t).
由题意知解得n＝，m＝，∴b＝.
∵b－(xe1＋ye2)＝，
∴|b－(xe1＋ye2)|2＝＋＋t2＝x2＋xy＋y2－4x－5y＋t2＋7＝＋(y－2)2＋t2.由题意知，当x＝x0＝1，y＝y0＝2时，＋(y－2)2＋t2取到最小值.此时t2＝1，
故|b|＝＝2.]
24.（2017•江苏,16）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ），x∈[0，π]．
（Ⅰ）若 ∥ ，求x的值；
（Ⅱ）记f（x）= ，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
24.（Ⅰ）∵ =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ）， ∥ ，
∴﹣ cosx+3sinx=0，
∴tanx= ，
∵x∈[0，π]，
∴x= ，
（Ⅱ）f（x）= =3cosx﹣ sinx=2 （ cosx﹣ sinx）=2 cos（x+ ），
∵x∈[0，π]，∴x+ ∈[ ， ]，∴﹣1≤cos（x+ ）≤ ，
当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x= 时，f（x）有最小值，最大值﹣2
25.(2015·广东，16)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m＝,n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值.
(2)若m与n的夹角为，求x的值.
25.解　(1)因为m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n.
所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1,所以m·n＝cos＝，即sin x－cos x＝，所以sin＝，
因为0<x<，所以－<x－<，所以x－＝，即x＝.

26.(2014·北京，10)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.
26.　[∵|a|＝1，∴可令a＝(cos θ，sin θ)，∵λa＋b＝0，
∴即由sin2θ＋cos2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝.]

27.(2014·江西，14)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________.
27.　[因为a2＝(3e1-2e2)2＝9-2×3×2×cos α＋4＝9,所以|a|＝3,b2＝(3e1-e2)2＝9-2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b|＝2，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，所以cos β＝＝＝.]

28.(2014·湖北，11)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.
28.±3　[(a＋λb)⊥(a－λb)⇒(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝0⇒18－2λ2＝0⇒λ＝±3.]
29.(2014·江苏，12)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________.
29.22　[因为＝＋＝＋，＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝||2－||2－·＝2，将AB＝8，AD＝5代入解得·＝22.]